数学难题.docx

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数学难题

如图：

有100m长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600㎡，在场地的北面有一堵长50m的旧墙，有人用这些篱笆围出一个长40m，宽10m的仓库，但面积只有40×10=400（㎡）不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？

你能设计出最优方案吗？

解：

设矩形的宽为xm，则长为（50-x）m，面积为S=x（50-x）m2，

（1）若面积恰为600㎡时，

则有x（50-x）=600

解得：

x1=20，x2=30，

则长为30m或20m，

故取长为30m，宽为20m，符合设计方案的要求；

（2）若想利用篱笆独立做一个矩形仓库，其最大面积为：

S=x（50-x）=-x2+50x=-（x2-50x）=-（x-25）2+625，

所以当矩形长和宽均取为25m时，

面积最大可达625m2，此时矩形为正方形，比前一种方案更好；

（3）若利用旧墙为一边，

设矩形的宽为xm，

则矩形面积S=x（100-2x），

因为墙长50m，

所以100-2x≤50，

若S=600m2，则有x（100-2x）=600，

解得，，

由100-2x≤50得x≥25，

故取，

即若利用旧墙，取矩形宽为也是符合方案要求的一种设计，

此时最大面积为：

S=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250，

即若取矩形宽为25，长为50，则面积可达1250m2．

因此：

要想设计的仓库面积最大，在利用现有条件前提下，最优设计方案是利用旧墙，取矩形宽为25m，此时面积达到1250m2．

（2006•沈阳）某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程．原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%．从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2．求：

（1）该工程队第一天拆迁的面积；

（2）若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数．

分析：

主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．则第三天拆迁了1250（1+x）2m2．即可列方程求解．

解答：

解：

（1）1250（1-20%）=1000（m2），

所以，该工程队第一天拆迁的面积为1000m2

（2）设该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是x，

则1000（1+x）2=1440，

解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），

所以，该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是20%．

（2008•鄂州）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？

最小值是多少？

等腰△ABC的三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是（　　）

解：

∵关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，

∴△=（b+2）2-4（6-b）=0，即b2+8b-20=0；

解得b=2，b=-10（舍去）；

①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；

②当b为底，a为腰时，则5-2＜5＜5+2，能够构成三角形；

此时△ABC的周长为：

5+5+2=12．

关于x的一元二次方程x2-x+p-1=0有两个实数根x1、x2．

（1）求p的取值范围；

（2）若

，求p的值．

已知：

关于x的一元二次方程kx2+2x+2-k=0．

（1）若原方程有实数根，求k的取值范围；

（2）设原方程的两个实数根分别为x1，x2．

①当k取哪些整数时，x1，x2均为整数；

②利用图象，估算关于k的方程x1+x2+k-1=0的解．

如图，在

中，

点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.

（1）如果PQ分别从A、B同时出发，经几秒钟，使

的面积等于8

（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且点P到B点后又继续在BC边上前进，Q到C点后又继续在CA边上前进，经几秒钟，使

的面积等于12.6

？

（1999•南通）A、B、C三种物质各15克，它们化合时只能生成新物质D30克，若增加A10克，反应物中只余C．根据上述条件推断下列说法中正确的是（　　）

A、第一次反应停止，B剩余9克B、第二次反应后，C剩余5克

C、反应中A和C的质量比是5：

3

D、反应中B和C的质量比是3：

2

若增加10gA，则反应停止后原反应物中只余C，说明此时反应掉的A为25g，B为15g．而在加入10gA前，A15g完全反应生成了30g的D．可以推知当25gA完全反应时生成的D为50g（为反应物A的质量的2倍）．所以可以推知当25gA和15B反应时消耗的C的质量为50g-25g-15g=10g．解答：

解：

由题意，若增加10gA，则反应停止后原反应物中只余C，说明参加第二次反应的A的质量为25克，B的质量为15克，A与B参加反应的质量比为5：

3；

A、B、C三种物质各15g，它们化合时只能生成30g新物质D，说明参加第一次反应的A的质量为15克，B的质量为9克，根据质量守恒定律可知参加第一次反应的C的质量为6克，则A、B、C参加反应的质量比为5：

3：

2，则第二次参加反应的C的质量为10克．

A、参加第一次反应的B的质量为9克，剩余6克．故A不正确；

B、第二次参加反应的C的质量为10克，故第二次反应后C剩余5克．故B正确；

C、反应中A与C的质量比为5：

2．故C不正确；

D、反应中B与C的质量比为3：

2．故D正确．

故选BD．

1、蒸馒头用的某纯碱中含有少量的氯化钠，为了测定该纯碱中碳酸钠和氯化钠的含量，取一定量的该纯碱样品全部溶解在100g水中，再加入氯化钙溶液141g，恰好完全反应。

（反应方程式为Na2CO3＋CaCl2===CaCO3↓＋2NaCl）经过滤、干燥后称得沉淀质量为10g，所得滤液中氯化钠的质量分数为5%。

请计算：

（1）纯碱样品中碳酸钠的质量；

（2）纯碱样品中氯化钠的质量。

解析；

（1）设所取纯碱样品中含碳酸钠m（Na2CO3）g，反应后生成氯化钠m（NaCl）g，则

Na2CO3＋CaCl2===CaCO3↓＋2NaCl

106g100g2x58.5g

m（Na2CO3）g10gm（NaCl）g

所以m（Na2CO3）=10.6gm（NaCl）=11.7g

（2）设所取纯碱样品中氯化钠的质量ag,则

[m（NaCl）+a]/[m（Na2CO3）+a+100+141-10]x100%=5%

带入数据，解得a=0.4g

由此还可以求出样品中碳酸钠含量为10.6g/（10.6g+0.4g）x100%=96.4%

氯化钠含量为0.4g/（10.6g+0.4g）x100%=3.6%

由于只知道氯化钙溶液质量141g，无法求出所含氯化钙质量，因此不用氯化钙来计算！

若a、b、c是△ABC的三边，a+c=2b，且方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根，sinA+sinB+sinC的值．

已调节平衡的托盘天平，两盘各放一个盛有等质量，等质量分数的稀硫酸的烧杯，现在向左，右两盘的烧杯中分别投入等质量的镁和铝．

1．如果铝完全溶解，则天平指针？

2．如果镁有剩余，则天平指针？

3．如果镁与酸恰好完全反应，则天平指针？

1．如果铝完全溶解，则天平指针在左边

2．如果镁有剩余，则天平指针在中间

3．如果镁与酸恰好完全反应，则天平指针在中间

2AL+3H2SO4=AL2（SO4）3+3H2Mg+H2SO4=MgSO4+H2

546242

91121

可以知道9克AL铝生成一克氢气。

12克Mg生成一克氢气，等质量时候AL产生的氢气要多于Mg

烧杯中分别投入等质量的镁和铝

1．如果铝完全溶解，Mg有1种情况，Mg是全部溶解。

MgAL产生氢气AL多于Mg，天平指针在左边。

2．如果镁有剩余，则铝有1种情况铝是也有剩余。

铝产生氢气和镁相等（硫酸全部反应），天平指针在中间。

3．如果镁与酸恰好完全反应，则铝部分溶解H2SO4不足。

MgAL产生氢气相等，天平指针在中间。

y=-ax^2+bx+c

-a-b+c=2

-4a+2b+c=4

b=a+2/3

c=2a+8/3

y=-ax^2+bx+c

=-ax^2+（a+2/3）x+2a+8/3

-ax^2+（a+2/3）x+2a+8/3=0

△=（a+2/3）^2-4（-a）（2a+8/3）

=9a^2+12a+4/9≥0

a≥-2/3+4√2/9或a≤-2/3-4√2/9

x1x2=（2a+8/3）/（-a）=-2-8/（3a）

当a≥-2/3+4√2/9时

-2-8/（3a）≥-2-8/（-2+4√2/3）=34+24√2＞0

当a≤-2/3-4√2/9时

-2-8/（3a）≤-2-8/（-2-4√2/3）=34-24√2＞0

x1、x2同号，

抛物线的图象与X轴的交点在原点同侧。

不可能是9，反比例函数图象在第四象限，K小于0

从D作DP平行OE（Y轴）于P

S四边形BCDE+S△ABE=S平行四边形ABCD

因为S△ABE：

S四边形BCDE=2：

5，所以S△ABE：

S平行四边形ABCD=2：

7

△ABE与平行四边形高相同，都是从B作AD垂线段的长度

所以△ABE的底AE：

平行四边形的底AD=4：

7

因为OE∥DP，所以△AOE∽△APD。

AO：

AP=AE：

AD=4：

7

A（-3，0），所以AO=3，AP=21/4。

-

OP=AP-AO=9/4，因此P（9/4，0），D点横坐标为9/4

因为D在Y=K/X，所以D（9/4，4K/9）

ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC。

因此A到B的移动方法与D到C移动方法相同

根据坐标可以看到，A到B右移3个单位，上移1个单位

所以C（21/4，4K/9+1）

C也在Y=K/X上，所以21/4×（4K/9+1）=K

84K+189=36K

48K=-189

K=-63/16

如图平行四边形ABCD的顶点A.B的坐标为A（-1,0）,B（0,-2）,顶点C.D在双曲线y=k/x边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是三角形abe的5倍，求k值

分析：

分别过C、D作x轴的垂线，垂足为F、G，过C点作CH⊥DG，垂足为H，根据CD∥AB，CD=AB可证△CDH≌△ABO，则CH=AO=1，DH=OB=2，由此设C（m+1，n），D（m，n+2），C、D两点在双曲线y= k/x上，则（m+1）n=m（n+2），解得n=2m，设直线AD解析式为y=ax+b，将A、D两点坐标代入求解析式，确定E点坐标，求S△ABE，根据S四边形BCDE=5S△ABE，列方程求m、n的值，根据k=（m+1）n求解．

解答：

如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，DG交BC于M点，过C点作CH⊥DG，垂足为H，

∵CD∥AB，CD=AB，

∴△CDH≌△ABO（AAS），

∴CH=AO=1，DH=OB=2，设C（m+1，n），D（m，n+2），

则（m+1）n=m（n+2）=k，

解得n=2m，

设直线AD解析式为y=ax+b，将A、D两点坐标代入得

 {-a+b=0ma+b=2m+2，

解得 {a=2b=2，

∴y=2x+2，E（0，2），BE=4，

∴S△ABE= 12×BE×AO=2，

∵S四边形BCDE=5S△ABE，

∴S△ABE+S四边形BEDM=10，

即2+4×m=10，

解得m=2，

∴n=2m=4，

∴k=（m+1）n=3×4=12．

故答案为：

12．

解：

作P1⊥y轴于C，P2⊥x轴于D，P3⊥x轴于E，P3⊥P2D于F，如图，

设P1（a， 2/a），则CP1=a，OC= 2/a，

∵四边形A1B1P1P2为正方形，

∴Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，

∴OB1=P1C=A1D=a，

∴OA1=B1C=P2D= 2/a-a，

∴OD=a+ 2/a-a= 2/a，

∴P2的坐标为（ 2/a， 2/a-a），

把P2的坐标代入y= 2x （x＞0），得到（ 2/a-a）• 2/a=2，解得a=-1（舍）或a=1，

∴P2（2，1），

设P3的坐标为（b， 2/b），

又∵四边形P2P3A2B2为正方形，

∴Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，

∴P3E=P3F=DE= 2/b，

∴OE=OD+DE=2+ 2/b，

∴2+ 2/b=b，解得b=1- 根号3（舍），b=1+ 根号3，

∴ 2b= 根号3-1，

∴点P3的坐标为 （ 根号3+1， 根号3-1）．

故答案为：

（ 根号3+1， 根号3-1）．

某油库的储油罐有甲、乙2个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4小时，2管同时开放3小时后，甲管因发生故障停止加油，乙管继续注油9小时后注满油罐，求甲、乙2管单独开放注满油罐时各需多少小时？

设单独甲x小时单独乙y小时，每小时甲注油1/x，乙注油1/y

1：

y-x=4

2：

3×（1/x）+（3+9）×（1/y）=1

计算得x=12y=16

甲、乙两人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时同向而行。

相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后，乙还需要30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米？

设乙速度为X千米/小时，则有：

10/X＝10/（X+1）+0.5

解得X=4千米/小时

（2007•南京）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，则南瓜亩产量的增长率为?

在一块正方形钢板上截去3cm宽的长方形钢条，剩下的面积54平方厘米，求原来的面积

解：

假设正方形的边长为Xcm

所以剩余的面积为

X（X-3）=54

解得X=9或X=-6（舍）

所以原来的面积为 9X9=81平方厘米

解法一：

连接OB，过点O作OG⊥BC于点G.

在Rt△ABO中，AB=5，AO=17，

∴tan∠ABO=，

∴∠ABO=73.6°

∴∠GBO=∠ABC－∠ABO=149°－73.6°=75.4°

又∵

∴在Rt△OBG中，

∴水桶提手合格.

解法二：

连接OB，过点O作OG⊥BC于点G.

在Rt△ABO中，AB=5，AO=17，

∴tan∠ABO=，

∴∠ABO=73.6°

要使OG≥OA，只需∠OBC≥∠ABO，

∵∠OBC=∠ABC－∠ABO=149°－73.6°=75.4°＞73.6°

∴水桶提手合格.