春季学期新版新人教版七年级数学下学期83实际问题与二元一次方程组教案34Word格式文档下载.docx
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考点/易错点1
利用二元一次方程组解决实际问题时,一般可分为以下五步:
1、审题、弄清题意及题目中的数量关系
2、设未知数,可直接设元,也可间接设元
3、列出方程组,根据题目中能表示全部含义的相等关系列出方程,并组成方程组
4、解所列方程组,并考虑所得解是否符合问题的实际意义
5、写出答案
考点/易错点2
解实际应用问题必须写“答”,并且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去。
考点/易错点3
“设””答“两步,都要写清单位名称;
一般来说,设几个未知数就应列出几个方程并组成方程组。
四、例题精析
【例题1】
【题干】市“五城同创”活动中,一项绿化工程由
甲、乙两工程队承担.已知甲工程队单独完成这项工作需120天,甲工程队单独工作30天后,乙工程队参与合做,两队又共同工作了36天完成.
(1)求乙工程队单独完成这项工作需要多少天?
(2)因工期的需要,将此项工程分成两部分,甲做其中一部分用了x天完成,乙做另一部分用了y天完成,其中x、y均为正整数,且x<
46,y<
52,求甲、乙两队各做了多少天?
【答案】
(1)设乙工程队单独完
成这项工作需要x天,由题意得
,解之得x=80.
经检验x=80是原方程的解.
答:
乙工程队单独做需要80天完成
(2)因为甲队做其中一部分用了x天,乙队做另一部分用了y天,
所以
,
即
,又x<
52
解之得42<
x<
46,
因为x、y均为正整数,所以x=45,y=50
答:
甲队做了45天,乙队做了50天
【解析】根据已知条件建立等量关系解决问题,注意考虑实际意义
【例题2】
【题干】某种仪器由1种A部件和1个B部件配套构成.每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个,现有工人16名,应怎样安排人力,才能使每天生产的A部件和B部件配套?
【答案】设安排x人生产A部件,安排y人生产B部件,由题意,得
解得:
.
设安排6人生产A部件,安排10人生产B部件,才能使每天生产的A部件和B部件配套.
【解析】根据已知条件找到工人和部件的对应关系进行列式计算
【例题3】
【题
干】已知:
用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨;
用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨.某物流
公司现有31吨货物,计划同时租用A型车a辆,B型车b辆,一次运完,且恰好每辆车都载满货物.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨?
(2)请你帮该物流公司设计租车方案;
(3)若A型车每辆需租金100元/次,B型车每辆需
租金120元/次.请选出最省钱的租车方案,并求出最少租车费.
(1)设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别
运货x吨、y吨,
依题意列方程组得:
解方程组,得:
1辆A型车装满货物一次可运3吨,1辆B型车装满货物一次可运4吨.
(2)结合题意和
(1)得:
3a+4b=31,
∴a=
∵a、b都是正整数
∴
或
有3种租车方案:
方案一:
A型车9辆,B型车1辆;
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方案二:
A型车5辆,B型车4辆;
方案三:
A型车1辆,B型车7辆.
(3)∵A型车每辆需租金100元/次,B型车每辆需租金120元/次,
∴方案一需租金:
9×
100+1×
120=1020(元)
方案二需租金:
5×
100+4×
120=980(元)
方案三需租金:
1×
100+7×
120=940(元)
∵1020>980>940
∴最省钱的租车方案是方案三:
A型车1辆,B型车7辆,最少租车费为940元.
【解析】根据已知条件找到等量关系解决问题,方案问题中结合不等式的知识解决问题,注意方案的合理性。
【例题4】
【题干】如图,长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂,制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(吨?
千米),铁路运价为1.2元/(吨?
千米),且这两次运输共支出公路运输费15000元,铁路
运输费97200元.求:
(1)该工厂从A地购买了多少吨原料?
制成运往B地的产品多少吨?
(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?
【解析】
(1)设工厂从A地购买了x吨原料,制成运往B地的产品y吨,利用两个等量关系:
A地到长青化工厂的公路里程×
1.5x+B地到长青化工厂的公路里程×
1.5y=这两次运输共支出公路运输费15000元;
A地到长青化工厂的铁路里程×
1.2x+B地到长青化工厂的铁路里程×
1.2y=这两次运输共支出铁路运输费97200元,列出关于x与y的二元一次方程
组,求出方程组的解集得到x与y的值,即可得到该工厂从A地购买原料的吨数以及制成运往B地的产品的吨数;
(2)由第一问求出的原料吨数×
每吨1000元求出原料费,再由这两次运输共支出公路运输费15000元,铁路运输费97200元,两运费相加求出运输费之和,由制成运往B地的产品的吨数×
每吨8000元求出销售款,最后由这批产品的销售款-原料费-运输费的和,即可求出所求的结果.
【例题5】
【题干】某商店欲购进甲、乙两种商品,已知甲的进价是乙的进价的一半,进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元.甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元,该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品共100件.
(1)求这两种商品的进价.
(2)该商店有几种进货方案?
哪种进货方案可获得最大利润,最大利润是多少?
【答案】设甲商品的进价为x元,乙商品的进价为y元,由题意,得
商品的进价为40元,乙商品的进价为80元;
(2)设购进甲种商品m件,则购进乙种商品(100﹣m)件,由题意,得
29
≤m≤32
∵m为整数,
∴m=30,31,32,
故有三种进货方案:
方案1,甲种商品30件,乙商品70件,
方案2,甲种商品31件,乙商品69件,
方案3,甲种商品32件,乙商品68件,
设利润为W元,由题意,得
W=40m+50(100﹣m),
=﹣10m+5000
∵k=﹣10<0,
∴W随m的增大而减小,
∴m=30时,W最大=4700.
(1)设甲商品的进价为x元,乙商品的进价为y元,就有x=
y,3x+y=
200,由这两个方程构成方程组求出其解既可以;
(2)设购进甲种商品m件,则购进乙种商品(100﹣m)件,根据不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品100的货款建立不等式,求出其值就可以得出进货方案,设利润为W元,根据利润=售价﹣进价建立解析式就可以求出结论.
【例题6】
【题干】某学校将周三“阳光体育”项目
定为跳绳活动,为此学校准备购置长、短两种跳绳若干.已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元,且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同.
(1)两种跳绳的单价各是多少元?
(2)若学校准备用不超过2000元的现金购买200条长、短跳绳,且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍,问学校有几种购买方案可供选择?
(1)设长跳绳的单价是x元,短跳绳的单价为y元.
由题意得:
.所以长跳绳单价是20元,短跳绳的单价是8元.
(2)设学校购买a条长跳绳,
∵a为正整数,
∴a的整数值为29,3,31,32,33.
所以学校共有5种购买方案可供选择.
(1)设长跳绳的单价是x元,短跳绳的单价为y元,根据长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元;
购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同,可得出方程组,解出即可;
(2)设学校购买a条长跳绳,购买资金不超过2000元,短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍,可得出不等式组,解出即可.
【例题7】
【题干】甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分相遇.
相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.
这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米?
【答案】设汽车的速度为每小时行
千米,拖拉机的速度为每小时
千米.
根据题意,列方程组
解这个方程组,得:
.
汽车行驶了165千米,拖拉机行驶了85千米.
【解析】画直线型示意图理解题意:
(1)这里有两个未知数:
①汽车的行程;
②拖拉机的行程.
(2)有两个等量关系:
①相向而行:
汽车行驶
小时的路程+拖拉机行驶
小时的路程=160千米;
②同向而行:
小时的路程=拖拉机行驶
小时的路程.
【例题8】
【题干】某学校为了改善办学条件,计划购置一批电子
白板和一批笔记本电脑。
经投标,购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元,购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需8万元。
(1
)求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元?
(2)根据该校实际情况,需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396,要求购买的资金不超过2700000元,并且购买笔记本电脑的台数不超过电子白板数量的3倍。
该校有哪几种购买方案?
(3)上面的哪种购买方案最省钱?
按最省钱方案购买需要多少钱?
(1)方法一:
构造方程组:
设购买一台笔记本电脑需x元,购买1块电子白板和需y元,
所
以得到方程组
,解得x=4000,y=15000,
所以购买买一台笔记本电脑需4000元,购买1块电子白板和需15000元,
方法二:
构造一元一次方程
(2)设购买电子白板z台,所以笔记本电脑台数是(396-z)台,所以得出不等式组
,解得:
∵z是正整数,∴z的正整数值是99、100、101,(396-z)的值分别是297、296、295,
∴该校有3种购买方案:
即是购买电子白板与电脑分别是297与99,
即是购买电子白板与电脑分别是296与100,
即是购买电子白板与电脑分别是295与101,
(3)方法一:
直接判断最少的方案:
上面的购买方案最省钱的方案是总数是396的情况下,购买电子白板最少的情况,因此是方案三:
最省钱方案购买需要钱数是:
15000×
396+4000×
101=2673000(元),
分别计算,比较数额大小;
方法三:
运用一次函数性质,确定最少的方案:
【解析】根据题目信息,构造方程组或者是不等
式组确定未知数的解,以及范围,
注意题目中的未知数个数是正整数的条件,确定所有可能的方案,寻找最少,方法多种,可以从两种商品总个数一定,396个,两种商品价位大小差别,找出最少的方案,也可以运用一次函数的性质,进行确定,再者,当所有方案个数不多时,可以分别计算,再进行比较
【例题9】
【题干】长沙市某公园的门票价格如下表所示:
购票人数
1~50人
51~100人
100人以上
票价
10元/人
8元/人
5元/人
某校九年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动,其中甲班有50多人,乙班不足50人,如果以班为单位分别买门票,两个班一共应付920元;
如果两个班联合起来作为一个团体购票,一共要付515元,问甲、乙两班分别有多少人?
【答案】甲班55人,乙班48人.
试题分析:
先设未知数,设甲班人数x人,乙班人数y人,由门票价格和甲乙班人数建立等量关系,∵人数乘以对应的门票价格是票价,∴当两个班合起来买团体票时的总价钱为5(x+y)=515,分开买时,是8x+10y=920,建立二元一次方程组求解.
设甲班x人,乙班y人,由题意建立二元一次方程组:
,∴甲班55人,乙班48人.
【例题10】
【题干】我校八年级实行小班教学,若每间教室安排20名学生,则缺少3间教室;
若每间教室安排2
4名学生,则空出一间教室.问这个学校共有教室多少间?
八年级共有多少人?
【答案】21,480.
本题中有两个等量关系:
20×
(间数+3)=总人数;
24×
(间数﹣1)=总人数,据此可列方程组求解.
设:
这个学校共有教室
间,八年级共有
人.
,解这个方程组得:
,故这个学校共有教室21间,八年级共有480人.
课程小结
本节课主要讲解如何利用二元一次方程组解决实际问题,关键是根据已知条件找到等量关系,计算结果是否符合实际意义进行判断。
注意解题技巧和方法。
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- 春季 学期 新版 新人 七年 级数 下学 83 实际问题 二元 一次 方程组 教案 34
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