等差数列经典试题含答案.docx
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等差数列经典试题含答案
一、等差数列选择题
1.已知数列,都是等差数列,记,分别为,的前n项和,且,则=()
A.B.C.D.
2.已知数列的前项和为,且满足,,则()
A.7B.12C.14D.21
3.等差数列中,已知,则()
A.13B.14C.15D.16
4.设是等差数列的前项和.若,则()
A.B.8C.12D.14
5.设等差数列的前项和为,且,则()
A.45B.50C.60D.80
6.在等差数列{an}中,a3+a7=4,则必有()
A.a5=4B.a6=4C.a5=2D.a6=2
7.等差数列的前项和分别为,若,则的值为()
A.B.C.D.
8.数列为等差数列,,,则通项公式是()
A.B.C.D.9.题目文件丢失!
10.已知等差数列中,,则的前n项和的最大值为()
A.B.C.D.
11.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:
“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?
”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,戊所得为()
A.钱B.钱C.钱D.钱
12.已知等差数列的前项和满足:
,若,则的最大值为()
A.B.C.D.
13.在数列中,,,则()
A.10B.145
C.300D.320
14.冬春季节是流感多发期,某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列,已知,,且满足(),则该医院30天入院治疗流感的共有()人
A.225B.255C.365D.465
15.等差数列的前n项和为,且,,则()
A.21B.15C.10D.6
16.在等差数列的中,若,则等于()
A.25B.11C.10D.9
17.若等差数列{an}满足a2=20,a5=8,则a1=()
A.24B.23C.17D.16
18.设等差数列的前和为,若,则必有()
A.且B.且
C.且D.且
19.已知递减的等差数列满足,则数列的前n项和取最大值时n=()
A.4或5B.5或6C.4D.5
20.设等差数列的前项和为,且,则当取最小值时,的值为()
A.B.C.D.或
二、多选题
21.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为,则的通项公式为()
A.
B.且
C.
D.22.题目文件丢失!
23.已知数列中,,,.若对于任意的,不等式恒成立,则实数可能为()
A.-4B.-2C.0D.2
24.等差数列的前项和为,若,公差,则()
A.若,则B.若,则是中最大的项
C.若,则D.若则.
25.朱世杰是元代著名数学家,他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题,主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔,小明模仿“堆垛”问题,将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”,要求层数不小于2,且从最下面一层开始,每一层比上一层多1根,则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是()
A.4B.5C.7D.8
26.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:
….即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是()
A.B.是偶数C.D.…
27.等差数列的前n项和记为,若,,则()
A.B.
C.D.当且仅当时,
28.已知等差数列的前n项和为,公差,,是与的等比中项,则下列选项正确的是()
A.B.
C.当且仅当时,取最大值D.当时,n的最小值为22
29.设等差数列的前项和为,公差为.已知,,则()
A.B.数列是递增数列
C.时,的最小值为13D.数列中最小项为第7项
30.等差数列的前项和为,若,,则下列结论正确的是()
A.B.C.D.
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一、等差数列选择题
1.D
【分析】
利用等差数列的性质以及前项和公式即可求解.
【详解】
由,
.
故选:
D
2.C
【分析】
判断出是等差数列,然后结合等差数列的性质求得.
【详解】
∵,∴,∴数列为等差数列.
∵,∴,∴.
故选:
C
3.A
【分析】
利用等差数列的性质可得,代入已知式子即可求解.
【详解】
由等差数列的性质可得,
所以,解得:
,
故选:
A
4.D
【分析】
利用等差数列下标性质求得,再利用求和公式求解即可
【详解】
,则
故选:
D
5.C
【分析】
利用等差数列性质当时及前项和公式得解
【详解】
是等差数列,,,
故选:
C
【点睛】
本题考查等差数列性质及前项和公式,属于基础题
6.C
【分析】
利用等差数列的性质直接计算求解
【详解】
因为a3+a7=2a5=4,所以a5=2.
故选:
C
7.C
【分析】
利用等差数列的求和公式,化简求解即可
【详解】
=====.
故选C
8.C
【分析】
根据题中条件,求出等差数列的公差,进而可得其通项公式.
【详解】
因为数列为等差数列,,,
则公差为,
因此通项公式为.
故选:
C.
9.无
10.B
【分析】
根据已知条件判断时对应的的范围,由此求得的最大值.
【详解】
依题意,所以,
所以的前n项和的最大值为.
11.C
【分析】
根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,,a,,,然后再由五人钱之和为5,甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解.
【详解】
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,,a,,,
则根据题意有,
解得,
所以戊所得为,
故选:
C.
12.C
【分析】
首先根据数列的通项与的关系,得到,,,再根据选项,代入前项和公式,计算结果.
【详解】
由得,,,.
又,
,
.
故选:
C.
【点睛】
关键点睛:
本题的第一个关键是根据公式,判断数列的项的正负,第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负.
13.C
【分析】
由等差数列的性质可得,结合分组求和法即可得解。
【详解】
因为,,
所以数列是以为首项,公差为3的等差数列,
所以,
所以当时,;当时,;
所以
.
故选:
C.
14.B
【分析】
直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式,进一步利用分组法求出数列的和
【详解】
解:
当为奇数时,,
当为偶数时,,
所以,
是以2为首项,2为公差的等差数列,
所以,
故选:
B
15.C
【分析】
根据已知条件得到关于首项和公差的方程组,求解出的值,再根据等差数列前项和的计算公式求解出的值.
【详解】
因为,所以,所以,
所以,
故选:
C.
16.D
【分析】
利用等差数列的性质直接求解.
【详解】
因为,,
故选:
D.
17.A
【分析】
由题意可得,再由可求出的值
【详解】
解:
根据题意,,则,
故选:
A.
18.D
【分析】
由等差数列前n项和公式即可得解.
【详解】
由题意,,
所以,.
故选:
D.
19.A
【分析】
由,可得,从而得,然后利用二次函数的性质求其最值即可
【详解】
解:
设递减的等差数列的公差为(),
因为,所以,化简得,
所以,
对称轴为,
因为,,
所以当或时,取最大值,
故选:
A
20.B
【分析】
由题得出,则,利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为,
由得,则,
解得,,,
,对称轴为,开口向上,
当时,最小.
故选:
B.
【点睛】
方法点睛:
求等差数列前n项和最值,由于等差数列是关于的二次函数,当与异号时,在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当与同号时,在取最值.
二、多选题
21.BC
【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可;
【详解】
解:
斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,
显然,,,,,所以且,即B满足条件;
由,
所以
所以数列是以为首项,为公比的等比数列,
所以
所以,
令,则,
所以,
所以以为首项,为公比的等比数列,
所以,
所以;
即C满足条件;
故选:
BC
【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式,数列递推公式的应用,本题运算量较大,难度较大,要求由较高的逻辑思维能力,属于中档题.
22.无
23.AB
【分析】
由题意可得,利用裂项相相消法求和求出,只需对于任意的恒成立,转化为对于任意的恒成立,然后将选项逐一验证即可求解.
【详解】
,,
则,,,,
上述式子累加可得:
,,
对于任意的恒成立,
整理得对于任意的恒成立,
对A,当时,不等式,解集,包含,故A正确;
对B,当时,不等式,解集,包含,故B正确;
对C,当时,不等式,解集,不包含,故C错误;
对D,当时,不等式,解集,不包含,故D错误,
故选:
AB.
【点睛】
本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立,考查了转化与划归的思想,属于中档题.
24.BC
【分析】
根据等差数列的前项和性质判断.
【详解】
A错:
;B对:
对称轴为7;
C对:
,又,;
D错:
,但不能得出是否为负,因此不一定有.
故选:
BC.
【点睛】
关键点点睛:
本题考查等差数列的前项和性质,
(1)是关于的二次函数,可以利用二次函数性质得最值;
(2),可由的正负确定与的大小;(3),因此可由的正负确定的正负.
25.BD
【分析】
依据题意,根数从上至下构成等差数列,设首项即第一层的根数为,公差即每一层比上一层多的根数为,设一共放层,利用等差数列求和公式,分析即可得解.
【详解】
依据题意,根数从上至下构成等差数列,设首项即第一层的根数为,公差为,设一共放层,则总得根数为:
整理得,
因为,所以为200的因数,且为偶数,
验证可知满足题意.
故选:
BD.
【点睛】
关键点睛:
本题考查等差数列的求和公式,解题的关键是分析题意,把题目信息转化为等差数列,考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力,属于基础题.
26.AC
【分析】
由该数列的性质,逐项判断即可得解.
【详解】
对于A,,,,故A正确;
对于B,由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数,故B错误;
对于C,,故C正确;
对于D,,,,
,
各式相加得,
所以,故D错误.
故选:
AC.
【点睛】
关键点点睛:
解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.
27.AB
【分析】
根据等差数列的性质及可分析出结果.
【详解】
因为等差数列中,
所以,
又,
所以,
所以,,故AB正确,C错误;
因为,故D错误,
故选:
AB
【点睛】
关键点睛:
本题突破口在于由得到,结合,进而得到,考查学生逻辑推理能力.
28.AD
【分析】
运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A,B;由二次函数的配方法,结合n为正整数,可判断C;由解不等式可判断D.
【详解】
等差数列的前n项和为,公差,由,可得,即,①
由是与的等比中项,得,即,化为
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