小初高学习江苏省无锡地区中考数学选择填空压轴题 专题5 三角形综合问题Word下载.docx
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,斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动,下列结论:
①若C、O两点关于AB对称,则;
②C、O两点距离的最大值为4;
③若AB平分CO,则AB⊥CO;
④斜
边AB的中点D运动路径的长为;
其中正确的是______________(把你认为正确结论的序号都填上).
同类题型3.3如图,直角△ABC中,∠B=30°
,点O是△ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EF⊥AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则的值为( )
A.B.C.D.
例4.如图,在△ABC中,4AB=5AC,AD为△ABC的角平分线,点E在BC的
延长线上,EF⊥AD于点F,点G在AF上,FG=FD,连接EG交AC于点H.若点H是AC的中点,则的值为________.
同类题型4.1如图,已知是△ABC的中线,过点作∥AC交BC于点,连接交于点;
过点作∥AC交BC于点,连接交于点;
过点作∥AC交BC于点,…,如此继续,可以依次得到点,,…,和点,,…,,则=_________AC.
同类题型4.2如图,过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延长线于点F.在AF上取点M,使得AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,△AMH的面积是,则的值是___________.
例5.如图,△ABC的面积为S.点,,,…,是边BC的n等分点(n≥3,且n为整数),点M,N分别在边AB,AC上,且,连接,,,…,,连接NB,,,…,,线段与NB相交于点,线段与相交于点,线段与相交于点,…,线段与相交于点,则,,,…,的面积和是____________.(用含有S与n的式子表示)
同类题型5.1如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B′处,点A对应点为A′,且B′C=3,则AM的长是( )
A.1.5B.2C.2.25D.2.5
同类题型5.2如图,△ABC中,∠BAC=90°
,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于( )
A.2B.C.D.
同类题型5.3如图,在Rt△ABC中,∠A=90°
,AB=AC,+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为____________.
同类题型5.4如图,在矩形ABCD中,∠B的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC=_________________.(结果保留根号)
参考答案
A.2个B.3个C.4个D.5个
解:
①BP为等腰三角形一腰长时,符合点E的位置有2个,是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P;
②BP为底边时,C为顶点时,符合点E的位置有2个,是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P;
③以PC为底边,B为顶点时,这样的等腰三角形不存在,因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点.
选C.
A.1个B.2个C.3个D.4个
∵D是BC中点,N是AC中点,
∴DN是△ABC的中位线,
∴DN∥AB,且AB;
∵三角形ABE是等腰直角三角形,EM平分∠AEB交AB于点M,
∴M是AB的中点,
∴AB,
又∵AB,
∴EM=DN,
∴结论①正确;
∵DN∥AB,
∴△CDN∽ABC,
∵AB,
∴,
∴S_(四边形ABDN),
∴结论②正确;
如图1,连接MD、FN,
∵D是BC中点,M是AB中点,
∴DM是△AB
C的中位线,
∴DM∥
AC,且AC;
∵三角形ACF是等腰直角三角形,N是AC的中点,
∴AC,
又∵AC,
∴DM=FN,
∵DM∥AC,DN∥AB,
∴四边形AMDN是平行四边形,
∴∠AMD=∠AND,
又∵∠EMA=∠FNA=90°
,
∴∠EMD=∠DNF,
在△EMD和△DNF中,
∴△EMD≌△DNF,
∴DE=DF,
∴结论③正确;
如图2,连接MD,EF,NF,
∵三角形ABE是等腰直角三角形,EM平分∠AEB,
∴M是AB的中点,EM⊥AB,
∴EM=MA,∠EMA=90°
,∠AEM=∠EAM=45°
∴DM是△ABC的中位线,
∴DM∥AC,且AC;
∴AC,∠FNA=90°
,∠FAN=∠AFN=45°
∴FA,
∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°
+∠AMD,
∠EAF=360°
-∠EAM-∠FAN-∠BAC
=360°
-45°
-(180°
-∠AMD)
=90°
+∠A
MD
∴∠EMD=∠EAF,
在△EM
D和△∠EAF中,
∴△EMD∽△∠EAF,
∴∠MED=∠AEF,
∵∠MED+∠AED=45°
∴∠AED+∠AEF=45°
即∠DEF=45°
又∵DE=DF,
∴∠DFE=45°
∴∠EDF=180°
∴DE⊥DF,
∴结论④正确.
∴正确的结论有4个:
①②③④.
选D.
A.当∠B为定值时,∠CDE为
定值
B.当∠1为定值时,∠CDE为定值
C.当∠2为定值时,∠CDE为定值
D.当∠3为定值时,∠CDE为定值
在△CDE中,由三角形的外角性质得,∠AED=∠CDE+∠C,
在△ABD中,由三角形的外角性质得,∠B+∠1=∠ADC=∠ADE+∠CDE,
∵∠B=∠C,∠ADE=∠AED,
∴∠B+∠1=∠CDE+∠C+∠CDE=2∠CDE+∠B,
∴∠1=2∠CDE,
∴当∠1为定值时,∠CDE为定值.
选B.
.若BD=2CE,则DE的长为______________.
将△ABD绕点A逆时针旋转120°
得到△ACF,取CF的中点G,连接EF、EG,如图所示.
∵,∠BAC=120°
∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°
∴∠ECG=60°
.
∵CF=BD=2CE,
∴CG=CE,
∴△CEG为等边三角形,
∴EG=CG=FG,
∴∠CGE=30°
∴△CEF为直角三角形.
∵∠BAC=120°
,∠DAE=60°
∴∠BAD+∠CAE=60°
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°
在△ADE和△AFE中,,
∴△ADE≌△AFE(SAS),
∴DE=FE.
设EC=x,则BD=CD=2x,DE=FE=6-3x,
在Rt△CEF中,∠CEF=90°
,CF=2x,EC=x,
x,
∴x,
∴-3.
①∵∠ABC=90°
,AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB=45°
又∵∠BAD=90°
∴∠BAC=∠DAC,
在△ACD和△ACE中,
∴△ACD≌△ACE(SAS);
故①正确;
②同理∠AED=45°
,∠BEC=90°
-∠BCE=90°
-15°
=75°
∴∠DEC=60°
∵△ACD≌△ACE,
∴CD=CE,
∴△CDE为等边三角形.故②正确.
③∵△CHE为直角三角形,且∠HEC=60°
∴EC=2EH
∵∠ECB=15°
∴EC≠4EB,
∴EH≠2EB;
故③错
误.
④∵AE=AD,CE=CD,
∴点A与C在DE的垂直平分线上,
∴AC是DE的垂直平分线,
即AC⊥DE,
∴CE>CH,
∵CD=CE,
∴CD>CH,
∵∠BAC=45°
∴AH=EH,
∵,
∴,故④错误.
答案为:
①②.
∵,OC=1,
∴BC=2,
∴∠OBC=30°
,∠OCB=60°
而为等边三角形,=60°
∴=30°
,则O=90°
在中,,
同理得:
依此类推,第n个等边三角形的边长等于.
的值为_________.
连接PP′,如图,
∵线段PC绕点C顺时针旋转60°
C,
∴CP=CP′=6,∠PCP′=60°
∴△CPP′为等边三角形,
∴PP′=PC=6,
∵△ABC为等边三角形,
∴CB=CA,∠ACB=60°
∴∠PCB=∠P′CA,
在△PCB和△P′CA中
∴△PCB≌△P′CA,
∴PB=P′A=10,
∴△APP′为直角三角形,∠APP′=90°
∴.
同类题型2.4
④设OD=m,AE+AF=n,则mn.
其中正确的结论是( )
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠ABC,∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠A,
∴∠A;
过点O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于N,连接OA,
∴ON=OD=OM=m,
∴mn;
故④正确;
∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB,
∵EF∥BC,
∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB,
∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,
∴EB=EO,FO=FC,
∴EF=EO+FO=BE+CF,
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切,故②正确,
根据已知不能推出E、F分别是AB、AC的中点,故③正确,
∴其中正确的结论是①②④
同类题型3.1如图所示,四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为( )
A.B.C.D.
以A为圆心,AB长为半径作圆,延长BA交⊙A于F,连接DF.
∵DC∥AB,
∴DF=CB=1,BF=2+2=4,
∵FB是⊙A的直径,
∴∠FDB=90°
④斜边AB的中点D运动路径的长为;
在Rt△ABC中,∵BC=2,∠BAC=30°
∴AB=4,,
①若C、O两点关于AB对称,如图1,
∴AB是OC的垂直平分线,
则;
所以①正确;
②如图1,取AB的中点为E,连接OE、CE,
∵∠AOB=∠ACB=90°
∴AB=2,
当OC经过点E时,OC最大,
则C、O两点距离的最大值为4;
所以②正确;
③如图2,当∠ABO=30°
时,∠OBC=∠AOB=∠ACB=90°
∴四边形AOBC是矩形,
∴AB与OC互相平分,
但AB与OC的夹角为60°
、120°
,不垂直,
所以③不正确;
④如图3,斜边AB的中点D运动路径是:
以O为圆心,以2为半径的圆周的,
则:
=π,
所以④不正确;
综上所述,本题正确的有:
,点O是△ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EF⊥AB
交BC于点F,连接AF交CE于点M,则的值为( )
∵点O是△ABC的重心,
∴CE,
∵△ABC是直角三角形,
∴CE=BE=AE,
∵∠B=30°
∴∠FAE=∠B=30°
,∠BAC=60°
∴∠FAE=∠CAF=30°
,△ACE是等边三角形,
∴CE,即AE,
∵BE=AE,
∴AE,
∵EF⊥AB,
∴∠AFE=60°
∴∠FEM=30°
∴EF,
例4.如图,在△ABC中,4AB=5AC,AD为△ABC的角平分线,点E在BC的延长线上,EF⊥AD于点F,点G在AF上,FG=FD,连接EG交AC于点H.若点H是AC的中点,则的值为________.
已知AD为角平分线,则点D到AB、AC的距离相等,设为h.
∴CD.
如右图,延长AC,在AC的延长线上截取AM=AB,则有AC=4CM.连接DM.
在△ABD与△AMD中,
∴△ABD≌△AMD(SAS),
过点M作MN∥AD,交EG于点N,交DE于点K.
∵MN∥AD,
∴CD,
∴MD=KD,即△DMK为等腰三角形,
∴∠DMK=∠DKM.
由题意,易知△EDG为等腰三角形,且∠1=∠2;
∴∠3=∠4=∠1=∠2,
又∵∠DKM=∠3(对顶角)
∴∠DMK=∠4,
∴DM∥GN,
∴四边形DMNG为平行四边形,
∴MN=DG=2FD.
∵点H为AC中点,AC=4CM,
∴,即,
∵∥AC,
∴=∠BAC,=∠BCA,
∴∽△BAC,
∵是△ABC的中线,
∴,,
∴AC.
同理:
AC.
过点H作HG⊥AC于点G,
∵AF平分∠CAE,DE∥BF,
∴∠HAF=∠AFC=∠CAF,
∴AC=CF=2,
∵AF,
∵DE∥CF,
∴△AHM∽△FCM,
∴AH=1,
设△AHM中,AH边上的高为m,
△FCM中CF边上的高为n,
∵△AMH的面积为:
∴AH﹒m
设△AHC的面积为S,
∴=3,
∴由勾股定理可知:
∴
连接MN,设BN交于,交于,交于.
∴MN∥BC,
∵点,,,…,是边BC的n等分点,
∴四边形B,四边形,四边形都是平行四边形,
易知﹒S,﹒S,﹒S,
∴﹒S,
∴﹒S-(n-1)﹒﹒S-S=﹒S.
同类题型5.1如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的B′处,点A对应点为A′,且B′C=3,则AM的长是( )
A.1.5B.2C.2.25D.2.5
设AM=x,
连接BM,MB′,
在Rt△ABM中,,
在Rt△MDB′中,,
∵MB=MB′,
即,
解得x=2,
即AM=2,
故选B.
,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于( )
A.2B.C.D.
如图连接BE交AD于O,作AH⊥BC于H.
在Rt△ABC中,∵AC=4,AB=3,
∴=5,
∵CD=DB,
∵﹒AB﹒AC,
∵AE=AB,
∴点A在BE的垂直平分线上.
∵DE=DB=DC,
∴点D在BE使得垂直平分线上,△BCE是直角三角形,
∴AD垂直平分线段BE,
∵﹒BD﹒AH,
在Rt△BCE中,,
,AB=AC,+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的
直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为____________.
①如图1,
当∠B′MC=90°
,B′与A重合,M是BC的中点,
∴;
②如图2,当∠MB′C=90°
∵∠A=90°
,AB=AC,
∴∠C=45°
∴△CMB′是等腰直角三角形,
∴MB′,
∵沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′,
∴BM=B′M,
∴BM
∵+1,
∴+1,
∴BM=1,
综上所述,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为或1.
延长EF和BC,交于点G
∵矩形ABCD中,∠B的角平分线BE与AD交于点E,
∴∠ABE=∠AEB=45°
∴AB=AE=9,
∴直角三角形ABE中,,
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F,
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
由∠G=∠DEF,∠EFD=∠GFC,可得△EFD∽△GFC
设CG=x,DE=2x,则AD=9+2x=BC
∵BG=BC+CG
∴=9+2x+x
解得-3
∴+3.
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