江苏省苏北三市届高三上学期期末考试数学Word格式文档下载.docx
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π
11.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则以函数f(x)与g(x)
6
的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为W.
→3→
12.在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°
,P为△ABC所在平面内一点,满足CP=PB+
→→→
2PA,则CP·
AB的值为W.
32
13.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:
x+y+2mx-(4m+6)y-4=0(m∈R)与以C(-2,
12
3)为圆心的圆相交于A(x,y),B(x,y)两点,且满足x-x=y-y,则实数m的值为W.
11221221
14.已知x>
0,y>
0,z>
0,且x+3y+z=6,则x+y+3z的最小值为W.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)
2π
在△ABC中,sinA=,A∈(,π).
(1)求sin2A的值;
(2)若sinB=,求cosC的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱ABCABC中,D,E,F分别是BC,AB,AA的中点.
111111
(1)求证:
EF∥平面ABD;
(2)若AB=AC,求证:
平面ABD⊥平面BBCC.
1111111
17.(本小题满分14分)
如图,某公园内有两条道路AB,AP,现计划在AP上选择一点C,新建道路BC,并把△ABC所
在的区域改造成绿化区域.已知∠BAC=,AB=2km.
(1)若绿化区域△ABC的面积为1km,求道路BC的长度;
(2)若绿化区域△ABC改造成本为10万元/km,新建道路BC成本为10万元/km.设∠ABC=θ(0<
θ
≤
),当θ为何值时,该计划所需总费用最小?
18.(本小题满分16分)
xy2
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
+=1(a>
b>
0)的离心率为,且右焦点到右
ab2
准线l的距离为1.过x轴上一点M(m,0)(m为常数,且m∈(0,2))的直线与椭圆C交于A,B两点,与l交于点P,D是弦AB的中点,直线OD与l交于点Q.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)试判断以PQ为直径的圆是否经过定点?
若是,求出定点坐标;
若不是,请说明理由.
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=(x-a)lnx(a∈R).
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线的方程;
(2)若对于任意的正数x,f(x)≥0恒成立,求实数a的值;
(3)若函数f(x)存在两个极值点,求实数a的取值范围.
*
n
n1
-
20.(本小题满分16分)
已知数列{a}满足对任意的n∈N,都有a(qa-1)+2qaa=a(1-qa),且a+a≠0,nnnnn+1n+1n+1n+1n
其中a=2,q≠0.记T=a+qa+qa+…+qa.
1n123n
(1)若q=1,求T的值;
2019
(2)设数列{b}满足b=(1+q)T-qa.
nnnn
①求数列{b}的通项公式;
②若数列{c}满足c=1,且当n≥2时,c=2b-1,是否存在正整数k,t,使c,c-c,n1nn-11k1
c-c成等比数列?
若存在,求出所有k,t的值;
若不存在,请说明理由.
tk
0120
数学附加题
(满分40分,考试时间30分钟)
21.【选做题】在A,B,C三小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(选修42:
矩阵与变换)
已知矩阵A=,B=
2318
,求A-1B.
B.(选修44:
坐标系与参数方程)
在极坐标系中,曲线C:
ρ=2cosθ.以极点为坐标原点,极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系xOy,设过点A(3,0)的直线l与曲线C有且只有一个公共点,求直线l的斜率.
C.(选修45:
不等式选讲)
已知函数f(x)=|x-1|.
(1)解不等式f(x-1)+f(x+3)≥6;
(2)若|a|<
1,|b|<
1,且a≠0,求证:
f(ab)>
|a|f().
n+1
.
【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
22.如图,在三棱锥DABC中,DA⊥平面ABC,∠CAB=90°
,且AC=AD=1,AB=2,E为BD的中点.
(1)求异面直线AE与BC所成角的余弦值;
(2)求二面角ACEB的余弦值.
23.已知数列{a}满足a=,a=-2a+2a,n∈N
n13nn
(1)用数学归纳法证明:
a∈(0,);
n2
(2)令b=-a,求证:
n2n
222
63
2019届高三模拟考试试卷(五)(苏北三市)数学参考答案及评分标准
1.{1,2}2.53.24.215.
11513π
6.47.8.839.(0,4)10.11.12.3232
-113.-614.
37
4
15.解:
(1)由sinA=,A∈(,π),则cosA=-1-sinA=-
2545
所以sin2A=2sinAcosA=2×
×
(-)=-.(6分)
339
(2)由A∈(,π),则B为锐角.
25
1-()=-,(2分)33
又sinB=,所以cosB=1-sin3
B=
122
1-()=,(8分)33
所以cosC=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)(12分)
=-(-
52221210+2
×
-×
)=.(14分)33339
16.证明:
(1)因为E,F分别是AB,AA的中点,所以EF∥AB.(3分)
因为EF平面ABD,AB⊂平面ABD,
111
所以EF∥平面ABD.(6分)
(2)在直三棱柱ABCABC中,BB⊥平面ABC.
因为AD⊂平面ABC,所以BB⊥AD.(8分)
因为AB=AC,且D是BC的中点,
所以AD⊥BC.(10分)
因为BB∩BC=B,BC,BB1111111
⊂平面BB
CC,
所以AD⊥平面BBCC.(12分)
因为AD⊂平面ABD,
所以平面ABD⊥平面BBCC.(14分)
17.解:
(1)在△ABC中,已知∠BAC=,AB=2km,
1π
所以△ABC的面积S=×
AB×
AC×
sin=1,解得AC=2.(2分)
26
在△ABC中,由余弦定理得BC=AB+AC-2×
cos
=2+2-2×
2×
=8-43,(4分)
所以BC=8-43=6-2(km).(5分)
π2π
(2)由∠ABC=θ,则∠ACB=π-(θ+),0<
θ≤.
πACBCAB
在△ABC中,∠BAC=,AB=2km,由正弦定理得==,
6sinBsinAsinC
66
666
=2,b
12sinθ
所以BC=,AC=.(7分)
ππ
sin(θ+)sin(θ+)
记该计划所需费用为F(θ),
12sinθ1110(sinθ+1)2π
则F(θ)=×
10+×
10=(0<
θ≤).(10分)
π2ππ3
sin(θ+)sin(θ+)sin(θ+)
π1
sin(θ-)+
sinθ+132
令f(θ)=,则f′(θ)=.(11分)
3131
sinθ+cosθ(sinθ+cosθ)
2222
由f′(θ)=0,得θ=.
所以当θ∈(0,)时,f′(θ)<
0,f(θ)单调递减;
当θ∈(,)时,f′(θ)>
0,f(θ)单调递增.(12分)
所以当θ=时,该计划所需费用最小.
答:
当θ=时,该计划所需总费用最小.(14分)
c2
=,
a2a=2,
18.解:
(1)设椭圆的右焦点为(c,0),由题意,得解得
ac=1,
-c=1,
c
所以a
x
=1,所以椭圆C的标准方程为+y
=1.(4分)
(2)由题意,当直线AB的斜率不存在或为零时显然不符合题意.设AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-m).
又准线方程为x=2,
所以点P的坐标为P(2,k(2-m)).(6分)
y=k(x-m),
由得x+2k(x-m)x+2y=2,
=2,
即(1+2k)x-4kmx+2km-2=0,
14km2km2kmkm
所以x=·
=,y=k(-m)=-,(8分)
D22k2+12k+1D2k2+12k+1
所以k=-,从而直线OD的方程为y=-x,
OD2k2k
所以点Q的坐标为Q(2,-),(10分)
k
所以以PQ为直径的圆的方程为(x-2)+[y-k(2-m)](y+)=0,
即x-4x+2+m+y-[k(2-m)-]y=0.(14分)
xxxx
tte
因为该式对k≠0恒成立,所以
y=0,x=2±
2-m,
解得
x-4x+2+m+y=0,y=0.
所以以PQ为直径的圆经过定点(2±
2-m,0).(16分)
19.解:
(1)因为f(x)=(x-a)lnx(a∈R),所以当a=1时,f(x)=(x-1)lnx,
则f′(x)=lnx+1-.(1分)
当x=1时,f
(1)=0,f′
(1)=0,
所以曲线f(x)在点(1,f
(1))处的切线的方程为y=0.(3分)
(2)因为对于任意的正数x,f(x)≥0恒成立,
所以当lnx=0,即x=1时,f(x)=0,a∈R;
(5分)
当lnx>
0,即x>
1时,x≥a恒成立,所以a≤1;
(6分)
当lnx<
0,即x<
1时,x≤a恒成立,所以a≥1.
综上可知,对于任意的正数x,f(x)≥0恒成立,a=1.(7分)
(3)因为函数f(x)存在两个极值点,
所以f′(x)=lnx-+1存在两个不相等的零点.
a1ax+a
设g(x)=lnx-+1,则g′(x)=+=.(8分)
当a≥0时,g′(x)>
0,所以g(x)单调递增,至多一个零点.(9分)
当a<
0时,x∈(0,-a)时,g′(x)<
0,g(x)单调递减,
x∈(-a,+∞)时,g′(x)>
0,g(x)单调递增,
所以x=-a时,g(x)=g(-a)=ln(-a)+2.(11分)
min
因为g(x)存在两个不相等的零点,所以ln(-a)+2<
0,解得-e<
a<
0.
因为-e
<
0,所以->
e>
-a.
因为g(-)=ln(-)+a+1>
0,所以g(x)在(-a,+∞)上存在一个零点.(13分)aa
因为-e<
0,所以a<
-a.又g(a)=lna-+1=2ln(-a)++1,
a-a
设t=-a,则y=2lnt++1(0<
t<
).
te
2t-111
因为y′=<
0,所以y=2lnt++1(0<
)单调递减.
又函数图象是连续的,所以y>
2ln
e
+e+1=e-3>
0,
所以g(a)=lna-+1>
0,所以在(0,-a)上存在一个零点.
综上可知,-e<
0.(16分)
20.解:
(1)当q=1时,由a(qa-1)+2qaa=a(1-qa),
nnnn+1n+1n+1
得(a+a)=a+a.
n+1nn+1n
又a+a≠0,所以a+a=1.(2分)
又a=2,
所以T=a+(a+a)+(a+a)+…+(a+a)=1011.(4分)20191234520182019
(2)①由a(q
a-1)+2qn
aa=a(1-qnn+1n+1
a),得qn+1
(a+a)=a+a.n+1nn+1n
k2t
t
t2
k1
=
(2)
k2
k12k2
--
2k2k2
又a+a≠0,所以a+a=.(6分)n+1nn+1nq
因为T=a+qa+qa+…+qa,n123n
所以qT=qa+qa+qa+…+qa,n123n
所以(1+q)T=a+q(a+a)+qn112
(a+a)+q23
(a+a)+…+q34
(a+a)+qn-1n
a,
b=(1+q)T-qa=a+1+1+…+1+qa-qa=a+n-1=n+1,nnn1nn1
所以b=n+1.(10分)
②由题意,得c=2b-1=2-1,n≥2.
nn-1
因为c,c-c,c-c成等比数列,
1k1tk
所以(c-c)=c(c-c),即(2-2)=2-2,(12分)
k11tk
所以2
=(2
)
-3·
2+4,即2
+1(*).
由于c-c≠0,所以k≠1,即k≥2.k1
当k=2时,2=8,得t=3.(14分)
当k≥3时,由(*)得
(2)-3·
+1为奇数,
所以t-2=0,即t=2,代入(*)得2-3·
2=0,即2=3,此时k无正整数解.综上,k=2,t=3.(16分)
20
=
22222
2019届高三模拟考试试卷(五)(苏北三市)数学附加题参考答案及评分标准
21.A.解:
由题意得A
1=
31
10
,(5分)
所以A
18
5
-4
.(10分)
B.解:
曲线C:
ρ=2cosθ的直角坐标方程为(x-1)
+y
设过点A(3,0)的直线l的直角坐标方程为x=my+3,因为直线l与曲线C有且只有一个公共点,
所以
|1-3|
1+m
=1,解得m=±
3.(8分)
从而直线l的斜率为±
C.
(1)解:
不等式的解集是(-∞,-3]∪[3,+∞).(4分)
(2)证明:
要证f(ab)>
|a|f(),只要证|ab-1|>
|b-a|,只需证(ab-1)>
(b-a)
而(ab-1)-(b-a)=ab-a-b+1=(a-1)(b-1)>
从而原不等式成立.(10分)
22.解:
因为DA⊥平面ABC,∠CAB=90°
,所以以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为AC=AD=1,AB=2,
所以A(0,0,0),C(1,0,0),B(0,2,0),D(0,0,1).
因为点E为线段BD的中点,所以E(0,1,).
→1→
(1)AE=(0,1,),BC=(1,-2,0),
→→→→AE·
BC
所以cos〈AE,BC〉==
→→
|AE||BC|
-24
=-,
55
5
所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.(5分)
→→1
(2)设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),因为AC=(1,0,0),AE=(0,1,),
所以n·
AC=0,n·
AE=0,即x=0且y+z=0,取y=1,得x=0,z=-2,112
所以n=(0,1,-2)是平面ACE的一个法向量.
i1
i10
1i101
i1i
i
+
设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),因为BC=(1,-2,0),BE=(0,-1,),
BC=0,n·
BE=0,即x-2y=0且-y+z=0,取y=1,得x=2,z=2,222
所以n=(2,1,2)是平面BCE的一个法向量.
n·
n-35
所以cos〈n,n〉===-.(8分)
|n1||n2|5×
95
所以二面角ACEB的余弦值为-
.(10分)
23.证明:
(1)当n=1时,a=∈(0,),结论显然成立;
132
假设当n=k(k≥1,k∈N
)时,a∈(0,),
则当n=k+1时,a=-2a+2a=-2(a-)+∈(0,).
k+1kkk222
综上,a∈(0,).(4分)
(2)由
(1)知,a∈(0,),所以b=-a∈(0,).
n2n2n2
因为a=-2a+2a,
n+1nn
1111
所以-a=-(-2a+2a)=2a-2a+=2(a-),即b=2b.
2n+12nnnn2n2n+1n
于是logb=2logb+1,
2n+12n
所以(logb+1)=2(logb+1),
故{logb+1}构成以2为公比的等比数列,其首项为logb+1=log+1=log.2n212623
于是lo
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