人教版最新高中数学高考总复习抛物线习题及详解Word版.docx
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人教版最新高中数学高考总复习抛物线习题及详解Word版
高中数学高考总复习抛物线习题(附参考答案)
一、选择题
1.(2010·湖北黄冈)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为( )
A.-2B.2
C.-4D.4
[答案] D
[解析] 椭圆中,a2=6,b2=2,∴c==2,
∴右焦点(2,0),由题意知=2,∴p=4.
2.已知点M是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,F为抛物线的焦点,若以|MF|为直径作圆,则这个圆与y轴的关系是( )
A.相交B.相切
C.相离D.以上三种情形都有可能
[答案] B
[解析] 如图,由MF的中点A作准线l的垂线AE,交直线l于点E,交y轴于点B;由点M作准线l的垂线MD,垂足为D,交y轴于点C,
则MD=MF,ON=OF,
∴AB==
==,
∴这个圆与y轴相切.
3.(2010·山东文)已知抛物线y2=2px(p>0),过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1B.x=-1
C.x=2D.x=-2
[答案] B
[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点(,),∴=2,∵A、B在抛物线y2=2px上,
∴
①-②得y12-y22=2p(x1-x2),
∴kAB===,∵kAB=1,∴,p=2
∴抛物线方程为y2=4x,∴准线方程为:
x=-1,故选B.
4.双曲线-=1的渐近线上一点A到双曲线的右焦点F的距离等于2,抛物线y2=2px(p>0)过点A,则该抛物线的方程为( )
A.y2=9xB.y2=4x
C.y2=xD.y2=x
[答案] C
[解析] ∵双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,F点坐标为(,0),设A点坐标为(x,y),则y=±x,由|AF|=2⇒=2⇒x=,y=±,代入y2=2px得p=,所以抛物线方程为y2=x,所以选C.
5.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.B.3
C.D.
[答案] A
[解析] 记抛物线y2=2x的焦点为F,准线是l,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值,结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F与点(0,2)的距离,因此所求的最小值等于=,选A.
6.已知抛物线C:
y2=4x的焦点为F,准线为l,过抛物线C上的点A作准线l的垂线,垂足为M,若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31,则点A的坐标为( )
A.(2,2)B.(2,-2)
C.(2,±)D.(2,±2)
[答案] D
[解析] 如图,由题意可得,|OF|=1,由抛物线定义得,|AF|=|AM|,∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1,
∴==3,
∴|AM|=3,设A,∴+1=3,
解得y0=±2,∴=2,
∴点A的坐标是(2,±2),故选D.
7.(2010·河北许昌调研)过点P(-3,1)且方向向量为a=(2,-5)的光线经直线y=-2反射后通过抛物线y2=mx,(m≠0)的焦点,则抛物线的方程为( )
A.y2=-2xB.y2=-x
C.y2=4xD.y2=-4x
[答案] D
[解析] 设过P(-3,1),方向向量为a=(2,-5)的直线上任一点Q(x,y),则∥a,∴=,∴5x+2y+13=0,此直线关于直线y=-2对称的直线方程为5x+2(-4-y)+13=0,即5x-2y+5=0,此直线过抛物线y2=mx的焦点F,∴m=-4,故选D.
8.已知mn≠0,则方程是mx2+ny2=1与mx+ny2=0在同一坐标系内的图形可能是( )
[答案] A
[解析] 若mn>0,则mx2+ny2=1应为椭圆,y2=-x应开口向左,故排除C、D;∴mn<0,此时抛物线y2=-x应开口向右,排除B,选A.
9.(2010·山东聊城模考)已知A、B为抛物线C:
y2=4x上的不同两点,F为抛物线C的焦点,若=-4,则直线AB的斜率为( )
A.±B.±
C.±D.±
[答案] D
[解析] ∵=-4,∴||=4||,设|BF|=t,则|AF|=4t,∴|BM|=|AA1|-|BB1|=|AF|-|BF|=3t,又|AB|=|AF|+|BF|=5t,∴|AM|=4t,
∴tan∠ABM=,由对称性可知,这样的直线AB有两条,其斜率为±.
10.已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-4)和点B(t,0)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.∪
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(,+∞)
[答案] B
[解析] 由题意知方程组无实数解
由②得y=-4,代入①整理得,
2x2-+4=0,∴Δ=-32<0,
∴t>或t<-,故选B.
[点评] 可用数形结合法求解,设过点A(0,-4)与抛物线x2=y相切的直线与抛物线切点为M(x0,y0),
则切线方程为y-y0=4x0(x-x0),
∵过A点,∴-4-2x02=4x0(0-x0),
∴x0=±,∴y0=4,
∴切线方程为y-4=±4x-8,
令y=0得x=±,即t=±,
由图形易知直线与抛物线无公共点时,t<-或t>.
二、填空题
11.已知点A(2,0)、B(4,0),动点P在抛物线y2=-4x上运动,则·取得最小值时的点P的坐标是______.
[答案] (0,0)
[解析] 设P,则=,=,·=+y2=+y2+8≥8,当且仅当y=0时取等号,此时点P的坐标为(0,0).
12.(文)(2010·泰安市模拟)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l,交抛物线于A、B两点,且|FA|=3,则抛物线的方程是________.
[答案] y2=3x
[解析] 设抛物线准线为l,作AA1⊥l,BB1⊥l,FQ⊥l,垂足分别为A1、B1、Q,作BM⊥AA1垂足为M,BM交FQ于N,则由条件易知∠ABM=30°,设|BF|=t,则|NF|=,|MA|=,∵|AM|=|QN|,∴3-=p-,∴p=,∴抛物线方程为y2=3x.
(理)(2010·泰安质检)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是________.
[答案] y2=3x
[解析] 解法1:
过A、B作准线垂线,垂足分别为A1,B1,则|AA1|=3,|BB1|=|BF|,∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,∴|AC|=2|AA1|=2|AF|=6,∴|CF|=3,
∴p=|CF|=,∴抛物线方程为y2=3x.
解法2:
由抛物线定义,|BF|等于B到准线的距离,由|BC|=2|BF|得∠BCB1=30°,又|AF|=3,
从而A在抛物线上,代入抛物线方程y2=2px,解得p=.
点评:
还可以由|BC|=2|BF|得出∠BCB1=30°,从而求得A点的横坐标为|OF|+|AF|=+或3-,∴+=3-,∴p=.
13.已知F为抛物线C:
y2=4x的焦点,过F且斜率为1的直线交C于A、B两点.设|FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于________.
[答案] 3+2
[解析] 分别由A和B向准线作垂线,垂足分别为A1,B1,则由条件知,
,解得,
∴=3+2,即=3+2.
14.(文)若点(3,1)是抛物线y2=2px的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为2,则p=________.
[答案] 2
[解析] 设弦两端点P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则,两式相减得,==2,
∵y1+y2=2,∴p=2.
(理)(2010·衡水市模考)设抛物线x2=12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A、B两点,又知点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=________.
[答案] 8
[解析] 过A、B、P作准线的垂线AA1、BB1与PP1,垂足A1、B1、P1,则|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=2|PP1|=2[1-(-3)]=8.
三、解答题
15.(文)若椭圆C1:
+=1(0
x2=2py(p>0)的焦点在椭圆C1的顶点上.
(1)求抛物线C2的方程;
(2)若过M(-1,0)的直线l与抛物线C2交于E、F两点,又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2,当l1⊥l2时,求直线l的方程.
[解析]
(1)已知椭圆的长半轴长为a=2,半焦距c=,
由离心率e===得,b2=1.
∴椭圆的上顶点为(0,1),即抛物线的焦点为(0,1),
∴p=2,抛物线的方程为x2=4y.
(2)由题知直线l的斜率存在且不为零,则可设直线l的方程为y=k(x+1),E(x1,y1),F(x2,y2),
∵y=x2,∴y′=x,
∴切线l1,l2的斜率分别为x1,x2,
当l1⊥l2时,x1·x2=-1,即x1·x2=-4,
由得:
x2-4kx-4k=0,
由Δ=(-4k)2-4×(-4k)>0,解得k<-1或k>0.
又x1·x2=-4k=-4,得k=1.
∴直线l的方程为x-y+1=0.
(理)在△ABC中,⊥,=(0,-2),点M在y轴上且=(+),点C在x轴上移动.
(1)求B点的轨迹E的方程;
(2)过点F的直线l交轨迹E于H、E两点,(H在F、G之间),若=,求直线l的方程.
[解析]
(1)设B(x,y),C(x0,0),M(0,y0),x0≠0,
∵⊥,∴∠ACB=,
∴·=-1,于是x02=2y0①
M在y轴上且=(+),
所以M是BC的中点,可得
,∴
把②③代入①,得y=x2(x≠0),
所以,点B的轨迹E的方程为y=x2(x≠0).
(2)点F,设满足条件的直线l方程为:
y=kx-,H(x1,y1),G(x2,y2),
由消去y得,x2-kx+=0.
Δ=k2-1>0⇒k2>1,
∵=,即=(x2-x1,y2-y1),
∴x1=x2-x1⇒3x1=x2.
∵x1+x2=k,x1x2=,∴k=±,
故满足条件的直线有两条,方程为:
8x+4y+=0和8x-4y-=0.
16.(文)已知P(x,y)为平面上的动点且x≥0,若P到y轴的距离比到点(1,0)的距离小1.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)设过点M(m,0)的直线交曲线C于A、B两点,问是否存在这样的实数m,使得以线段AB为直径的圆恒过原点.
[解析]
(1)由题意得:
-x=1,化简得:
y2=4x (x≥0).
∴点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0).
(2)设直线AB为y=k(x-m),A(x1,y1),B(x2,y2),
由,得ky2-4y-4km=0,
∴y1+y2=,y1·y2=-4m.∴x1·x2=m2,
∵以线段AB为直径的圆恒过原点,
∴OA⊥OB,∴x1·x2+y1·y2=0.
即m2-4m=0⇒m=0或4.当k不存在时,m=0或4.
∴存在m=0或4,使得以线段AB为直径的圆恒过原点.
[点评]
(1)点P到定点F(1,0)的
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