届河北省唐山市高三上学期摸底考试数学文试题及答案.docx
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届河北省唐山市高三上学期摸底考试数学文试题及答案
绝密★启用前
河北省唐山市2020届高三年级上学期摸底考试
数学(文)试题
试卷类型:
A
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,则A∩B=
A.{0,1,2}B.{0,1}C.{3}D.{1}
2.已知p,qR,1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,则p·q=
A.-4B.0C.2D.4
3.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a5=-2,S15=150,则公差d=
A.6B.5C.4D.3
4.已知a=ln3,b=log310,c=lg3,则a,b,c的大小关系为
A.c
5.函数的图像大致为
6.双曲线C:
x2-y2=2的右焦点为F,点P为C的一条渐近线上的点,O为坐标原点。
若,则S△OPF=
A.B.C.1D.2
7.已知,则sinα=
A.B.C.D.
8.右图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由一个半圆和一个四分之一圆构成,两个阴影部分分别标记为A和M。
在此图内任取一点,此点取自A区域的概率记为P(A),取自M区域的概率记为P(M),则
A.P(A)>P(M)B.P(A)
9.右图是判断输入的年份x是否是闰年的程序框图,若先后输入x=1900,x=2400,则输出的结果分别是(注:
xMODy表示x除以y的余数)
A.1900是闰年,2400是闰年B.1900是闰年,2400是平年
C.1900是平年,2400是闰年D.1900是平年,2400是平年
10.将函数f(x)=sin2x的图像上所有点向左平移个单位长度,得到g(x)的图像,则下列说法正确的是
A.g(x)的最小正周期为2πB.是g(x)的一个对称中心
C.x=是g(x)的一条对称轴D.g(x)在上单调递增
11.已知Sn为数列{an}的前n项和,3Sn=an+2,则数列{Sn}
A.有最大项也有最小项B.有最大项无最小项
C.无最大项有最小项D.无最大项也无最小项
12.在三棱锥P-ABC中,∠BAC=∠PBA=∠PCA=90°,PB=PC=,点P到底面ABC的距离为l,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为
A.3πB.C.4πD.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.己知=5,b=(2,1),且a∥b,则向量a的坐标是。
14.若x,y满足约束条件,则z=3x-y的最大值为。
15.己知直线过椭圆(a>b>0)的左焦点F,交椭圆于A,B两点,交y轴于点C,若,则该椭圆的离心率是。
16.已知函数f(x)=(ex-ax)(lnx-ax),若f(x)<0恒成立,则a的取值范围是。
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第(22)、(23)题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
某音乐院校举行“校园之星”评选活动,评委由本校全体学生组成,对A、B两位选手,随机调查了20个学生的评分,得到下面的茎叶图:
(1)通过茎叶图比较A,B两位选手所得分数的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);
(2)举办方将会根据评分结果对选手进行三向分流:
根据所得分数,估计A,B两位选手中哪位选手直接晋级的概率更大,并说明理由。
18.(12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知△ABC的面积:
。
(1)证明:
b=3ccosA;
(2)若,求tanA。
19.(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,点E是PC的中点。
(1)求证:
PA∥平面BED;
(2)若直线BD与平面PBC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积。
20.(12分)
已知F为抛物线C:
x2=12y的焦点,直线l:
y=kx+4与C相交于A,B两点。
(1)O为坐标原点,求;
(2)M为C上一点,F为△ABM的重心(三边中线的交点),求k。
21.(12分)
己知函数f(x)=axsinx+bcosx,且曲线y=f(x)与直线相切于点。
(1)求f(x);
(2)若f(x)≤mx2+1,求实数m的取值范围。
(二)选考题:
共10分。
请考生在第(22),(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在极坐标系中,圆C:
ρ=4cosθ。
以极点O为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy,直线l经过点M(-1,-)且倾斜角为α。
(1)求圆C直角坐标方程和直线l的参数方程;
(2)己知直线l与圆C交于A,B,满足A为MB的中点,求α。
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
设函数。
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)若,求m+n的最小值。
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河北省唐山市2020届高三年级上学期摸底考试
数学(文)试题参考答案
一.选择题:
A卷:
DACBDCDCCBAA
B卷:
DACBDADCCBAC
二.填空题:
(13)(2,)或(-2,-)(14)0(15)(16)(,e)
三.解答题:
17.解:
(1)通过茎叶图可以看出,A选手所得分数的平均值高于B选手所得分数的平均值;A选手所得分数比较集中,B选手所得分数比较分散.…6分
(2)A选手直接晋级的概率更大.
用CA表示事件“A选手直接晋级”,CB表示事件“B选手直接晋级”.由茎叶图得
P(CA)的估计值为(5+3)÷20==,
P(CB)的估计值为(5+2)÷20=,
所以,A选手直接晋级的概率更大.…12分
18.解:
(1)由S=bcsinA=b2tanA得3csinA=btanA.
因为tanA=,所以3csinA=,
又因为0<A<π,所以sinA≠0,
因此b=3ccosA.…4分
(2)由
(1)得b=3ccosA=3cosA,所以2bccosA=30cos2A.…6分
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,
所以8=45cos2A+5-30cos2A,
解得cos2A=,…10分
因此sin2A=,即tan2A=4.
由
(1)得cosA>0,所以tanA>0,
故tanA=2.…12分
19.解:
(1)连接AC交BD于O,连接OE.
由题意可知,PE=EC,AO=OC,
∴PA∥EO,又PA⊄平面BED,EO⊂平面BED,
∴PA∥平面BED.…4分
(2)由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC,
又由题意可知CD⊥BC,且PD∩CD=D,
∴BC⊥平面PCD,则BC⊥DE.
由PE=EC,PD=DC,则PC⊥DE,且PC∩BC=C,
∴DE⊥平面PBC,所以∠DBE即为直线BD与平面PBC所成的角.…8分
设AD=x,在Rt△DBE中,DE=,BD=,则
sin∠DBE==,解得x=2.…10分
∴四棱锥P−ABCD的体积V=×PD×S矩形ABCD=.…12分
20.解:
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
将l的方程代入C得:
x2-12kx-48=0,
所以x1+x2=12k,x1x2=-48,即y1y2==16,
从而•=x1x2+y1y2=-32.…6分
(2)依题意得F(0,3),设M(x3,y3),
因为F为△ABM的重心,所以x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=9,
从而x3=-(x1+x2)=-12k,
y3=9-(y1+y2)
=9-
=9-
=1-12k2.…10分
因为M(x3,y3)在抛物线C上,
所以(-12k)2=12(1-12k2),即k2=.
故k=或-.…12分
21.解:
(1)由f()==得a=1.…2分
f'(x)=xcosx+(1-b)sinx,
由f'()=1-b=0得b=1.
所以f(x)=xsinx+cosx.…4分
(2)令g(x)=mx2+1-f(x)=mx2-xsinx-cosx+1,
由g(x)≥0得g(2π)=4π2m≥0,所以m≥0.
显然g(x)为偶函数,所以只需x≥0时,g(x)≥0.…6分
g'(x)=2mx-xcosx=x(2m-cosx),
当m≥时,g'(x)≥0,即g(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以g(x)≥g(0)=0,
从而m≥时,f(x)≤mx2+1成立.…8分
当0≤m<时,因为y=2m-cosx在(0,)上单调递增,
又x=0时,y=2m-1<0;x=时,y=2m≥0,
所以存在x0∈(0,],使得2m-cosx0=0,
因此x∈(0,x0)时,2m-cosx<0,g'(x)<0,即g(x)在(0,x0)上单调递减,
所以x∈(0,x0)时,g(x)<g(0)=0,与g(x)≥0矛盾,
因此0≤m<时不成立.
综上,满足题设的m的取值范围是m≥.…12分
22.解:
(1)由圆C:
ρ=4cosθ可得ρ2=4ρcosθ,
因为x=ρcosθ,ρ2=x2+y2,
所以x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4.
直线l:
(t为参数,0≤α<π).…5分
(2)设A,B对应的参数分别为tA,tB,
将直线l的方程代入C并整理,得t2-6t(sinα+cosα)+32=0,
所以tA+tB=6(sinα+cosα),tA·tB=32.
又A为MB的中点,所以tB=2tA,
因此tA=2(sinα+cosα)=4sin(α+),tB=8sin(α+),…8分
所以tA·tB=32sin2(α+)=32,即sin2(α+)=1.
因为0≤α<π,所以≤α+<,
从而α+=,即α=.…10分
23.解:
(1)f(x)=…3分
y=f(x)的图象如图所示:
…5分
(2)一方面,由f(x)≤m|x|+n得f(0)≤n,解得n≥2.
因为f(x)≥|(2x-1)+(x+1)|=3|x|,所以m|x|+n≥3|x|.(※)
若m≥3,(※)式明显成立;若m<3,则当|x|>时,(※)式不成立.…8分
另一方面,由图可知,当m≥3,且n≥2时,f(x)≤m|x|+n.
故当且仅当m≥3,且n≥2时,f(x)≤m|x|+n.
因此m+n的最小值为5.…10分
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