专题中点的妙用初三数学Word文件下载.docx
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M
N
形状,并说明理由.
BOC
3、如图,正方形ABCD的边长为
2,将长为2
的线段QF的两端放在正方
形相邻的两边上同时滑动.如果点
Q从点A出发,沿图中所示方向按
AB
C
D
A滑动到点A为止,同时点F从点B出发,沿图中所示方
向按B
AB滑动到点B为止,那么在这个过程中,线段
QF的
中点M所经过的路线围成的图形的面积为(
A.2
B.4-
C.
D.1
Q
BFC
第8题图
三、三角形中遇到两边的中点,常联想“三角形的中位线定理”
4、(直接找线段的中点,应用中位线定理)
如图,已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=BD,M、N分别是AB、CD的中点,MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE加以证明吗?
5、(利用等腰三角形的三线合一找中点,应用中位线定理)
如图所示,在三角形ABC中,AD是三角形ABC∠BAC的角平分线,BD⊥AD,点D是垂
足,点E是边BC的中点,如果AB=6,AC=14,求
EFN
B图2-1C
与OF的大小关系并
DE的长
6、(利用平行四边形对角线的交点找中点,应用中位线定理)
如图所示,AB∥CD,BC∥AD,DE⊥BE,DF=EF,甲从B出发,沿着BA、AD、DF的方向运动,乙B出发,沿着BC、CE、EF的方向运动,
如果两人的速度是相同的,且同时从B出发,则谁先到达
7、(综合使用斜边中线及中位线性质,证明相等关系问题)
如图,等腰梯形ABCD中,CD∥AB,对角线AC、BD相交于点O,ACD60,点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点.
求证:
△SPQ是等边三角形。
四、两条线段相等,为全等提供条件(遇到两平行线所截得的线段的中点时,常联想“八字型”全等三角形)
8、如图:
梯形ABCD中,∠
A=90°
AD//BC,AD=1,BC=2,CD=3,
E为AB中点,求证:
DE⊥EC
F点?
DC
S
OQ
P
B
图6-1
AD
E
BC
9、如图甲,在正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC)中,点B、C、G在同一直线上,M是AE的中点,
(1)探究线段MD、MF的位
置及数量关系,并证明;
(2)将图甲中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转,使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上,原问题中的其他条件不变。
(1)中得到的两个结论是否发生变化?
写出你的猜想并
加以证明
F
G
图甲
图乙
BDC
五、有中点时常构造垂直平分线
10、如图所示,在△ABC中,AD是BC边上中
1
线,∠C=2∠B.AC=2BC。
△ADC为等边三角形。
六、有中点时,常会出现面积的一半(中线平分三角形的面积)
11、
(1)探索:
已知ABC的面积为a,
①如图1,延长ABC的边
BC到点D,使
CD=BC,连接DA,若ACD
的面积为S1,则S1=
(用含a的代数式表示)
②如图2,延长ABC的边BC到点D,延长边
CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE,
若DEC的面积为S2,则S2=
(用含a
的代数式表示)
③在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD,FE,得到DEF(如
图3),若阴影部分的面积为
S3,S3=
⑵发现:
像上面那样,将ABC各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得
到DEF(如图4),此时,我们称ABC向外扩展了一次。
可以发现,扩
展一次后得到的DEF的面积是原来ABC面积的倍
⑶应用:
如图5,若△ABC面积为1,第一次操作:
分别延长AB,BC,
CA至点A1,B1,C1,使得A1B=AB,B1C=BC,C1A=CA,顺次连结A1,B1,C1,得到△A1B1C1.第二次操作:
分别延长A1B1,B1C1,C1A1至点A2,B2,C2,使A2B1=A1B1,B2C1=B1C1,C2A1=C1A1,顺次连
结A2,B2,C2,得到△A2B2C2,第三次操作,按此规律,要使得到
的三角形的面积超过2010,最少要经过次操作.
...
12、如图所示,已知梯形ABCD,AD∥BC,点
E是CD的中点,连接AE、BE,
S△ABE=1S四边形ABCD。
2
13、如图,M是ABCD中AB边的中点。
CM交BD于点E,则图中阴影部分面积与ABCD面积之比为
AM
14、如图所示,点E、F分别是矩形ABCD的边AB、
BC的中点,连AF、CE交于点G,则S四边形AGCD
等于:
S矩形ABCD
A、5
B、4
C、3
D、2
6
4
3
七、倍长中线
15、如图,△ABC中,D为BC中点,AB=5,AD=6,AC=13。
AB⊥AD
16、如图,点D、E三等分△ABC的BC边,求证:
AB+AC>
AD+AE
17、如图,D为线段AB的中点,在AB上取异
于D的点C,分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF,连结DE、
DF、EF,
△DEF为等腰直角三角形。
八、圆中遇到弦的中点,常联想“垂径定理”
18、半径是5cm的圆中,圆心到8cm长的弦的距离是________
19、半径为5cm的圆O中有一点P,OP=4,则过P的最短弦长_________,
最长弦是__________,
20、如图,在圆O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则圆O的半径为
____________cm。
--O
CD
21、如图,在⊙O中,直径AB和弦CD的长分别为10cm和8cm,则A、B两点到直线CD的距离之和是_____.
22、如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于E,若AE=2cm,BE=6cm,
∠CEA=300,
求:
CD的长;
23、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。
为测量该湖的半径,小杰和小丽
沿湖边选取A、B、C三根木柱,使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等,并测得BC长为240米,A到BC的距离为5米,如图5所示。
请你帮他们求出滴水湖的半径。
倍长中线:
1.(2011平谷二模)24.已知:
如图①,正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,
过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:
EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o,如图②所示,取DF中点
G,连接EG,CG.问
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;
若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立?
通过观察你还能得出什么结论?
(均不要求证明)
②遇到中点引发六联想
1、等腰三角形中遇到底边上的中点,常联想“三
线合一”的性质
例1、如图1所示,在△ABC中,AB=AC=5,
BC=6,点M为BC中点,MN⊥AC于点N,则MN等于【
】
分析:
由AB=AC=5,所以,三角形
ABC是等腰三角形,且边
BC
是底边;
由点M为BC中点,如果连接AM,则根据等腰三角形的三线
合一,得到AM是底边BC上的高线,这样就能求出三角形
ABC的面
积,而三角形
AMC
的面积是等腰三角形面积的一半,在三角形
中利用三角形的面积公式,求可以求得
MN的长。
解:
连接AM,∵AB=AC=5,
点M为BC中点
∴AM⊥BC,
在直角三角形AMC
中,AC=5
,CM=
BC=3,
∴
AM=AC2
CM2
52
32=4,
=
1×
BC×
AM=1×
6×
4=12,
△ABC
△ACM=
=6;
∴6=
AC×
MN,
∴MN=12.
所以,选择C。
斜边的一半”
例2、在三角形ABC中,AD是三角形的高,点D是垂足,点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点,
四边形EFGD是等腰梯形。
由点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点,根据三角形中
位线定理,知道FG∥BC,FE∥AC,FE=1AC,由直角三角形ADC,
DG是斜边上的中线,因此,DG=1AC,所以,EF=DG,这样,我们
就可以说明梯形EFGD是等腰梯形了。
证明:
∵点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点,∴FG∥BC,
FE∥AC,FE=1AC,
∵AD是三角形的高,∴△ADC是直角三角形,
∵DG是斜边上的中线,∴DG=1AC,∴DG=EF,∴
梯形EFGD是等腰梯形。
3、三角形中遇到两边的中点,常联想“三角形的中位线定理”
例1求证:
顺次连结四边形四边的中点,所得的四边形是平行四边形。
已知:
如图4所示,在四边形ABCD中,
E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的
中点。
四边形EFGH是平行四边形。
由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,
我们就自然联想到三角形的中位线定理,但是在这里,我们发现缺少三角形,因此,我们只要连接四边形的一条对角线,就出现我们需要的三角形了。
连接AC,∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中
点。
∴EF∥AC,EF=1AC,GH∥AC,GH=1AC,∴EF
22
∥GH,EF=GH,
∴四边形EFGH是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)。
4、遇到两平行线所截得的线段的中点时,常联想“八字型”全等三
角形
例4、如图6所示,已知梯形ABCD,
AD∥BC,点E是CD的中点,连接AE、
BE。
求证:
如果直接证明,是不容易,联想到AD∥BC,点E是CD的
中点,我们延长AE,与BC的延长线交于点F,这样,我们就构造出一对八字型的三角形,
并且这对三角形是全等的。
这样,就把三角形ADE迁移到三角形ECF的位置上,问题就好解决了。
如图7所示,延长AE,与BC的延长线交于点F,
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE,
又∵点E是CD的中点,∴DE=CE,∴△ADE≌△FCE,
∴AE=EF,∴S△ABE=S△BEF,
∵S△BEF=S△BEC+S△ECF=S△BEC+S△ADE,∴S△ABE=S△BEC+S
△ADE,
∵S△ABE+S△BEC+S△ADE=S四边形ABCD,
∴2S△ABE=S四边形
ABCD,
∴S△ABE
=1S四边形ABCD。
5、圆中遇到弦的中点,常联想“垂径定理”
例5、如图8所示,AB是⊙O的弦,点C是AB的中点,若AB8cm,
OC3cm,则⊙O的半径为cm.
由点C是AB的中点,联想到圆的垂径定理,知道OC
⊥AB,这样在直角三角形AOC中根据勾股定理,就可以求得圆的半径。
解:
∵点C是AB的中点,∴OC⊥AB,∵AB=8,∴
AC=4
在直角三角形AOC中,AC=4,OC=3,∴
OA=AC2OC23242=5(cm),因此,圆的半径是5cm。
6、遇到中点,联想共边等高的两个三角形面积相等
例6、如图9所示,点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点,连AF、CE交
于点G,则S四边形AGCD等于:
【】
A、5B、4C、
65
3D、2
43
如果两个三角形有一个公共的高顶点,有一边在一条直线上,并且两个三角形的这个公共顶点,是这条共边线段的中点,那么,这两个三角形的面积相等。
如图10所示,连接BG,∵E是线段AB的中点,∴S△AEG=
S△BEG=x,S△BGF=S△GCF=y,
设AB=2a,BC=2b,
=2a×
2b=4ab,
S矩形ABCD
根据题意,得:
2y+x=1
×
BC×
BE=ab,2x+y=1×
BA×
BF=ab,
∴2x+y=2y+x,即x=y=ab,
∴4x=
4ab
S四边形AGCD=
S四边形AGCD
等
S矩形ABCD,∴
于2
,
所以,选D。
几何必考辅助线之中点专题
专题性总结
中点专题
角平分线专题
截长补短专题
中点专题——看到中点该想到什么?
1.两条线段相等,为全等提供条件
2.中线平分三角形的面积
3.倍长中线
4.中位线
5.斜边上的中线是斜边的一半
【例1】
(2008北京)如图,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连结PGPC。
若∠ABC=∠BEF=60°
⑴探究PG与PC的位置关系及PG的值。
PC
⑵将上图中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图)。
你在⑴中得到的两个结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明。
【例2】如图所示,在△ABC中,AC>AB,M为BC的中点,AD是∠BAC的平分线,若CF⊥AD且交AD的延长线于F,
MF=1(AC-AB)。
【例3】如图所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,M是BC的
中点,ME⊥AD且交AC的延长线于E,CD=2CE,
∠ACB=2∠B。
1、已知如图,在△
的延长线于E,M
中点问题探究
(1)
ABC中,AB>AC,AD平分∠是BC的中点,求证:
ME=1(AB
BAC,BE垂直AD
AC)A
2、已知如图,△ABC的中线BD、CE相交于点O,F、G分别是OB、
1S△ABC。
OC的中点,
(1)判断EF和DG有何关系并证明;
(2)求证:
S△OGD
12
OD
BFGC
3、已知如图,在四边形ABCD中,EF分别为AB、CD的中点;
EF<1(ACBD)
(2)四边形ABCD的周长不小于EF的四倍
(3)EF交BD、AC分别于P、Q,若AC=BD,求证:
△OPQ为等腰
三角形。
O
EQ
4、在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD+BC,E为CD的中点,求证:
AE⊥BE。
5、如图,已知AD为△ABC的角平分线,AB<AC,在AC上截取CE=AB,M、N分别为BC、AE的中点。
MN∥AD
·
E
BDMC
6、如图,以△ABC的AB、AC边为斜边向形外作Rt△ABD,和Rt△
ACE,且使∠ABD=∠ACE=α,M是BC的中点,
(1)求证:
DM=ME;
(2)求∠DME的度数。
BMC
7、如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,且AB=10,BC=15,MN=3,求△ABC的周长。
中点问题探究
(2)
8、如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=2AD,E、F、G分别是OC、OD、AB的中点。
(1)BE⊥AC
(2)EG=EF
9、如图,在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使得BD=AB,E为
AB中点,连接CE、CD求证:
CD=2EC。
10、点O是△ABC所在平面内一动点,连结OB、OC,并把AB、OB、OC、CA的中点D、E、F、G顺次连结起来,设DEFG能构成四边形。
(1)如图,当点O在△ABC内时,求证:
四边形DEFG是平行四边形;
(2)当O
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