七年级下册第一单元《平行线》探究题Word格式文档下载.docx

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,过点Ｅ作EF∥ｌ1，如图①所示,求∠BEＤ的度数.

（2）若点A在点B的左侧,∠ABC=α°

，∠ADC=60°

如图②所示，求∠BＥD的度数；

（直接写出计算的结果）

（3）若点A在点B的右侧，∠ＡBC=α°

∠ＡＤＣ=６０°

，如图③所示，求∠ＢEＤ的度数.

7．已知：

如图,直线a∥b,直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线ｄ与直线ａ、b分别相交于Ａ、Ｂ两点．

（1）如图1,当点P在线段AB上（不与A、Ｂ两点重合）运动时,∠1、∠２、∠3之间有怎样的大小关系？

请说明理由；

（２）如图2，当点Ｐ在线段AＢ的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间的大小关系为　；

（3）如图３，当点P在线段BＡ的延长线上运动时,∠1、∠2、∠３之间的大小关系为　.

8．如图，已知AM∥BN，∠A=60°

．点P是射线ＡM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠AＢP和∠PBN，分别交射线ＡM于点C,D．

（１）①∠ＡBN的度数是　　;

②∵AM∥BN，∴∠ACB=∠；

（2）求∠CBD的度数;

（3）当点P运动时，∠ＡPB与∠ADＢ之间的数量关系是否随之发生变化?

若不变化，请写出它们之间的关系,并说明理由；

若变化，请写出变化规律.

（4）当点P运动到使∠ACＢ=∠ABＤ时，∠AＢC的度数是　　．

9．如图①,将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠OＮM=3０°

∠OCD＝45

（1）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转,使∠ＢOＮ=３0°

如图②，MＮ与CD相交于点E,求∠CEN的度数;

（2）将图①中的三角尺OＭN绕点Ｏ按每秒15°

的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中,在第秒时,边MＮ恰好与边CＤ平行；

在第　秒时,直线MN恰好与直线CD垂直．（直接写出结果）

１0．如图，直线ＡC∥BＤ,连接ＡB，直线ＡＣ、ＢD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分.

（1）如图

（1）,当动点P落在第①部分时,直接写出∠ＰAC、∠AＰB、∠ＰBD三个角的数量关系是

（１）如图（２），当动点P落在第②部分时,直接写出∠PAＣ、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是

（3）如图（3）,当动点Ｐ落在第③部分时,直接写出∠PAC、∠APＢ、∠PBD三个角的数量关系是　

（4）选择以上一种结论加以证明.

１1．如图1，将两根笔直细木板ＭＮ、EF用图钉固定并平行摆放,将一根橡皮筋拉直后用图钉分别固定在MN、EF上,橡皮筋的两端点分别记为点A、点Ｂ．

（1）图1中，若∠1=11０°

，则∠2=度．（直接写出结果,不需说理）

（2）Ｐ为橡皮筋上一点,利用橡皮筋的弹性拉动橡皮筋,使A、Ｐ、B三点不在同一直线上，然后用图钉固定点Ｐ.

①如图２，若点P在两细木棒所在直线之间，且∠1+∠2=9０°

，试判断线段AP与BＰ所在直线的位置关系,并说明理由；

②如图3,若点P在两细木棒所在直线的同侧，且∠1＋∠2=９0°

，∠AＰB＝2８°

，试求∠１、∠２的度数.

（3）P1、P2为AB上两点，拉动橡皮筋并固定如图4,若∠1+∠2=９0°

则∠AP1P2+∠ＢP２P1=　度.（直接写出结果，不需说理）

12．已知,如图，AＢ∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠ＰＡＢ，∠PＣD之间的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明（温馨提示:

添加适当辅助线）

（１）在图1中，∠ＡPC与∠PAB，∠PCD之间的关系是：

　.

（2）在图２中，∠AＰC与∠ＰＡＢ,∠PCD之间的关系是：

．

（3）在图3中,∠ＡPC与∠PAB,∠PCD之间的关系是:

　．

（4）在图４中，∠ＡPC与∠PAB,∠PCＤ之间的关系是：

　.

（5）在图中,求证:

13.学习平行线性质后,老师让学生完成教材第135页练习中第2题，并针对这道题做深入的探究，看有什么新发现:

题目:

如图，ＡB∥DE,ＢＣ∥ＥF．求证:

∠B=∠E．

下面是小明和小红探究完成这道题的过程．请补充完整:

（1）小明发现,利用平行线性质,这道题很容易证明．小明利用的平行线性质可能是　　.

（2）小红说她的方法和小明的不一样，小红利用的平行线性质可能是　　．

（3）继续探究后，小明说:

“我发现这道题可以用文字语言这样叙述：

如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等．”

小红针对小明的叙述做深入探究后说:

“针对这道题你的说法是对的,因为这道题给出了图形，如果没有给出图形,你说的“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等是不准确的,我发现它还存在另外一种情况.”

你认为小红的说法是否正确?

若正确,请就小红说的“还存在另外一种情况”画出图形,给出证明，并补充修改小明给出的文字语言叙述.若不正确，请说明理由．

1４.已知,如图，l1∥l2．

（1）如图１，过点P作ｌ1的平行线，可证∠ＡPB，∠A，∠B之间的等量关系是：

∠APB=∠A+∠B.

（2）如图２，请你写出∠APB,∠Ａ，∠B之间的等量关系,并证明．

（３）如图３,请你直接写出∠P１，∠P2，∠Ｐ３,∠P４,∠P5之间的等量关系为:

　．

15．几何问题中,当图形的位置改变时,与之相关的某些数量关系也会随之发生变化,完成探究:

（1）若AB∥CD,同一平面内另一点E在AB与CD之间时,如图1,求证：

∠B+∠D=∠Ｅ；

（２）若AB∥CD,同一平面内另一点E在AＢ的上面时，如图2,试探究∠B,∠D,∠E之间的关系式并证明你的结论;

（3）若ＡB∥CD，同一平面内另一点E在CＤ的下面时,如图3,直接写出∠B，∠D,∠E之间的关系式；

（4）若AB∥ＣＤ，同一平面内另一点E在ＡB与CD之间时,如图4，直接写出∠B、∠D、∠E之间的关系式.

参考答案与试题解析

一.解答题（共15小题）

1．（2０16春•周口期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点Ｃ按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°

∠D=３０°

∠E=∠B=45°

（1）①若∠DＣＥ=45°

则∠ACB的度数为　1３5°

　；

求∠DＣE的度数；

（2）由

（1）猜想∠ACB与∠ＤCＥ的数量关系,并说明理由．

（３）当∠ＡＣE<

180°

且点Ｅ在直线AC的上方时,这两块三角尺是否存在一组边互相平行?

若存在，请直接写出∠ACＥ角度所有可能的值（不必说明理由）；

若不存在，请说明理由.

【分析】

（1）①首先计算出∠DＣＢ的度数,再用∠ACD+∠DCB即可;

②首先计算出∠ＤCＢ的度数，再计算出∠DCE即可；

（２）根据

（1）中的计算结果可得∠ACB＋∠ＤCE=180°

，再根据图中的角的和差关系进行推理即可；

（3）根据平行线的判定方法可得.

【解答】解:

（１）①∵∠ECＢ=9０°

，∠DＣE=４5°

，

∴∠DCＢ=9０°

﹣４5°

=45°

∴∠ACＢ=∠ACD+∠DCB＝90°

+45°

＝1３5°

故答案为：

135°

②∵∠ＡＣB=1４0°

，∠ACD=90°

∴∠DＣＢ=14０°

﹣9０°

=５０°

∴∠ＤCE=９0°

﹣５0°

=40°

;

（2）∠ＡＣB+∠ＤＣE＝１80°

∵∠ＡCB=∠ACD+∠DCB=9０°

+∠ＤCB,

∴∠ACB＋∠DＣE=９０°

+∠DCB+∠DCE=9０°

+90°

＝180°

（3）存在,

当∠ACＥ=3０°

时，AD∥BC，

当∠ACＥ＝∠Ｅ＝４５°

时,AＣ∥BE，

当∠ACＥ＝120°

时,AD∥CE,

当∠ACＥ=13５°

时,BＥ∥ＣD，

当∠ACE=16５°

时,BE∥AD．

【点评】此题主要考查了角的计算,以及平行线的判定，关键是理清图中角的和差关系.

2.（20１6春•乐业县期末）已知如图,ＡB∥CD,试解决下列问题:

（1）∠１+∠2=　18０°

（2）∠1+∠2+∠3＝　3６0°

　;

（３）∠1+∠2+∠3+∠４=５40°

（4）试探究∠１＋∠2+∠3+∠4＋…+∠ｎ=（n﹣1）1８0°

.

（１）中，根据两条直线平行,同旁内角互补作答;

（2）过点E作平行于ＡＢ的直线，运用两次两条直线平行,同旁内角互补即可得到三个角的和;

（3）分别过点Ｅ，Ｆ作AB的平行线,运用三次平行线的性质,即可得到四个角的和;

（4）同样作辅助线,运用（n﹣1）次平行线的性质,则ｎ个角的和是（n﹣１）180°

.

【解答】

解:

（1）∵AB∥CD,∴∠1+∠2=１80°

（两直线平行,同旁内角互补）；

（2）过点E作一条直线EF平行于ＡB，

∵AB∥CＤ，

∵AB∥EF,CD∥EＦ，

∴∠1+∠AEF=１80°

∠FＥＣ+∠３=１8０°

∴∠1+∠2+∠3=360°

（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，

∵AＢ∥CＤ,

∵AB∥EG∥ＦＨ∥CD,

∴∠１＋∠ＡＥG=180°

，∠GEF＋∠EFH＝１80°

∠ＨFＣ＋∠４=1８０°

∴∠1+∠2＋∠3+∠4＝54０°

（４）中，根据上述规律,显然作（ｎ﹣2）条辅助线,运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁内角互补.即可得到ｎ个角的和是1８0°

（n﹣1）．

【点评】注意此类题要构造平行线，运用平行线的性质进行解决.

3.（2016春•广水市期末）如图，直线CB∥OA,∠C=∠ＯＡB=100°

E、F在ＣB上,且满足∠FOB＝∠AＯB，OE平分∠COF

（1）求∠EＯB的度数；

（2）若平行移动AB,那么∠ＯBC：

∠OFＣ的值是否随之发生变化?

若不变，求出这个比值.

（3）在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=∠OＢA？

若存在，求出其度数；

若不存在,说明理由．

（１）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠ＡOC，然后求出∠EＯB=

∠AＯＣ，计算即可得解；

（2）根据两直线平行,内错角相等可得∠AOＢ＝∠ＯBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC=2∠ＯＢC,从而得解;

（３）根据三角形的内角和定理求出∠CＯＥ=∠AＯＢ,从而得到OB、OE、OF是∠ＡOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.

【解答】解：

（1）∵ＣB∥ＯA,

∴∠AOC＝180°

﹣∠C=１8０°

﹣100°

＝８０°

∵OＥ平分∠COF，

∴∠CＯE=∠ＥOF,

∵∠FＯB=∠AOＢ，

∴∠EOB＝∠ＥＯF+∠FOＢ＝

∠ＡOC=

×

８0°

（2）∵CＢ∥OA,

∴∠AOB=∠OBC,

∵∠FOB=∠AＯB,

∴∠FOB=∠OＢＣ，

∴∠OＦC＝∠FOB＋∠OBＣ=２∠ＯＢC,

∴∠OBC:

∠OFC＝1：

2，是定值;

（3）在△COＥ和△AOB中,

∵∠OEC=∠OＢＡ,∠Ｃ＝∠OAＢ,

∴∠CＯＥ=∠AＯB，

∴ＯB、OE、ＯF是∠AOC的四等分线，

∴∠CＯE=

80°

＝20°

∴∠OEＣ＝１8０°

﹣∠C﹣∠ＣＯE=１80°

﹣１00°

﹣20°

=60°

故存在某种情况,使∠ＯEC=∠ＯBA,此时∠ＯEＣ=∠OBＡ=60°

【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义,熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键.

4．（２01６春•大同期末）如图，已知直线l1∥l２，l3、ｌ４和ｌ１、l2分别交于点A、B、Ｃ、D,点P在直线l3或l4上且不与点Ａ、B、C、Ｄ重合．记∠ＡEP=∠1，∠PFＢ=∠2,∠EPF=∠3.

（1）若点P在图

（1）位置时，求证：

∠３=∠1+∠２；

（2）若点P在图

（2）位置时,请直接写出∠１、∠2、∠３之间的关系；

（3）若点Ｐ在图（3）位置时,写出∠1、∠2、∠３之间的关系并给予证明．

【分析】此题三个小题的解题思路是一致的，过Ｐ作直线ｌ１、ｌ2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠２相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．

【解答】证明:

（1）过P作PQ∥l１∥l2，

由两直线平行，内错角相等,可得:

∠１＝∠QPE、∠2＝∠QＰF；

∵∠3＝∠ＱＰＥ+∠ＱＰF，

∴∠3=∠１+∠2．

（2）关系:

∠３=∠2﹣∠1；

过P作直线PQ∥ｌ1∥ｌ2,

则：

∠1=∠QPE、∠2=∠ＱPF；

∵∠3=∠QＰF﹣∠QＰE,

∴∠３=∠2﹣∠1.

（3）关系：

∠3=３60°

﹣∠１﹣∠2．

过P作PQ∥l1∥l2;

同

（1）可证得：

∠3=∠CEＰ+∠ＤFP；

∵∠CＥP+∠1＝180°

，∠DFP+∠2=180°

∴∠CEP+∠DFＰ+∠1＋∠2=３60°

即∠３=360°

﹣∠１﹣∠２.

【点评】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线,是解决问题的关键．

5．（2016春•吴中区校级期末）AB∥CD，Ｃ在D的右侧,BE平分∠ABC，DE平分∠ADＣ，BE、DE所在直线交于点E.∠ADC=70°

（1）求∠EＤC的度数；

（2）若∠ABC=n°

，求∠BEＤ的度数（用含n的代数式表示）;

（3）将线段BC沿DＣ方向移动,使得点Ｂ在点Ａ的右侧，其他条件不变，若∠ABＣ=n°

求∠BED的度数（用含n的代数式表示）.

（１）根据角平分线的定义可得∠EDC=

∠ADC,然后代入数据计算即可得解;

（2）根据角平分线的定义表示出∠CBE,再根据两直线平行，内错角相等可得∠BCD=∠AＢC，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可；

（3）根据角平分线的定义求出∠ADE、∠AＢＥ，根据两直线平行,同旁内角互补求出∠BＡD,再根据四边形的内角和定理列式计算即可得解.

（1）∵DE平分∠ADC,∠ADC=7０°

∴∠EDC=

∠AＤC=3５°

（２）∵BE平分∠ＡBC,

∴∠CBＥ=

∠ＡBC=

n°

∵ＡB∥CＤ,

∴∠BCD=∠ABC=n°

∴∠CBE＋∠ＢED=∠EDC＋∠BCＤ,

即

ｎ°

＋∠ＢEＤ=35°

+n°

解得∠BED=3５°

+

（3）如图，∵BＥ平分∠ＡBC,DE平分∠ADC，

∴∠ADE=

∠ADC＝3５°

∠AＢＥ=

∠AＢC＝

∴∠BAD＝180°

﹣∠ＡＤC=1８0°

﹣70°

=11０°

在四边形ADＥB中，∠BＥＤ=360°

﹣110°

﹣35°

﹣

=215°

【点评】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,熟记性质并准确识图是解题的关键．

６.（2016春•大冶市期末）已知直线l１∥l2,点Ａ是l１上的动点，点Ｂ在l1上，点C、D在l2上,∠ABC,∠ＡDC的平分线交于点E（不与点B，D重合）．

（１）若点A在点B的左侧,∠ＡBC=80°

，∠AＤC=60°

，过点E作EＦ∥l1，如图①所示，求∠BED的度数．

（2）若点A在点B的左侧，∠ABC=α°

∠ＡDC＝60°

如图②所示，求∠ＢED的度数；

（３）若点A在点B的右侧，∠ＡBC=α°

∠ADC=６０°

，如图③所示,求∠ＢＥD的度数.

（1）根据BＥ、DＥ分别是∠ＡＢC,∠ADＣ的平分线，得出∠AＢE=

∠AＢC,∠CDE=

∠AＤC，再由平行线的性质得出∠ＢＥF=∠ABE,同理可得出∠DEF=∠CDE,再由∠BＥD=∠BEF+∠ＤEF即可得出结论；

（2）过点E作EF∥AＢ,同（１）的证明过程完全相同;

（3）过点E作ＥF∥Ｌ1，根据ＢＥ，ＤE分别是∠ＡBC、∠ADC平分线可知∠ABE=

∠ABC＝

α°

∠ＣＤＥ=

∠ADC,再由ＥF∥L1可知∠ＢＥF=（180﹣

α）°

.根据L1∥L2可知EＦ∥L2,故∠DEF=∠CDE=30°

所以∠BED=∠BＥF+∠DEF.

（1）∵BＥ、DＥ分别是∠AＢC,∠AＤC的平分线,

∴∠ABE=

∠ABＣ=

=4０°

，∠CＤＥ＝

∠ＡDＣ=

60°

=3０°

∵EF∥L1,

∴∠BEF=∠ABE=40°

∵Ｌ1∥L２

∴ＥF∥Ｌ2

∴∠ＤEF=∠CDE=３0°

∴∠BＥD=∠BEＦ+∠DＥF＝４0°

+3０°

=７0°

（2）BE、DE分别是∠ABC，∠ＡＤＣ的平分线，

∴∠ＡBE=

，∠CＤE=

∠ADＣ＝

∵ＥＦ∥L1,

∴∠BEF=∠ABE=

∵L1∥L2,

∴EF∥L２,

∴∠ＤEF=∠ＣＤＥ=３0°

∴∠BEＤ=∠BEF＋∠DＥF=

+３0°

即∠ＢＥD=（

α+30）°

（３）过点Ｅ作EF∥L1，

∵BE，DE分别是∠ＡＢC、∠AＤC平分线,

∴∠ABE＝

∠AＢC=

，∠ＣDE=

∠ADC=

６0°

=30°

∵EＦ∥L１,

∴∠BＥＦ＝（180﹣

又∵L1∥Ｌ2

∴EＦ∥L2

∴∠DEF＝∠CDE＝３0°

∴∠ＢED=∠BEF+∠ＤEF

=（１80﹣

α＋30）°

=（2１０﹣

【点评】本题考查的是平行线的性质,根据题意作出平行线，再由平行线的性质及三角形外角的性质即可得出结论．

7.（2016春•高阳县期末）已知:

如图,直线a∥b,直线c与直线a、b分别相交于C、Ｄ两点,直线d与直线a、b分别相交于A、B两点．

（1）如图１，当点P在线段AB上（不与Ａ、B两点重合）运动时,∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系?

请说明理由;

（2）如图2,当点Ｐ在线段AB的延长线上运动时,∠１、∠２、∠３之间的大小关系为∠1=∠2+∠３　;

（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时,∠1、∠２、∠3之间的大小关系为　∠2＝∠1+∠3.

（１）过点P作a的平行线，根据平行线的性质进行解题；

（2）过点P作ｂ的平行线PE,由平行线的性质可得出a∥b∥ＰE,由此即可得出结论；

（3）设直线AC与DP交于点F,由三角形外角的性质可得出∠1+∠３=∠PＦA，再由平行线的性质即可得出结论.

（１）如图1，过点Ｐ作ＰE∥a，则∠1=∠CPE.

∵ａ∥b，PＥ∥ａ，

∴ＰE∥b,

∴∠2=∠DPE，

∴∠3=∠1+∠2；

（2）如图2,过点P作PE∥ｂ,则∠２=∠EＰＤ,

∵直线a∥b,

∴ａ∥PE，

∴∠1=∠3＋∠EＰＤ,即∠1=∠2+∠３.

故答案为:

∠1=∠2+∠3；

（３）如图3,设直线AC与DP交于点F，

∵∠ＰFA是△ＰCF的外角，

∴∠PFA＝∠1＋∠３，

∵ａ∥b,

∴∠2=∠ＰFA,即∠2=∠1＋∠３．

∠2=∠１+∠３．

【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出平行线，利用平行线的性质解答是解答此题的关键.

8.（２01６秋•德惠市期末）如图，已知AＭ∥BＮ，∠A＝6０°

.点P是射线AM上一动点（与点Ａ不重合）,BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线ＡＭ于点C，D.

（1）①∠ABＮ的度数是120°

②∵AM∥BＮ，∴∠ACＢ=∠CBＮ　；

（２）求∠CＢD的度数；

（3）当点Ｐ运动时，∠AＰB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？

若不变化，请写出它们之间的关系,并说明理由;

若变化，请写出变化规律．

（4）当点P运动到使∠AＣB=∠ABD时,∠ＡBC的度数是30°

（1）由平行线的性质:

两直线平行同旁内角互补和内错角相等可得;

（2）由

（1）知∠ＡBP+∠ＰＢN＝12０°

，再根据角平分线的定义知∠AＢP=２∠CBＰ、∠ＰBＮ=2∠DBＰ，可得２∠CBP＋2∠ＤＢP=12０°

，即∠CBD=∠ＣBＰ+∠DBＰ=６０°

（３）由AＭ∥ＢＮ得∠APB＝∠PＢＮ、∠ADB=∠DBＮ,根据BD平分∠ＰＢＮ知∠PＢN=2∠ＤBＮ，从而可得∠AＰB:

∠ADB=2:

１；

（４）由AM∥ＢN得∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠AＢＤ时有∠ＣＢＮ=∠AＢD，得∠ABC＋∠ＣBＤ=∠ＣBD＋∠ＤBＮ,即∠ABC＝∠DBN，根据∠AＢN＝1２0°

∠CＢD＝60°

可得答案.

（1）①∵ＡM∥BN,∠A=60°

∴∠A＋∠ABＮ=１80°

∴∠AＢN=1２0°

②∵ＡM∥BN,

∴∠ＡＣＢ＝∠CBN,

120°

，∠CＢＮ;

（2）∵AM∥BN，

∴∠ABN+∠A＝1８0°

∴∠ABＮ＝180°

﹣６0°

=１20°

∴∠AＢP+∠ＰBN=１2０°

∵BC平分∠ＡＢＰ,BＤ平分∠PＢN，

∴∠ABＰ=2∠CBP，∠ＰＢN=2∠ＤBP，

∴2∠CBP＋2∠DＢP＝12０°

∴∠CBＤ=∠ＣBＰ＋∠DBP=6０°

（３）不变，∠APB:

∠ADB=２：

1．

∵AＭ∥ＢN，

∴∠APB=∠ＰBN，∠ADB=∠DBN，

∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN＝2∠DBN，

∴∠APＢ：

∠ＡＤＢ=2：

1；

（4）