考点 等腰旋转模型学年八年级数学上册期末考点专项复习之全等三角形辅助线解题方法.docx
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考点 等腰旋转模型学年八年级数学上册期末考点专项复习之全等三角形辅助线解题方法.docx
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考点等腰旋转模型学年八年级数学上册期末考点专项复习之全等三角形辅助线解题方法
考点4:
等腰旋转模型
1.如图,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
(1)如图1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.
①求证:
AD=BE;
②求∠AEB的度数.
(2)如图2,若∠ACB=∠DCE=90°,CF为△DCE中DE边上的高,试猜想AE,CF,BE之间的关系,并证明你的结论.
2.在△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,点D为直线BC上的一动点,以AD为边作△ADE(顶点A、D、E按逆时针方向排列),且∠DAE=90°,AD=AE,连接CE.
(1)如图1,若点D在BC边上(点D与B、C不重合),
①求证:
△ABD≌△ACE;
②求证:
(2)如图2,若点D在CB的延长线上,若DB=5,BC=7,则△ADE的面积为____.
(3)如图3,若点D在BC的延长线上,以AD为边作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°,连结BE,若BE=10,BC=6,则AE的长为______.
3.在中,,是直线上一点(不与点、重合),以为一边在的右侧作,,,连接.
(1)如图,当在线段上时,求证:
.
(2)如图,若点在线段的延长线上,,.则、之间有怎样的数量关系?
写出你的理由.
(3)如图,当点在线段上,,,求最大值.
4.如图①,在▱ABCD中,AD=BD=2,BD⊥AD,点E为对角线AC上一动点,连接DE,将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF,连接BF.
(1)求证:
BF=AE;
(2)若BF所在的直线交AC于点M,求OM的长度;
(3)如图②,当点F落在△OBC的外部,构成四边形DEMF时,求四边形DEMF的面积.
5.将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起,,连接.
(1)如图1,若三点在同一条直线上,则与的关系是;
(2)如图2,若三点不在同一条直线上,与相交于点,连接,猜想之间的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,在
(2)的条件下作的中点,连接,直接写出与之间的关系.
6.(2017观成周考)在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上的一点(不与B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE,设∠BAC=α,∠BCE=β.
(1)如图,当点D在线段BC上移动,则α和β之间有怎样的数量关系?
请说明理由.
(2)当点D在直线BC上移动,则α和β之间有怎样的数量关系?
请说明理由.
7.和都是等腰直角三角形,与相交于点交于点交于点.试确定线段的关系.并说明理由.
8.观察推理:
如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l过点C,点A、B在直线l同侧,BD⊥l,AE⊥l,垂足分别为D、E.
(1)求证:
△AEC≌△CDB;
(2)类比探究:
如图2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′,连接B′C,求△AB′C的面积;
(3)拓展提升:
如图3,∠E=60°,EC=EB=4cm,点O在BC上,且OC=3cm,动点P从点E沿射线EC以2cm/s速度运动,连结OP,将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF.要使点F恰好落在射线EB上,求点P运动的时间.
9.如图所示,等腰直角中,,点在上,且,,.将绕点逆时针旋转,画出旋转后的图形,并求的长.
10.在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,△CDE为等边三角形,CD=2,连接AD,M为AD中点.
(1)如图1,当B,C,E三点共线时,请画出△EDM关于点M的中心对称图形,并证明BM⊥ME;
(2)如图2,当A,C,E三点共线时,求BM的长;
(3)如图3,取BE中点N,连MN,将△CDE绕点C旋转,直接写出旋转过程中线段MN的取值范围是_____.
参考答案
1.
【详解】
(1)①证明:
∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,
∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°,
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,
∴∠ACD=∠BCE,
∵△ACB,△DCE都是等腰三角形,
∴AC=BC,DC=EC,
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
②解:
∵△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC,
∵点A、D、E在同一直线上,且∠CDE=50°,
∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°,
∴∠BEC=130°,
∵∠BEC=∠CED+∠AEB,∠CED=50°,
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=80°.
(2)结论:
AE=2CF+BE.
理由:
∵△ACB,△DCE都是等腰直角三角形,
∴∠CDE=∠CED=45°,
∵CF⊥DE,
∴∠CFD=90°,DF=EF=CF,
∵AD=BE,
∴AE=AD+DE=BE+2CF.
2.
【详解】
(1)①∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE,
②∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,
∴∠ABD+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠DCE=90°,
;
(2)过点A作AF⊥DE于点F.
∵AD=AE,
∴点F是DE的中点,
∵∠DAE=90°,
∴AF=DE,
同理可证△ABD≌△ACE,
∴∠ADB=∠AEC,DB=EC,
∵DB=5,BC=7,
∴EC=5,DC=12,
∵∠DAE=90°,
∴∠ADE+∠AED=90°,
∴∠ADC+∠CDE+∠AED=90°,
∴∠AEC+∠AED+∠CDE=90°,
即∠CED+∠CDE=90°,
∴∠ECD=90°,
∴DE2=CE2+CD2=25+144=169,
∵DE>0,
∴DE=13,
∴AF=,
∴△ADE的面积为=DE•AF=×13×=;
(3)由
(1)可知:
△ABD≌△ACE,
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,
∴∠BCE=∠ACB+∠∠ACE=∠ACB+∠ABD=90°,
∴Rt△BCE中,BE=10,BC=6,
∴CE==8,
∴BD=CE=8,
∴CD=8−6=2,
∴Rt△DCE中,DE==,
∵△ADE是等腰直角三角形,
∴AE===.
3.
【详解】
解:
(1)∵,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴;
(2)同
(1)的方法得,
∴∠ACE=∠ABD,∠BCE=α,
∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠ACB+α,
在中,
∵AB=AC,∠BAC=β,
∴∠ACB=∠ABC=(180°-β)=90°-β,
∴∠ABD=180°-∠ABC=90°+β,
∴∠ACE=∠ACB+α=90°-β+α,
∵∠ACE=∠ABD=90°+β,
∴90°-β+α=90°+β,
∴α=β;
(3)如图,过A做于点H,
∵,,
∴,,
同
(1)的方法得,,
,
即,
∴,
当最小时,最大,
当时最小,,
.
4.
【详解】
解:
(1)∵DE绕点D逆时针旋转90°得到DF,
∴DE=DF,∠EDF=90°.
∵BD⊥AD,∴∠ADB=90°,
∴∠ADE=∠BDF.
∵AD=BD,
∴△ADE≌△BDF,
∴BF=AE.
(2)∵△ADE≌△BDF,
∴∠DAE=∠DBF.
∵∠ADB=90°,∠AOD=∠BOC,
∴∠DAE+∠AOD=∠DBF+∠BOC=90°,
∴∠BMO=90°,
过D作DN⊥AO于N,由中心对称可得:
∴△DON≌△BOM,∴OM=ON.
∵AD=2,DO=1,∠ADB=90°,
∵S△ADO=AD×DO=AO×DN,
∴DN=
∴NO=,
∴OM=ON=,
(3)将△DEN绕点D逆时针旋转90°得到△DFG,
∴DG=DN,∠DNE=∠DGF=90°,∠DEN=∠DFG,
∵∠EDF=∠FME=90°,
∴∠DEM+∠DFM=180°,
∴∠DFG+∠DFM=180°,
∴点G,点F,点M三点共线,
∵∠DGF=∠DNM=∠FMN=90°,
∴四边形DNMG是矩形,
又∵DN=DG,
∴四边形DNMG为正方形,
∴S四边形DEMF=S四边形DNNG=()2=
5.【详解】
∴,
延长AC交BD于点C’,如下图:
∵,
即,综上且,
故答案为:
且;
证明:
在上截取,连接
在和中
在和中
即
;
且,理由如下:
过点B作BM∥OC,交OF的延长线于点M,延长FO交AD于点N,
∵BM∥OC,∴∠M=∠FOC,
∵∠BFM=∠CFO,BF=CF,∴∆BFM≅∆CFO(AAS),
∴OF=MF,BM=CO,
∵DO=CO,∴DO=BM,
∵BM∥OC,∴∠OBM+∠BOC=180°,
∵∠BOC+∠AOD=360°-90°-90°=180°,
∴∠OBM=∠AOD,
又∵AO=BO,∴∆AOD≅∆OBM(SAS),
∴AD=OM=2OF,∠BOM=∠OAD,
∵∠BOM+∠AON=180°-90°=90°,
∴∠OAD+∠AON=90°,即OF⊥AD.
∴且.
6.
解:
(1)α+β=180°,理由如下
∵∠DAE=∠BAC
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC
∴∠EAC=∠DAB
在△DAB和△EAC中
∴△DAB≌△EAC
∴∠B=∠ACE
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°
∴α+∠ACE+∠ACB=180°
∴α+∠BCE=180°∴α+β=180°
(2)①当点D在线段BC上移动时,
由
(1)知α+β=180°;
②当点D在BC延长线上移动时,如下图
∵∠DAE=∠BAC
∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC
∴∠EAC=∠DAB
在△DAB和△EAC中
∴△DAB≌△EAC
∴∠B=∠ACE
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°
∴α+∠ACE+∠ACB=180°
∴α+∠BCE=180°∴α+β=180°
③当点D在CB延长线上移动时,
如下图所示,连接BE
∵∠DAE=∠BAC
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE
∴∠DAB=∠EAC
在△DAB和△EAC中
∴△DAB≌△EAC
∴∠ABD=∠ACE∵∠ABD=∠BAC+∠BCA,∠ACE=∠BCA+∠BCE
∴∠BAC+∠BCA=∠BCA+∠BCE
∴∠BAC=∠BCE∴α=β.
综上:
当点D在线段BC上移动或点D
在BC延长线上移动时,α+β=180°;
当点D在CB延长线上移动时,α=β.
7.且
解:
和是直角三角形
则
即
在与中
在中
又
则中,即,,
综上所述,且.
8.【详解】
(1)∵∠ACB=90°,
∴∠ACE+∠DCB=90°,
∵BD⊥l,AE⊥l,
∴∠AEC=∠BDC=90°,
∴∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠EAC=∠DCB,
又∵AC=BC,
∴△AEC≌△CDB(AAS);
(2)如图2,作B'D⊥AC于D,
∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB',
∴AB’=AB,∠B’AB=90°,
即∠B′AC+∠BAC=90°,
而∠B+∠CAB=90°,
∴∠B=∠B'AC,
∴△B’AD≌△ABD(AAS),
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