44电磁感应中的双杆问题分类例析Word文件下载.docx
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T
Mg
22
B2l2(1
BIl
ma
Ma
2)
2R(Mm)
(2)解法一:
单位时间内,通过a棒克服安培力做功,把
回路的电能,而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉,另一部分则转化为所以,t时刻闭合回路的电功率等于a棒克服安培力做功的功率,即
B2l2(12)1
2R
b棒可等效为电动机
EaBlv1
P
PBIl
解法二:
a棒可等效为发电机,a棒的感应电动势为闭合回路消耗的总电功率为
联立①②⑤⑥解得PBIl1
IEa
B2l2(12)
C物体的一部分重力势能转化为闭合
b棒的动能,
解法三:
闭合回路消耗的热功率为
b棒的机械功率为P机
故闭合回路消耗的总电功率为
BIlv2
E2B2l2(v1v2)2
2R2R
Bl(v1v2)v2
B2l2(12)
说明:
在单位时间t内,整个系统的功能关系和能量转化关系如下:
C物体重力势能的减少量
【例1】两根平行的金属导轨,固定在同一水平面上,磁感强度B=的
匀强磁场与导轨所在平面垂直,导轨的电阻很小,可忽略不计.导轨间的距离l=0.20m.两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动,滑动过程中与导轨保持垂直,每根金属杆的电阻为R=Ω.在t=0时刻,两杆都处于静止状态.现有一与导轨平行、大小为N的恒力F作用于金属杆甲上,使金属杆在导轨上滑动.经过t=,金属杆甲的加速度为a=1.37m/s,问此时两金属杆的速度各为多少本题综合了法拉第电磁感应定律、安培力、左手定则、牛顿第二定律、动量定理、全电路欧姆定律等知识,考查考生多角度、全方位综合分析问题的能力.
设任一时刻t,两金属杆甲、乙之间的距离为x,速度分别为vl和v2,经过很短的时
间△t,杆甲移动距离v1△t,杆乙移动距离v2△t,回路面积改变
△S=[(x一ν2△t)+ν1△t]l—lχ=(ν1-ν2)△t由法拉第电磁感应定律,回路中的感应电动势E=B△S/△t=Bι(νl一ν2)
回路中的电流i=E/2R
杆甲的运动方程F—Bli=ma
由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反,所以两杆的动量(t=0时为
0)等于外力F的冲量.Ft=mνl+mν2
联立以上各式解得ν1=[Ft/m+2R(F一ma)/B2l2]/2ν2=[Ft/m一2R(F一ma)/B2l2]/2
代入数据得移νl=8.15m/s,v2=1.85m/s
ac
【例2】两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内,两导轨间的距离为L。
导轨上面横放着两根导体棒ab和cd,构成矩形回路,如图所示.两根导体棒的质量均为m,电阻均为R,回路中
其余部分的电阻可不计.在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场,磁感应强度为B.设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行.开始时,棒cd静止,棒ab有指向棒cd的初速度v0.若两导体棒在运动中始终不接触,求:
(1)在运动中产生的焦耳热最多是多少.
(2)当ab棒的速度变为初速度的3/4时,cd棒的加速度是多少解析:
ab棒向cd棒运动时,两棒和导轨构成的回路面积变小,磁通量发生变化,于是产生感应电流.ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动,cd棒则在安培力作用下作加速运动.在ab棒的速度大于cd棒的速度时,回路总有感应电流,ab棒继续减速,cd棒继续加速.两棒速度达到相同后,回路面积保持不变,磁通量不变化,不产生感应电流,两棒以相同的速度v作匀速运动.
(1)从初始至两棒达到速度相同的过程中,两棒总动量守恒,有mv02mv根据能
量守恒,整个过程中产生的总热量Qmv021(2m)v21mv02
224
(2)设ab棒的速度变为初速度的3/4时,cd棒的速度为v1,则由动量守恒可知:
3
mv0mv0mv1
4
3E
此时回路中的感应电动势和感应电流分别为:
E(v0v1)BL,I
4012R
此时cd棒所受的安培力:
FIBL,所以cd棒的加速度为aF
m
例3】两根相距d=0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面
vv
内,并处于竖直方向的匀强磁场中,磁场的磁感应强度B=,导
轨上面横放着两条金属细杆,构成矩形回路,每条金属细杆的电阻为r=Ω,回路中其余部分的电阻可不计.已知两金属细杆在
平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移,速度大小都是v=5.0m/s,如图所示.不计导轨上的摩擦.
(1)求作用于每条金属细杆的拉力的大小.
(2)求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量.
(1)当两金属杆都以速度v匀速滑动时,每条金属杆中产生的感应电动势分别为:
E1=E2=Bdv
摩擦力,BlIm2g③
导体杆2克服摩擦力做功的功率
Pm2gv
以P表示杆2克服摩擦力做功的功率,则有PPFI(R1R2)m1gv0④
由以上各式得Pm2g[v0m2g2g(R1R2)]⑤
B2l2
v
b
300
d
【例5】如图所示,在倾角为300的斜面上,固定两条无限长的平行光滑导轨,一个匀强磁场垂直于斜面向上,磁感强度B=,导轨间距
L=0.5m。
两根金属棒ab、cd平行地放在导轨上,金属棒质量mab=0.1kg,mcd=0.2kg,两金属棒总电阻r=Ω,导轨电阻不计。
现使金属棒ab以v=1.5m/s的速度沿斜面向上匀速运动,求
(1)金属棒cd的最大速度;
(2)在cd有最大速度时,作用在金属棒ab上的外力做功
的功率。
(1)分析清楚棒的受力情况和运动情况是解决本题的关键。
在第
(1)问的分析中,
也可以对cd棒的运动方向进行判断,因为不管cd的运动方向如何,它速度最大时mcdgsin300=I'
lB式一定成立。
直接解mcdgsin300=I'
lB、ε=Blv+Blvm、I'
=ε/r式,若vm为正值则表示方向沿轨道向下,若为负值则表示方向向上。
(2)对第
(2)问的求解方法比较多。
选研究对象时,可以
用“整体法”,也可以用隔离法。
求功率时,可以根据定义P=Fv计算,也可以根据能的转化和守恒定律求解。
【例6】如图4所示,金属棒a跨接在两金属轨道间,从高h处以速度v0沿光滑弧形平行金属轨道下滑,进入轨道的光滑水平部分之后,在自下向上的匀强磁场中运动,磁场的磁感应强度为B.
在轨道的水平部分另有一个跨接在两轨道间的金属棒b,在a棒从高处滑下前b棒处于静
这一比值则总是确定的.
3.a棒进入磁场之初的速度最大,设为va.根据动能定理,
在水平轨道上运动过程,由于在两棒与轨道组成的系统中,Fa与FB总是等值反向的,即合外力始终为零,所以这个系统动量守恒.设两棒最后共同运动速度为v'
,则有
v'
也就是b棒的最大速度vB.
E电
4.在整个相互作用过程中,回路中的电流总在变化,且回路电阻未知,所以其中消耗的电能必须根据能量守恒计算,
例7】如图所示,竖直放置的两光滑平行金属导轨,置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中,
两根质量相同的导体棒a和b,与导轨紧密接触且可自由滑动。
先固定a,释放b,当b的速度达
到10m/s时,再释放a,经过1s后,a的速度达到12m/s,则
A、当
B、
C、若导轨足够长,它们最终的速度必相同
D、它们最终的速度不相同,但速度差恒定
解析:
当b棒先向下运动时,在a和b以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流,于是a
棒受到向下的安培力,b棒受到向上的安培力,且二者大小相等。
释放a棒后,经过时间t,分
别以a和b为研究对象,根据动量定理,则有:
代入数据可解得:
当。
在a、b棒向下运动的过程中,a棒产生的加速度,b棒产生的加速度
。
当a棒的速度与b棒接近时,闭合回路中的逐渐减小,感应电流也逐渐减小,则安培力也逐渐减小。
最后,两棒以共同的速度向下做自由落体运动。
正确答案选A和C。
【例8】如图,足够长的光滑平行导轨水平放置,电阻不计,MN部分的宽度为2l,PQ部分的宽度为l,金属棒a和b的质量ma2mb2m,其电阻大小
Ra2Rb2R,a和b分别在MN和PQ上,垂直导轨相
距足够远,整个装置处于竖直向下的匀强磁场中,磁感强度为
a总在MN上运动,b总在
a、b分别用动量定理。
a运
.b的运动产生了反电动势。
B,开始a棒向右速度为v0,b棒静止,两棒运动时始终保持平行且
PQ上运动,求a、b最终的速度。
本题由于两导轨的宽度不等,a、b系统动量不守恒,可对动产生感应电流,a、b在安培力的作用下,分别作减速和加速运动
随着va减小,vb增加,E总减小,安培力FE总lB/(3R)也随之减小,故a棒的加速度aFa/(2m)减小,b棒的加速度a/Fb/m也减小。
当E总0,即2BlvaBlvb时,两者加速度为零,两棒均匀速运动,且有vb2va⋯①
对a、b分别用动量定理
Fat2m(vavb)⋯⋯②
Fbtmvb⋯⋯③
而Fa2Fb⋯⋯④
联立以上各式可得:
va
2v0
abcd和a/b/c/d/e/部分为
例9】如图所示,
abcde和a/b/c/d/e/为两平行的光滑轨道,其中
处于水平面内的导轨,ab与a/b的间距为cd与c/d间距的2倍,de、d/e部分为与水平导轨部分处于竖直向上的匀强磁场中,弯轨部分处于匀强磁场外。
在靠近aa'和cc'处分别放着两根金属棒MN、PQ,质量分别为2m和m。
为使棒PQ沿导轨运动,且通过半圆轨道的最高点ee',在
初始位置必须至少给棒MN以多大的冲量设两段水平面导轨均足够长,PQ出磁场时MN仍在宽
导轨道上运动。
2解析:
若棒PQ刚能通过半圆形轨道的最高点ee',则由mgmve,
R
可得其在最高点时的速度vegR.
棒PQ在半圆形轨道上运动时机械能守恒,设其在dd'的速度为vd,
5gR
1212
由mvd2mve2mg2R可得:
vd
2d2ed
MN速度减小,棒
两棒在直轨上运动的开始阶段,由于回路中存在感应电流,受安培力作用,棒
v2
PQ速度增大。
当棒MN的速度v1和棒PQ的速度v2达到v12时,回路中磁通量不再变化而无
感应电流,两者便做匀速运动,因而
v2vd
在有感应电流存在时的每一瞬时,
由FIlB及MN为PQ长度的2倍可知,棒MN和PQ所受安
培力F1和F2有关系F12F2。
从而,在回路中存在感应电流的时间
t内,有F12F2。
设棒MN的初速度为v0,在时间t内分别对两棒应用动量定理,有:
2mv03m5gR
练习:
1.如图所示,金属杆a在离地h高处从静止开始沿弧形轨道下滑,导轨平行的水平部分有竖直向上的匀强磁场B,
水平部分导轨上原来放有一金属杆b.已知杆的质量为ma,
且与b杆的质量比为ma∶mb=3∶4,水平导轨足够长,不计摩擦,求:
(1)a和b的最终速度分别是多大
(2)整个过程中回路释放的电能是多少
a、b上产生的热
(3)若已知a、b杆的电阻之比Ra∶Rb=3∶4,其余电阻不计,整个过程中量分别是多少
32312
答案:
(1)va=vb=2gh
(2)ΔE=magh(3)Qa=ΔE=magh,
777
2.如图所示,abcd和a/b/c/d/为水平放置的光滑平行导轨,区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。
ab、a/b/间的宽度是cd、
c/d/间宽度的2倍。
设导轨足够长,导体棒ef的质量是棒gh的质量的2倍。
现给导体棒ef一个初速度v0,沿导轨向左运动,当两棒的速度稳定时,两棒的速度分别是多少
对导体棒ef由动量定理得:
当两棒的速度稳定时,回路中的感应电流为零,设导体棒ef的速度减小到v1,导体棒gh的速度增大到
1
对于cd棒应用动量定理可得:
BLq=mv-0=mv0
2
导轨间距0.5m,导轨足够长且电阻不计,PQ均刚好保持静止,两棒质量均为0.1kg,
电阻均为0.1Ω,它们与导轨间动摩擦因素均为μ=,空间有垂直导轨
平面的匀强磁场,磁感应强度B=,现用沿导轨平面向上的力F=1.2N垂直作用力于金属棒MN,取g=10m/s2,试求:
(1)金属棒MN的最大速度;
(2)金属棒MN运动达到稳定状态后,1s内外力F做的功,并计算说明能量的转化是否守恒.
(1)最初MN、PQ均刚好保持静止,根据其受力情况可知MN、PQ与导轨间的最大静
摩擦力F'
m=mgsin30o=
当用外力F作用于MN棒时,F>
F'
m=mgsin30o,故MN开始沿导轨加速上滑,棒中产生感应电动势,回路中形成感应电流。
因此,棒MN又将受到安培力的作用,当MN棒所受的合外力为零时,金属棒MN达最大速度,设为υm,则:
F=F'
+mgsin30o+F1,其中F'
=μmgc3o0so,F1=BIl,故F1=。
考虑到此时PQ的受力情况,应有mgsin30o-F1<
m,故棒PQ保持静止。
所以有:
mgsin30o+F1+μmgco3s0o-F=0解得:
vm=2m/s。
(2)金属棒达到稳定状态后,1s内的位移为s=vm·
t=2m,故WF=Fs=×
2J。
=
对应时间内:
WF′=-F'
s=-;
WG=-mgs·
sin30o=-1J;
Q=F1·
s=。
所以有:
WF+WF′+WG=Q,说明能量的转化是守恒的。
②
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