矩阵论华中科技大学课后习题答案docxWord文件下载.docx
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的一组基,
1,2,,r
为空间U2
的一组基
U2,有
2
r
X
而
12
C,C为过渡矩阵,且可逆
于是
rC1X
rYU1
由此,得
U2
U1
又由题设
U1
U2,证得
U1=U2。
4.设A2
3
,讨论向量
(2,3,4)T是否在R(A)中。
5
|
构造增广矩阵A|
4
矩阵A与其增广矩阵秩相同,向量
可由矩阵A的3个列向量线性表示,
在列空间R(A)
中。
5.
讨论线性空间
P4[x]中向量
,
Px
xx1
P2
2xx3x
P3
4x3
x2
5x
2的线性相关性。
P1P2P3
(1xx2x3)
,该矩阵秩为2
所以向量组P1,P2,P3线性相关。
6.设A
Rmn,证明dimR(A)+dimN(A)=n。
证明:
R(A)
L{A1,A2,
An},N(A)
{X|AX
0,X
Rn}
假定dimR(A)=r,且设A1,A2,
Ar
为R(A)的一组基
则存在k1i,k2i,,kri
(i
1,
n)
,其中k1i,k2i,,kri
不全为零
使k1iA1
k2iA2
kriAr
Ai
0(ir1,,n)
显然
k1r,
kr1,
kn
k2r,
kr2,
kn2,
kr,r
krr,
krn,
N(A)
上述n-r个向量线性无关,而
k1,k2,
ks1,1,0,
T
0,s<
r不为N(A)中的向量,否则与
A1,A2,,Ar线性无关矛盾,故
dimN(A)=n-r
所以
dimR(A)+dimN(A)=n
7.设A
,求矩阵A的列空间R(A)和零空间N(A)。
通过矩阵的行初等变换将矩阵
A化为行阶梯形
A
矩阵A的秩为2,从A中选取1、2列(线性无关)作为
R(A)的基,于是
R(A)L1
1,11
由AX
0,X
(x1,x2,x3,x4)T,rank(A)=2,有
x1
3x3
4x3x4
分别取x3
1,x4
0和x3
0,x4
1,求得齐次方程
AX0解空间的一组基
1
01
所以A的零空间为
N(A)L1410,1101
8.在R22中,已知两组基
E1
,E2
,E3
,E4
G1
,G2
,G3
,G4
求基{Ei}到基{Gi}的过渡矩阵,并求矩阵
11
23
在基{Gi}下的坐标X。
G1
G2
G3
G4
E1E2
E3E4
C1
C2
C3C4,CiR4
由此,得过渡矩阵
C
再由
23
x111
x211
x301
x410
解得
9.判别下列集合是否构成子空间。
(1)W1
{
(x,y,z)|x2
y2
z2
1,x,y,zR};
(2)W2
{A|A2
I,ARnn};
(3)R3中,W3
t
(x1,x2
x3)|(x1
x3}d
0};
m
(4)W4
{A(aij)mn|
aij
0}。
j
(1)不是R3子空间,对加法及数乘运算不封闭。
如取
k=2,
(100)T,
k
,而
x
y
z
41
W1
。
(200)
(2)不是子空间,因为W2中没有零元。
(3)、(4)为子空间。
10.设
(1,2,1,0)
(
,1
(2,1,0,1)
,2
(1,1,3,7)
1,1,1,1)
W1span{
2},W2span{
2},求W1
W2和W1W2。
设
W2,则
x11x
且
x31
x42
于是,有
x2
x3
即
x3
7
x4
取x41,得
1,x2
4,x3
3x,4
W2
L11
42
L312
由于rank(A)=3
则W1
W2
L,1
21
11.在矩阵空间
R22中,子空间
V1{A
|x1
0},V2
L{B1,B2},其中B1
B2
,求
(1)V1的基和维数;
(2)V1V2和V1V2的维数。
(1)V1中,A
11
10
00
令A1
A2
A3
,可验证
A1,A2,A3线性无关,它们构成空间
V1的一组基,空间V1的维数dimV1=3。
L{B1,B2}中,B1与B2线性无关,它们是
V2的一组基,故
dimV2=2,而
V1+V2=L{A1,A2,A3}+L{B1,B2}=L{A1,A2,A3,B1,B2}
在R2
2的标准基E11,E12,E21,E22下,A1,A2,A3,B1,B2
对应的坐标X1,X2,X3,X4,X5排成矩阵
X1
X2
X3
X4
X5
于是dim(V1+V2)=4,由维数定理
dimV(
V)
diVm
dVim
dVimV(
)
24
12.设W1和W2为Vn
(x1,x2,,xn)T|
的子空间,W1
xi
0},
W2{(x1,x2,
xn)T|x1
xn},证明Vn
W2。
对W1,由x1
xn
,解得
k11100
0k2
1010
0nk1
1000
显然W1的维数dimW1=n-1,而向量组
1100
0n,1
0,2
为W1的一组基。
对W2,由x1
xn,解得
X2
k1
W2的基为
1111
1,dimW2=1
L
1,2,,n1
L1,2,,n1,
这里
det(1,2,n,1,0)
所以
n
为
2的基,则
dim(W1
)=n,由维数定理可知
+W
dim(W1
W2)
,故有
VnW1W2
13.Rn中,
n)T,
(1,
2,,n)T,判别下面定义的实数
(,)是否
为内积。
(1)(
i
;
(2)(
(3)(
TA
,其中A为正定矩阵。
(1)不是Rn
a1
a2
an
上的内积。
设1
b1
b2
bn
2,
(ai
ai)bi
aibi
abii
2,)
内积的线性性不满足。
(2)与(3)是Rn上的内积。
可验证对称性、线性性及正定性都满足。
13.设{
1,2,
5}是V5
的标准正交基,又1
5,
213
4,
321
3,求W
L{
1,2,3}的标准正交基。
W的标准正交基
10001,
1022
1110
14.在欧氏空间R4中,求子空间W
L{(1,1,
1,1)T,(1,1,1,1)T}的正交补子空间W⊥。
设Xx1
W
令1
(11
11)T,2
11)T
由
得
TT
WL1010,1001
15.判断下列变换哪些是线性变换
(1)R2中,T(x1,x2)T
(x1
1,x22)T;
(2)R3中,T(x1,x2,x3)T
x2,x1
x2,2x3)T;
(3)Rn
n中,A为给定n阶方阵,
Rnn,T(X)
AXA;
(4)R2
2中,T(A)
A,A为A的伴随矩阵。
(1)不是,该变换为非线性变换
设
x1x2,2
y1y2
则
T(
2T
12)T(x1y1x2y2)
x1y11(x2y2)
x11x2
y11y2
T
(1)T
(2)
(2)是线性变换
(3)不是,因有
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