数学必修五知识点Word文档下载推荐.docx
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4、等差数列{%}的基本性质(其中m,n,p,qeAT)
(1)若〃7+〃=p+g,贝l]^w+an=ap+aq.
(2)an—am=(n一m)d
(3)2an=J+
5、等差数列的前〃项和的公式
公式:
①§
=马知;
②§
=叫+业pld.
公式特征:
X=«
〃2+(%_«
)〃是一个关于n且没有常数项的二次函数形式
22
等差数列的前〃项和的性质:
s
1若项数为2〃(〃eN'
),则S”=〃(%+《+),且S偶一S^=M,4=必.
S偶%-i
r»
2若项数为2,7-l(〃eN,),则S^t=(2〃一1)%,且S命一S偶=%,—=—^―
S隅〃一1
(其中S奇=na„,S牌=(〃_】)%)•
3S”,S2n-S„,S3fl-S2;
t成等差数列.
6、判断或证明一个数列是等差数列的方法:
1定义法:
C%=d(常数)(心/)=>
{%}是等差数列
2中项法:
2%.]=%+%2(〃eIT)=>
{%}是等差数列
3通项公式法:
%=kn+b(k,b为常数)=>
4前〃项和公式法:
Sn=An2+Bn(A、B为常数)=>
{"
”}是等差数列
三、等比数列
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一
个常数,则这个数列称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比.
外=不常数)
2、通项公式
(1)、若等比数列{%}的首项是由,公比是g,则
(2)、通项公式的变形:
①%=%/-"
'
:
②广”'
=%.
a.n
3、等比中项:
在0与人中插入一个数G,使。
,G,成等比数列,则G称为a与人的等比中项.若G2=ab,则称G为“与b的等比中项.注意:
"
与人的等比中项可能是±
。
O
4、等比数列性质
若{"
〃}是等比数列,且m+n=p+q(〃?
、n.p、qeN,,则am^an=ap-aqX若{“”}是等比数列,且2〃=p+q(〃、p、geN*),则a}=ap-a(/.
5、等比数列{%}的前〃项和的公式:
〃叫(g=l)
(1)公式:
&
=*(1矿)"
(2)公式特点:
—K)=R(1—0”)=A—Ag"
1一0
(3)等比数列的前〃项和的性质:
①若项数为2〃(〃eN'
),则M=q.
S奇
2S,5=S”+0”・&
.③s”,%_s”,S3n-S2n成等比数列(S次0).
6、等比数列判定方法:
=g(常数)》{%}为等比数列:
fln+12=an-a„+2(a„=0)=>
{“"
}为等比数列:
L=k・q“(k,q为常数)=>
{%}为等比数列;
4前〃项和法:
S”=k(l-q“)以用为常数)=>
{%}为等比数列。
四、求通项公式方法
1观察、归纳、猜想法求数列通项
S[(/?
=1)
2应用4=1求数列通项
IA-S〃.](〃>
2)
注意:
一分为二或合二为一
3累加法:
若递推关系式形式为。
心=4+/。
?
)用累加法
4累乘法:
若递推关系式形式为%H=《/(〃)用累乘法
5转化为等差法:
若递推关系式形式为知="
l(m.P为常数)
Pf+m
6转化为等比法:
若递推关系式形式为%=+q°
五、求前〃项和公式方法
1公式法:
若数列为等差或等比数列直接应用求和公式
2倒序相加法:
若数列首尾两项和有规律
3乘比错位相加法:
通项公式为匕=(时,(其中■为等差数列,与为等比数列)
kk11
4裂相求和法:
通项公式为如==-——)为等差数列)
d%%]
5分组求和
第二章、解三角形
一、正弦定理
1、正弦定理:
在MBC中,〃、
b、c分别为角a、B、°
的对边,/?
^AABC的外
1
2、正弦定理的变形公式:
②sinA=。
,sinB=&
”=2RsinA,/?
=2/?
sinB,c=27?
sinC.
sinC=—:
(3)tz:
Z?
:
c=sinA:
sinB:
sinC;
4sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC.
3、定理应用围:
(1)已知两边及一边对角
(2)已知两角及一边
4、已知两边及一边对角解的个数判断
4>
90°
A=90°
4<
a>
b
一解
a=b
无解
a<
bs\nA
两解
a=bsinA
bsinA
已知通a,b和zA
二、余弦定理
c2=a2+庆一IcibcosC
4i甘影定理"
=bcosC+ccosB.b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA
三、常用公式及结论
2、大边对大角A>
B<
b<
sinA>
sinB
A+8+C=4,,H'
=Y
3、三角形角和定理22
Sin(A+8)=Sin(C)Cos(A+3)=-Cos(C)Sinj|=Cos|J|
2tanor
Sin2a=2SinaCosa;
tan2a=7—
l-tan%
99?
?
Cos2a=2Cos‘a-\=l-2Sin,a=Ccs,a-Sm,a
4、二倍角公式:
5、两角的和与差公式:
CcsaCcs/3—SincxSin/3
(a+Z?
)
Cs(a"
)=CcsaCg"
SinaSinQ,C()
幺)
6、辅助角公式
y=aSina+bCosa=>
Ja2^b2Sin(Q+0),(其中tan(p
第三章、不等式
一、比较大小及不等式性质
1、比较大小依据:
“一=a—h=O<
a=h.a—b<
O<
^>
2、比较大小方法:
作差法:
步骤①作差②变形(常用方法:
通分、配方、分子、分母有理化、因式分解等)③定号
>
0,Z?
>
0{『寸—>
1*cx>
«
/?
.—=!
a=h^—<
\<
cx>
a<
b作商法:
。
人。
3、不等式的性质:
①a>
bob<
a;
②a>
b,b>
cna>
c;
a>
b,c<
0=>
ac<
be
③da+c>
b+c;
④"
c>
°
=s>
c
b,c>
da+c>
b+d⑥ci>
b>
0,c>
d>
0=uc>
bd
u、\a>
b>
an>
hn(〃eN,〃>
1).,.,a>
)>
=褊>
而(ruNji>
1)
二、一元二次不等式解法:
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式.
解法步骤:
⑴确定对应一元二次方程的判别式及根
⑵作出对应一元二次函数的图像
⑶由函数图象写出相应不等式的解集
2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式△=》2-4如
△>
A=0
△vO
二次函数
y=ax1+bx+c
(6/>
0)的图象
*
X
一元二次方程ax'
+i)x
+c=0("
0)的根
有两个相异实数根
凡2-g)
有两个相等实数根b
玉f=F
没有实数根
一元二次
不等式的解集
ax1+bx+c
S>
o)
{工XVX]或
<
x
la
►
R
ax2+bx+c
(〃>
0)
{x\x{<
X<
x2}
3、一元二次不等式恒成立问题
«
0
OX2+&
X+C>
0(“尹。
)恒成立条件A=很_4ac<
a<
ax2++cv0(“#0)恒成立条件△=/?
一4"
c<
4、含参一元二次不等式解法
分类讨论:
①二次项系数②相应方程是否有根③两根的大小
5、一元二次方程实根分布
分析思路:
求根公式法:
AI=…韦达定理法:
①判别式②两根之和③两根之积
函数图象法:
①判别式②对称轴位置③区间端点函数值
基本类型与相应方法:
设/(.v)=ar2+bx+c(a^0).则方程/(x)=0的实根分布的基本类型及相应方法如下表:
根的情况
0时图
充要条件
两个根均
小于
两个根都
大于
一个大于
m,另一个
小于m的
根
在区间(m,n)有两个实根
在区间(m,n)之外有两个根
在区间(m,n)有且仅有一个根
A>
vaf(ni)>
0<
<
b
一——<
m
.2a
af(n)>
0<
一一>
n
Hl
三、基本不等式
1、。
、人是两个正数,
何平均数.
2、均值不等式定理:
x.一m+一m<
IX
(蜀一〃?
)(工2—〃7)>
X|一n+x2->
(Xj-/7)(x2一〃)>
(x:
-m)(x:
-m)<
0af(m)<
f(m)f(n)<
如〃7)<
m〃)<
△20
rn<
2a
af(ni)>
."
则称为正数。
、人的算术平均数,j亦称为正数。
、人的几2
若o>
0,b>
0,则u+bZ2伺,即土*2卸.
2•2
3、常用的基本不等式:
①cr+tr^lab^b^RY②obVeR):
人.(a+b\,c\(厂+人'
、f白+人)/.c、
③ab<
(a>
0,/?
0):
④>
(a.be/?
).
\2J2\2)
4、基本不等式求最值:
设X、),都为正数,则有
(1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,枳取得最大值十.
(2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2处.
利用基本不等式求最值条件:
①正②定③相等
5、对号函数图像性质
y=cix+-(«
/?
0)的图像与性质:
x
(1)定义域:
(xlx^O};
(2)值域:
{yI)修2>
/^,或y《-2a/^F}:
(3)奇偶性:
奇函数:
(4)单调性:
在区间(*,一/|1和[』|,+8)上是增函数,
在区间(0,J|]和[_£
0)上为减函数;
(5)渐近线:
以y轴和直线y=ox为渐近线:
(6)图象:
如右图所示
五、简单线性规划
1、基本概念
1、二元一次不等式:
含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式.
2、二元一次不等式组:
由几个二元一次不等式组成的不等式组.
3、二元一次不等式(组)的解集:
满足二元一次不等式组的a•和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合.
2、二元一次不等式(组)所表示的平而区域
(D-般,二元一次不等式A.r+Bv+00在平而区域中,表示直线At+B.v+C=0某一侧的所有点组成的平而区域(开半平面),且不含边界线.不等式Ax+By+CN0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面).
(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平而区域,是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分.
3、二元一次不等式所表示的平面区域的判断方法:
1可在直线A.x+By+C=0的某一侧任取一点,一般取特殊点(心,死),从Ar0+By0+C的正(或负)来判断A.r+By+C>
0(或Ax+By+C<
0)所表示的区域.当CH0时,常把原点(0,0)作为特殊点.
2也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧:
(i)y>
k.x+b表示直线上方的半平面区域:
yVh+Z,表示直线下方的半平而区域.
(ii)B>
0时,A.r4-By+C>
0表示直线上方区域;
Ax+By+C<
0表示直线下方区域:
B<
0时,Ax+By+C<
Ar+By+C>
0表示直线下方区域.
4、简单线性规划
(1)基本概念:
目标函数:
关于X,),的要求最大值或最小值的函数,如Z=x+),,Z=*+),2等.
约束条件:
目标函数中的变量所满足的不等式组.
线性目标函数:
目标函数是关于变量的一次函数.
线性约束条件:
约束条件是关于变量的一次不等式(或等式).
线性规划问题:
在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题.
最优解:
使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标,称为问题的最优解.
可行解:
满足线性约束条件的解(X,),)称为可行解.
可行域:
由所有可行解组成的集合称为可行域.
(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤:
1分析并将已知数据列出表格:
2确定线性约束条件:
3确定线性目标函数;
4画出可行域;
5利用线性目标函数,求出最优解;
6实际问题需要整数解时,应适当调整确定最优解.
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