江苏省高考数学二轮复习讲义专题三 第四讲 专题提能解析几何专题提能课Word文档下载推荐.docx
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利用对称性解决椭圆中焦点三角形问题
[例1] 如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>
b>
0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°
,则该椭圆的离心率为________.
[详细分析] 法一:
由可得B,
C.由F(c,0),得=,=.又∠BFC=90°
,所以·
=0,化简可得2a2=3c2,即e2==,故e=.
法二:
由可得B,C,所以BC=a,由椭圆的焦半径公式得BF=a-exB=a+e·
a,CF=a-exC=a-e·
a,
又∠BFC=90°
,所以BF2+CF2=BC2,
即2+2=(a)2,
式子两边同除以a2可得e2=,即e=.
[点评] 本题中B,C两点是关于y轴对称,对称性的运用对线段的求解和坐标求解有很大帮助.
策略2
利用有界性处理圆锥曲线中的存在性问题
[例2] 若双曲线-=1(a>
0,b>
0)右支上存在一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍,则该双曲线离心率的取值范围为______________.
[详细分析] 记双曲线-=1(a>
0)的左、右焦点分别为F1,F2,设点P到右准线的距离为d,则由题意得点P到左焦点的距离为PF1=6d,由于PF1-PF2=2a,所以PF2=6d-2a,所以=,所以d=,又因为d≥a-,所以
解之得此双曲线的离心率e的取值范围是(1,2]∪[3,6).
[答案] (1,2]∪[3,6)
[点评] 一般地,根据“存在一点…”这样的条件求解离心率的取值范围问题,主要是先利用几何条件建立关于a,b,c的方程,再根据椭圆、双曲线和抛物线上点的坐标的有界性来求解.
函数方程思想——解决平面几何中的最值问题
[典例] 在平面直角坐标系xOy中,设曲线C1:
+=1(a>
0)所围成的封闭图形的面积为4,曲线C1上的点到原点O的最短距离为.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.
(1)求椭圆C2的标准方程;
(2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦,l是线段AB的垂直平分线.若M是l与椭圆C2的交点,求△AMB的面积的最小值.
[解]
(1)由题意得
解得a2=8,b2=1.
所以所求椭圆C2的标准方程为+y2=1.
(2)法一:
设M(x,y),则A(λy,-λx)(λ∈R,λ≠0).
因为点A在椭圆C2上,所以λ2(y2+8x2)=8,即y2+8x2=.①
又x2+8y2=8.②
①+②得x2+y2=.
所以S△AMB=OM·
OA=|λ|(x2+y2)
=≥.
当且仅当λ=±
1,即kAB=±
1时,(S△AMB)min=.
假设AB所在的直线斜率存在且不为零,设AB所在直线的方程为y=kx(k≠0).
解方程组得x=,y=,
所以OA2=x+y=+=,AB2=4OA2=.
又由解得x=,y=,所以OM2=.
由于S=AB2·
OM2=·
·
=≥==,
当且仅当1+8k2=k2+8时等号成立,即k=±
1时等号成立,此时△AMB面积的最小值是S△AMB=.
当k=0时,S△AMB=×
4×
1=2>
;
当k不存在时,S△AMB=×
2×
2=2>
.
综上所述,△AMB面积的最小值为.
[点评] 第
(2)问中有关三角形面积的计算一般用以下几种方式:
(1)以弦长为底,点到弦所在直线距离为高;
(2)正弦定理;
(3)如果弦所在直线过定点且顶点也为定点,可以将面积进行分割.一般地,如果建立关于k的函数,可以用导数的方法或换元处理后用基本不等式方法;
如果建立的关于(x,y)的函数可以直接用基本不等式或消元后转化成二次函数.
1.多角度几何条件求解离心率
[例1] 如图,已知椭圆+=1(a>
0)的右焦点为F(1,0),离心率为e,设A,B是椭圆上关于原点对称的两点,AF的中点为M,BF的中点为N,原点O在以线段MN为直径的圆上,设直线AB的斜率为k,若0<
k≤,求椭圆离心率e的取值范围.
[解] 法一:
设MN交x轴与点C,
∵AF的中点为M,BF中点为N,
∴MN∥AB,FC=CO=,
∵A,B为椭圆上关于原点对称的两点,
∴CM=CN,
∵原点O在以线段MN为直径的圆上,
∴CO=CM=CN=.
∴OA=OB=c=1.
∵OA>
b,∴a2=b2+c2<
2c2,
∴e=>
设A(x,y),由⇒
∵0<
k≤,∴0<
≤,解得1<
a≤,
∴e∈,∴椭圆离心率e的取值范围为.
由⇒⇒1+k2=+.
∵e=,∴a=,b2=a2-1=-1,
∴1+k2=e2+,∴k2=.
k2≤,∴0<
≤.
解得≤e<
,又e<
1,∴≤e<
1,
∴椭圆离心率e的取值范围是.
法三:
设∠BAF=α,
则2csinα+2ccosα=2a,
∴e=,∠BOF=2α∈,
∴α∈,∴α+∈,
sin∈,sin∈,
∴e∈.
∴椭圆离心率e的取值范围为.
[点评] 动直线可以通过联立方程建立k与坐标的关系,再得出与e的关系;
也可以构建几何意义,利用几何图形得出关系;
也可以转化为角,利用三角函数求解.
2.多角度的求解直线过定点
[例2] 过椭圆+y2=1的左顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于M,N两点.求证:
直线MN过定点,并求出该定点坐标.
设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN:
y=kx+m.
联立消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
则Δ>
0,且x1+x2=,x1x2=.
由AM⊥AN,得·
=-1,
即(k2+1)x1x2+(km+2)(x1+x2)+m2+4=0,
(k2+1)+(km+2)+m2+4=0,
化简得5m2-16km+12k2=0,
∵k≠0,∴52-16+12=0,
解得=或=2(舍去),
直线MN:
y=k,过定点.
设直线AM:
y=k(x+2)(k≠0),则直线AN:
y=-(x+2).
联立消去y,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,
则-2xM=,∴xM=,yM=.
所以点M,
同理点N,
所以kMN==,所以直线MN的方程为y-=,
令y=0,得x=-==-,
所以直线MN过定点.
(考查极端位置、特殊位置确定出定点,从而转化为一般性证明题)
同法二知,xM=,xN=,
令=⇒k2=1,此时=-,
∴直线MN过定点C.
当k2≠1,kCM==,
kCN==.
∴kCM=kCN,∴M,N,C三点共线,即直线MN过定点.
[点评] 直线过定点问题,可以设出直线方程y=kx+m,得出k与m的关系,从而得到过定点;
也可以直接用k表示出新直线的方程,再求过定点;
也可以先特殊得出定点,再用三点共线来论证一般情形.
[课时达标训练]
A组——易错清零练
1.过点P(2,-1)且倾斜角的正弦值为的直线方程为________________________.
详细分析:
设所求直线的倾斜角为α,则由题设知sinα=,因为0≤α<
π,
所以cosα=±
=±
,所以tanα==±
,则所求直线方程为y+1=±
(x-2),即5x-12y-22=0或5x+12y+2=0.
答案:
5x-12y-22=0或5x+12y+2=0
2.若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆的中心到其准线的距离是________.
因为短轴长为2,即b=1,所以a=2,则椭圆的中心到其准线的距离是.
3.设双曲线的渐近线为y=±
x,则其离心率为________.
由题意可得=或=,从而e===或.
或
4.若关于x的方程=a(x-1)+1有两个不相等的实数根,那么实数a的取值范围是________.
作出函数y=的图象,它是单位圆的上半部分,作出直线y=a(x-1)+1,它是过点A(1,1)的直线,由图象可知,实数a的取值范围是.
B组——方法技巧练
1.已知直线l:
mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=________.
由直线l:
mx+y+3m-=0知其过定点(-3,),圆心O到直线l的距离为d=.
由|AB|=2得2+()2=12,解得m=-.又直线l的斜率为-m=,所以直线l的倾斜角α=.
画出符合题意的图形如图所示,过点C作CE⊥BD,则∠DCE=.在Rt△CDE中,可得|CD|==2×
=4.
4
2.
如图,设F1,F2分别是椭圆E:
x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为________.
设F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,
则可设A(c,b2),B(x0,y0),由|AF1|=3|F1B|,
可得=3,故
即代入椭圆方程可得+b2=1,解得b2=,故椭圆方程为x2+=1.
x2+y2=1
3.椭圆+=1(a>
0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是________.
法一:
设椭圆的另一个焦点F1(-c,0),如图,连结QF1,QF,设QF与直线y=x交于点M,又题意知M为线段QF的中点,且OM⊥FQ,O为线段F1F的中点,
∴F1Q∥OM,∴F1Q⊥QF,F1Q=2OM.
在Rt△MOF中,tan∠MOF==,OF=c.
解得OM=,MF=,故QF=2MF=,QF1=2OM=.
由椭圆的定义QF+QF1=+=2a,整理得b=c,∴a==c,
故e=.
设Q(x0,y0),则FQ的中点坐标为,kFQ=.
依题意得
解得
又因为(x0,y0)在椭圆上,所以+=1.
令e=,则4e6+e2=1,故离心率e=.
4.若椭圆+=1(a>
0)上存在一点M,它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍,则椭圆离心率的最小值为________.
由题意,设点M的横坐标为x,根据焦半径公式得,a+ex=2,x=,有-a≤≤a,不等式各边同除以a,得-1≤≤1,则-1≤e+2,即e2+3e-2≥0,又0<
e<
1,所以≤e<
1,所以椭圆离心率的最小值为.
5.已知点(x,y)在圆x2+y2=1上,求x2+2xy+3y2的最大值和最小值.
解:
圆x2+y2=1的参数方程为:
则x2+2xy+3y2=cos2θ+2sinθcosθ+3sin2θ=+sin2θ+3×
=2+sin2θ-cos2θ=2+sin,
则当2θ-=2kπ+,
即θ=kπ+(k∈Z)时,x2+2xy+3y2取得最大值,为2+;
当2θ-=2kπ-,
即θ=kπ-(k∈Z)时,x2+2xy+3y2取得最小值,为2-.
6.设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为,求该椭圆的标准方程.
设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.
由=2,得|DF1|==c.
从而S△DF1F2=|DF1|·
|F1F2|=c2=,故c=1.
从而|DF1|=.由DF1⊥F1F2,得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,因此|DF2|=,
所以2a=|DF1|+|DF2|=2,
故a=,b2=a2-c2=1.
所以所求椭圆的标准方程为+y2=1.
C组——创新应用练
1.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·
|PB|的最大值是________.
易求定点A(0,0),B(1,3).当P与A和B均不重合时,不难验证PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|PA|·
|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立),当P与A或B重合时,|PA|·
|PB|=0,故|PA|·
|PB|的最大值是5.
5
2.已知O为坐标原点,F是椭圆C:
0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为________.
如图所示,由题意得
A(-a,0),B(a,0),F(-c,0).
设E(0,m),
由PF∥OE,得=,
则|MF|=.①
又由OE∥MF,得=,
则|MF|=.②
由①②得a-c=(a+c),即a=3c,∴e==.
3.设点M(x0,1),若在圆O:
x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°
,则x0的取值范围是________.
依题意,直线MN与圆O有公共点即可,即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可,过O作OA⊥MN,垂足为A,在Rt△OMA中,因为∠OMA=45°
,故|OA|=|OM|sin45°
=|OM|≤1,所以|OM|≤,则≤,解得-1≤x1≤1.
[-1,1]
4.已知椭圆+=1(a>
0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,若椭圆上存在点M使得=,则该椭圆离心率的取值范围为________.
在△MF1F2中,=,
而=,
∴==.①
又M是椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,
∴|MF1|+|MF2|=2a.②
由①②得,|MF1|=,|MF2|=.
显然|MF2|>
|MF1|,
∴a-c<
|MF2|<
a+c,即a-c<
<
a+c,
整理得c2+2ac-a2>
0,∴e2+2e-1>
0,又0<
∴-1<
1.
(-1,1)
5.已知椭圆C:
0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:
l过定点.
(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,
故由题设知椭圆C经过P3,P4两点.
又由+>
+知,椭圆C不经过点P1,
所以点P2在椭圆C上.
因此解得
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:
设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.
如果l与x轴垂直,设l:
x=t,由题设知t≠0,且|t|<
2,可得A,B的坐标分别为,.
则k1+k2=-=-1,得t=2,不符合题设.
从而可设l:
y=kx+m(m≠1).
将y=kx+m代入+y2=1得
(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.
由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>
0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=.
而k1+k2=+
=+
=.
由题设k1+k2=-1,
故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.
即(2k+1)·
+(m-1)·
=0.
解得k=-.
当且仅当m>
-1时,Δ>
0,于是l:
y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1).
6.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的中心在原点O,右焦点F在x轴上,椭圆与y轴交于A,B两点,其右准线l与x轴交于T点,直线BF交椭圆于C点,P为椭圆上弧AC上的一点.
(1)求证:
A,C,T三点共线;
(2)如果=3,四边形APCB的面积最大值为,求此时椭圆的方程和P点坐标.
(1)证明:
设椭圆方程为+=1(a>
0),①
则A(0,b),B(0,-b),T,
AT:
+=1,②
BF:
+=1,③
联立②③,解得交点C,代入①得:
+==1.
满足①式,则C点在椭圆上,A,C,T三点共线.
(2)过C作CE⊥x轴,垂足为E(图略),则△OBF∽△ECF.
∵=3,CE=b,EF=c,则C,代入①得:
+=1,∴a2=2c2,b2=c2.
设P(x0,y0),则x0+2y=2c2,
此时C,AC=c,S△ABC=·
2c·
=c2,
直线AC的方程为x+2y-2c=0,
点P到直线AC的距离为d==,
S△APC=d·
AC=·
c=·
c.
只需求x0+2y0的最大值.
∵(x0+2y0)2=x+4y+2·
2x0y0≤x+4y+2(x+y)=3(x+2y)=6c2,
∴x0+2y0≤c,
当且仅当x0=y0=c时,(x0+2y0)max=c.
∴四边形的面积最大值为c2+c2=c2=,
∴c2=1,a2=2,b2=1,
此时椭圆方程为+y2=1,P点坐标.
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