实验21多项式插值的振荡现象文档格式.docx
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实验要求:
(1)选择不断增大的分点数目n=2,3….,画出原函数f(x)及插值多项式函数
在[-1,1]上的图像,比较并分析实验结果。
(2)选择其他的函数,例如定义在区间[-5,5]上的函数
重复上述的实验看其结果如何。
(3)区间[a,b]上切比雪夫点的定义为
以
为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式,比较其结果,试分析原因。
实验方法:
考虑到:
1、一幅图中太多的曲线会相互覆盖;
2、n取奇偶数可能结果不同;
3、不同的节点选取方式可能导致不同的结果。
故而n的选择分为n=2:
2:
8、n=3:
9或者n=2:
4:
10、n=3:
11与n=40三种情况;
而节点的选取分为均匀节点、不均匀节点和切比雪肤节点三种。
说明:
以下所有图中,蓝色曲线为原函数,绿色曲线为插值函数,插值节点数与两者交点数目相等。
实验数据及其分析:
(1)
1.节点为均匀节点时
节点是对称的
a)当节点数取为奇数个时,即n=2:
8时。
得到的图像如下:
从图中可以看出:
节点数为基数个并且对称时,插值函数也是对称的;
节点数越多,0附近的区域拟合越好;
节点数越多,两端误差越大;
b)当节点数取为偶数个时,即n=3:
9时
此时,节点的选取也是对称的,同样我们也看到插值函数的图像是对称的;
观察结论与节点数为奇数时几乎一样:
在0附近的拟合性随节点数的增加而变好;
在两端节点数越多,误差越大;
只是由于0不再是节点,故而此时的插值函数也不再经过(0,1)点。
那么,n更大的时候是否也满足这样的趋势呢,我们考虑了第三种情况。
c)当n=40时
从图中我们看到,插值函数左右对称,0附近几乎和被插值函数重合,而在两端,其误差达到10^5量级。
故而,上面的观察结论是正确的。
2.节点为不均匀节点时
节点是不对称的
6时。
其中,最下面一条为n=6
节点数为基数个并且不对称时,插值函数也是不对称的;
节点数越多,0右侧的区域拟合越好;
节点数越多,0左侧误差越大;
7时
其中最下面那条是n=7;
节点数为偶数个并且不对称时,插值函数也是不对称的;
从图中我们看到,插值函数左右对称,0右侧几乎和被插值函数重合,而在左侧,其误差达到10^13量级。
3.节点为切比雪肤节点时
即
,节点是对称的
节点数越多,所有区域拟合都越好;
从图中我们看到,插值函数左右对称,插值函数几乎和被插值函数重合。
(2)
10时。
11时
2、节点为不均匀节点时
a)当节点数取为偶数个时,
其中,第一幅图为n=3:
11,第二幅图为n=3:
7
b)当节点数取为奇数个时,即n=2:
6时
其中最下面那条是n=6;
从图中我们看到,插值函数左右对称,0右侧几乎和被插值函数重合,而在左侧,其误差达到10^16量级。
3、节点为切比雪肤节点时
a)当n=2:
10时,节点个数为基数
从图中可以看出,
插值函数过两端和原点,并且也是奇函数;
n越大拟合度越好,没有出现误差增大的现象;
b)当n=3:
11时,节点数目为偶数
插值函数不经过两端,但也是奇函数;
节点数越多,拟合度也越好
N取得很大的时候,插值函数和被插值函数几乎重合。
(3)
从图中我们看到,插值函数左右对称,0附近几乎和被插值函数重合,而在两端,其误差达到10^3量级。
4、节点为不均匀节点时
a)当节点数取为偶数个时,n=3:
11
其中,最下一条线为n=11
10时
其中最下面那条是n=10;
从图中我们看到,插值函数左右对称,0右侧几乎和被插值函数重合,而在左侧,其误差达到10^11量级。
5、节点为切比雪肤节点时
从以上几幅图中得到的结论与实验
(2)一模一样。
实验现象对比分析
被插值函数
插值点类型
插值点数目
对称性
收敛性及误差
均匀节点
奇数
对称,同原函数对称性
不收敛,节点数越多,0附近的区域拟合越好,两端误差越大
偶数
40
不均匀节点
不对称
不收敛,节点数越多,原点右侧拟合越好,原点左侧误差越大
切比雪肤点
收敛,节点数越多,拟合得越好
实验结论:
从上表可以看出:
1.节点数目的奇与偶对实验结果没有影响
2.插值节点的数目不一定是越多拟合得越好,很多时候会出现发散现象
3.对称的节点选取,得到的插值函数的对称性与被插值函数相同
4.节点的位置不对称,则得到的插值函数也不对称
5.节点位置的选取会影响插值函数的收敛性和误差
6.切比雪肤插值节点确实比以上用到的均匀节点、不均匀节点要好
7.对于不同的被插值函数,同样的插值节点选取往往能得到类似的结果
原因分析:
1节点数目的奇与偶对实验结果没有影响
原因:
所谓实验结果,是指插值函数的对称性与收敛性、误差。
对称性的分析如下,同时奇偶只导致了节点中是否存在差值区间的中心点,而节点的整体对称性不变,故而由3中的分析可知,插值函数的对称性不会因节点的奇偶数而变。
收敛性、误差都是一个趋势问题,讲究的是不断增大,与其直接相关的是节点的绝对数值和节点的位置,而合节点数是奇数还是偶数无关。
2插值节点的数目不一定是越多拟合得越好,很多时候会出现发散现象
龙哥现象的直接反映,从插值余项上看,n增大,其分母(n+1)!
是增大,但是分子
也在不断增大,它们谁的影响大是和节点选取直接相关的,不一定就谁大。
3对称的节点选取,得到的插值函数的对称性与被插值函数相同
这一点从拉格朗日插值函数的结构很容易发现,对于对称的
,由于
,其中
对具有对称性的,而整体上关于对称的
,
,故而成立
4节点的位置不对称,则得到的插值函数也不对称
首先,插值函数在节点上都与原函数重合,节点不对称意味着这些点不对称,那么插值函数必然不对称
5节点位置的选取会影响插值函数的收敛性和误差
从拉格朗日插值函数的余项表达式可以看出,其系数
直接和
相关联,故而
的改变自然影响其误差和收敛性。
6切比雪肤插值节点确实比以上用到的均匀节点、不均匀节点要好
切比雪肤点的选取特征是:
密疏密。
即在需要多节点加以约束的地方给予足够多的点,而在和能够容易用多项式近似的地方放置较少的点,这样合理的安排也许就是愿意。
同时由于点越多多项式次数就越高,所以不能依据密而均匀增加很多点,要有疏有密,疏密有致。
7对于不同的被插值函数,同样的插值节点选取往往能得到类似的结果
导致这一点的原因可能是插值误差中唯一和被插值函数
相关的系数是
,在n不断增大的情况下,
变化趋势可能是比较一致的,或者变化不大;
从而整个插值误差大致由
决定,而
决定于节点选取。
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