小升初总复习 10 探索规律文档格式.docx
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第1个数
第2个数
第3个数
第4个数
第5个数
第6个数
…
第n个数
(1)
1
2
3
4
5
(2)
(3)
6
8
(4)
(5)
7
(6)
9
(7)
12
20
(8)
10
(9)
(10)
16
(11)
15
(12)
17
(13)
27
64
(14)
26
63
知识点二:
初步等差数列和等比数列
一、等差数列
例:
我们知道:
若一个数列从第二个数起,每一个数与前一个数的差等于同一个常数,则该数列就叫做等差数列.如:
2,4,6,8,…就是一个等差数列.我们定义:
若一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列,则该数列就叫做二阶等差数列.如:
数列1,3,7,13,21,…的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2,4,6,8,…是一个等差数列,所以该数列1,3,7,13,21,…就是一个二阶等差数列.
(1)等差数列2,4,6,8,…的第100个数是,前100个数的和为;
(2)二阶等差数列1,3,7,13,21,…的第六个数是;
(3)求二阶等差数列1,3,7,13,21,…的第2013个数.
解:
(1)等差数列2,4,6,8,…的第n个数是2n,
所以,第100个数是200,
前100个数的和为:
2+4+6+8+…+200=
=10100;
(2)∵3-1=2,7-3=4,13-7=6,21-13=8,
∴第6个数是21+10=31;
(3)设第n个数为an,则a1=1,
a2=a1+2,a3=a2+2×
2,a4=a3+2×
3,…,
an=an-1+2(n-1),
∴a1+a2+a3+a4+…+an=1+a1+2+a2+2×
2+a3+2×
3+…+an-1+2(n-1),
∴an=1+2[1+2+3+(n-1)],
=1+2×
=1+n(n-1),
即an=1+n(n-1),
∴a2013=1+2013×
2012=1+4050156=4050157.
这种数列求通项式的方法主要是错位相加法,即利用an-an-1=bn这样的一种形式,然后再利用bn为等差数列,求其和即可求an=Sb(n-1)+a1。
具体过程为:
若an为二阶等差数列,则令bn为其二阶等差数列
根据已知可得a2-a1=b1a3-a2=b2a4-a3=b3.............
an-a(n-1)=b(n-1)
以上所有等式两边相加得an-a1=b1+b2+b3+...+b(n-1)=Sb(n-1)
所以an=Sb(n-1)+a1
第n项=首项+(项数-1)×
公差
项数=(末项-首项)÷
公差+1
数列和=(首项+末项)×
项数÷
公差=(末项-首项)÷
(项数-1)
练习
1、按规律填空:
。
2、一列数1000,991,982,973,964,955…,用代数式表示第n个数是.
3、按规律填空:
第n个数是______________,第n+1个数是______________.
4、已知一列数,2,9,16,23,…
(1)写出这个数列的第15个数;
(2)用代数式表示这个数列的第n个数.
(3)128是这个数列中的一个数吗?
如果是,它是数列中第几个数?
如果不是,请说明理由。
5、有规律排列的一列数:
2,4,6,8,10,12,…它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示.有规律排列的一列数:
1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,…
(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示?
(2)它的第100个数是多少?
这列数中第15个数是多少?
(3)2011是不是这列数中的数?
如果是,是第几个数?
6、我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列,如1,3,9,19,33,…就是一个数列,如果一个数列从第二个数起,每一个数与它前一个数的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做这个等差数列的公差.如2,4,6,8,10就是一个等差数列,它的公差为2.如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列,则称这个数列为二阶等差数列.例如数列1,3,9,19,33,…,它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2,6,10,14,…,这是一个公差为4的等差数列,所以,数列1,3,9,19,33,…是一个二阶等差数列.那么,请问二阶等差数列1,3,7,13,…的第五个数应是.
7、阅读下列一段话,并解决后面的问题.
观察下面一列数:
3,5,7,9,…我们发现这一列数从第2项起,每一项与它前一项的差都等于同一个常数2,这一列数叫做等差数列,这个常数2叫做等差数列的公差.
(1)等差数列3,7,11,…的第五项是;
(2)如果一列数a1,a2,a3,…是等差数列,且公差为d,那么根据上述规定,有a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d …
所以,a2=a1+d;
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d …
an=(用含有 a1与d的代数式表示)
(3)一个等差数列的第二项是107,第三项是135,则它的公差为,第一项为,第五项为.
8、按一定规律排列的一列数依次为
,
……
(1)请写出这列数中的第6个数;
(2)如果这列数中的第n个数为an,请用含有n的式子表示an;
(3)分数
是否为这列数当中的一个数,如果是,请指出它是第几个数,如果不是,请找出这列数中与它最接近的那个数.
二、等比数列
已知一列数:
3,6,9,12,15,18…
(1)若将这列数的第1个记为a1,第2个记为a2…,第n个记为an,那么有a1=3,a2=3+(2-1)×
3,a3=3+(3-1)×
3,根据上述等式反映的规律,请写出第4个等式a4=.第n个等式an=.
(2)一般地:
如果一列数a1,a2,a3…an满足a2-a1=a3-a2=…an-an-1=d,那么我们把这列数叫做等差数列,请用a1,n,d表示这个等差数列的第n个数an.
1、给出依次排列的一列数:
-1,2,-4,8,-16,32,….
(1)按照给出的这几个数列的某种规律,继续写出后面的3项:
、、.
(2)这一列数第n个数是什么?
2、观察一列数2,4,8,16,32,…,发现从第二项开始,每一项与前一项之比是一个常数,这个常数是;
根据此规律.如果n.(n为正整数)表示这个数列的第n项,那么a18=,an=.
3、已知一列数3,-6,9,-12,15,-18,…请完成下列问题:
(1)请写出这一列数中第2011个数;
(2)试求这一列数前100个的和.
4、现场学习:
观察一列数:
1,2,4,8,16,…,这一列数按规律排列,我们把它叫做一个数列,其中的每个数,叫做这个数列中的项,从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于2,我们把这个数列叫做等比数列,这个常数2叫做这个等比数列的公比.一般地,如果一列数从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,这一列数就叫做等比数列,这个常数就叫做等比数列的公比.
解决问题:
(1)已知等比数列5,-15,45,…,那么它的第六项是.
(2)已知一个等比数列的各项都是正数,且第2项是10,第4项是40,则它的公比为.
(3)如果等比数列a1,a2,a3,a4,…,公比为q,那么有:
a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,…,
an=.(用a1与q的式子表示,其中n为大于1的自然数)
5、已知一列数,2,6,18,54,…
(1)写出这个数列的第8个数;
(2)用代数式表示这个数列的第n个数.
6、阅读下列一段话,并解决后面的问题.
1,2,4,8,16,32…
我们发现,这一列数从第2项起,每一项与它前一项的比都是2,即
一般地,如果一列数从第2项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,这一常数就叫做等比数列的公比,例如上面数列的比值2即为这个数列的公比.问:
①等比数列-1,3,-9,27,…的公比是,第五项是.
②如果一列数a1,a2,a3,a4,…是等比数列,且公比为q,那么根据上述的规定,有
,……所以a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,a4=a3q=(a1q2)q=a1q3,…an=.(用a1,q,n的代数式表示)
③一个等比数列的第二项是8,公比是
,则第八项是.
知识点三:
数的矩阵形状排列规律探索
例将连续正整数1,2,3,4,…排列如下表
11
13
14
18
19
21
22
23
24
25
28
29
30
31
(1)2011排在第_______行第_______列;
(2)若用方框框住任意相邻两行两列中的四个数,设右上角一个数为m,则左上角数为________,右下角数为__________,左下角数为_________.
1、将正整数按如下表的规律排列,请写出第20行,第21列的数是__________.
…
2、用一正方形在日历中任意框出四个数,如图,
ab
cd
请用一个等式表示a,b,c,d之间的关系:
___________________________.
3、观察下列数表:
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
观察表中反映的规律
(1)写出第6行与第6列交叉点上的数;
(2)写出第n行与第n列交叉点上的数.
4、将连续的奇数1,3,5,7…排列成如下的数表,用十字框框出5个数(如图)
(1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数19有什么关系?
十字框框出5个数的和与框子正中间的数19的关系是.
(2)若将十字框上下左右平移,但一定要框住数列中的5个数,若设中间的数为a,用a的代数式表示十字框框住的5个数和5个数之和;
5个数分别表示为、、a、、.
5个数之和表示为.
(3)十字框框住的5个数之和能等于2000吗?
能等于2010吗?
能等于2011吗?
若能,分别写出十字框框住的5个数,并填入下图中.
5、将连续的奇数1,3,5,7,…,排成如图所示的数表,用十字框任意框出5个数.
探究规律一:
设十字框中间的奇数为a,则框中五个奇数之和用含a的代数式表示为.
结论:
这说明能被十字框框中的五个奇数之和一定是自然数p的奇数倍,这个自然数p是.
探究规律二:
落在十字框中间且又是第二列的奇数是15,27,39…则这一列数可以用代数式表示为12m+3(m为正整数),同样,落在十字框中间且又是第三列,第四列,第五列的奇数分别可表示为.
运用规律:
(1)已知被十字框框中的五个奇数之和为6025,则十字框中间的奇数是.这个奇数落在从左往右第列.
(2)请你写出一个不能够框在十字框中间的且大于500的奇数:
.
(3)被十字框框中的五个奇数之和可能是485吗?
可能是3045吗?
说说你的理由.
变通运用:
若把这些奇数重新排列如右图,解答下列问题:
(1)下列能被十字框框在中间的奇数是( )
A.841 B.1121 C.1263 D.1091
(2)被框在十字框中的五个数之和可能是1925吗?
知识点四:
图形规律探究
例下列图案是晋商大夏窗格的一部分,其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸,则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为()。
1、用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖,按下图的方式铺地板,则第(3)个图形中有黑瓷砖()块,第n个图形中需要黑色瓷砖()块(用含n的代数式表示)。
(1)
(2)(3)
2、观察图,根据变化规律推测第100个与第()个位置的图形相同。
3、如图
…,是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字,按照这种规律,第5个“广”字中的棋子个数是(),第n个“广”字中的棋子个数是()。
○○○
○○○○○○○○○○○○
○○○……
○○
、○
①②③
4、观察下列图形,则第n个图形中三角形的个数是()。
第一个第二个第三个………
A.2n+2B.4n+4C.4n-4D.4n
5、用棋子摆出下列一组图形:
(1)填写下表:
图形编号
图形中的棋子
(2)照这样的方式摆下去,写出摆第n个图形棋子的枚数;
(用含n的代数式表示)
(3)如果某一图形共有99枚棋子,你知道它是第几个图形吗?
6、如图,给出四个点阵,s表示每个点阵中点的个数,按照图形中的点的个数变化规律,
(1)猜想第n个点阵中的点的个数s=.
(2)若已知点阵中点的个数为37,问这个点阵是第几个?
知识点五:
单双循环
1、单循环n个量中每两个量之间发生一次关系。
是单循环。
计算公式()。
2、双循环n个量中每两个量之间发生两次关系,是双循环。
例全国CBA共12只篮球队实行主客场制。
共比赛多少场球?
n支球队呢?
例某中学初一年级共12个班的篮球队,实行单循环赛,共比赛多少场球?
n支球队呢?
1、学习小组10个同学,新年到了同学之间互相发短信祝福,请问全小组共发了多少条短信?
2、一条直线上有7个点,共有多少条线段?
n个点呢?
3、某篮球赛实行主客场制循环赛,即每两支队伍都要比赛两场:
在自己球队所在地,和对方球队所在地各赛一场;
已知一共要进行90场比赛,有多少支篮球队参赛?
4、三个球队进行单循环赛,总的比赛场数是场,四个球队进行单循环比赛的总场数是场,若m个球队场.
5、毕业班某小组同学之间互相送照片,一共送出90张相片,这个小组一共有学生多少人?
其他规律练习
第n个数是__________.
2、将若干名学生排成一列,按1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1…循环报数,那么第2011名学生所报的数是__________.
3、一间教室有2扇门和4扇窗户,某校n间这样的教室共有________门,________扇窗户.
2、已知一组数为:
1,
……按此规律用代数式表示第n个数为.
4、观察下列各数的个位数字的变化规律:
21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,…通过观察,你认为227的个位数字应该是.
5、已知数列1,4,3,8,5,12,7,16,…,问:
这个数列中第1997个数是多少?
第2000个数呢?
6、一串数1、1、1、2、2、3、4、5、7、9、12、16、21、…称为帕多瓦数列,请陈述这个数列的一个规律,并且写出其中的第14个数和第18个数.
7、某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个,按此规律,5小时后细胞存活的个数为()
A.31B.33C.35D.37
8、阅读所给材料,并解答问题。
通过计算,我们可知道以下关系式:
=
=1-
-
……
由此,我们能够推断:
=()(补全关系式,其中n是不为0的自然数)
(1)依上述关系式,我们可直接得出
+
=()(写结果)
(2)根据前面的分析,利用得到的规律和方法计算。
趣味数学:
话说唐僧师徒四人还
在去西天取经的路上。
一天猪八戒又
偷懒了。
孙悟空为了教训一下猪八戒,变出许
多金箍棒压在猪八戒身上。
猪八戒直嚷:
“猴哥,你
饶了我吧,下次我再也不敢了。
”孙悟空笑着说:
“只要你
算出压在你身上的金箍棒一共有多少根,我就放了你。
”这
下猪八戒可傻眼了:
他最怕做算术题了。
压在猪八戒身上的
金箍棒如图所示,你能帮帮猪八戒吗?
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