高考最新全国高考试题分类汇编及解析数学数列解析几何立体几何解析几何部分参考答案精Word格式.docx
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二、填空题
1.
x2y24
11.
用代数的方法研究图形的几何性质
215
2.
xy21
12.
3.
13.
4.
14.
[-1,3]
15.
45
5.
(0,-1)12a12
16.
2x-y+4=0
6.
x2+(y+1)2=11-2≤a≤1+2
17.
18.
[,0)(0,]
7.
(,13)
1010
8.
(5,0)
19.
(x1)2(y1)225
9.
(x-2)2+(y+3)2=5
20.
10.(x-2)2+(y+3)2=5
三、解答题
平面向量的运算等解析几何的基本思想和
1.(本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质,综合解题能力.满分14分.解:
(I)由C与t相交于两个不同的点,故知方程组
x2y21,
2y21,
axy1.
有两个不同的实数解.消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.①⋯⋯2分
所以
1a20.
422
4a48a2(1a2)0.
解得0a2且a1.
双曲线的离心率
即离心率e的取值范围为(6,2)(2,).6分
II)设A(x1,y1),B(x2,y2),P1(0,1)
2.本小题主要考查抛物线的性质,直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。
满分12分。
解:
(Ⅰ)C的焦点为F(1,0),直线l的斜率为1,所以l的方程为yx1.
将yx1代入方程y24x,并整理得x26x10.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x26,x1x21.
OAOB(x1,y1)(x2,y2)x1x2y1y22x1x2(x1x2)13.
|OA||OB|x12y12x22y22x1x2[x1x24(x1x2)16]41.
OAOB314cos(OA,OB).
|OA||OB|41
314
所以OA与OB夹角的大小为arccos314.
41
(Ⅱ)由题设FBAF得(x21,y2)(1x1,y1),
即x21(1x1),①
y2y1.②
由②得y222y12,
y124x1,y224x2,∴x22x1.③
联立①、③解得x2,依题意有0.
∴B(,2),或B(,2),又F(1,0),得直线l方程为
(1)y2(x1)或
(1)y2(x1),
m1
m
|QF2|x1cm
|PF2|cx0mx0
当[4,9]时,l在方程y轴上的截距为2或1
将x0
代入②,化简得
y(32)(x2).
25e5.
准线方程是x=--1.
(Ⅱ)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,
∴kPAkPB.
∴y1y24
由①--②得直线AB的斜率
y2y144
kAB1(x1x2).(14分)
x2x1y1y24
7.本小题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力、满分14分。
解(I)当y=p时,x=p,
又抛物线y2=2px的准线方程为x=-p,
由抛物线定义得,所以距离为p(p)5p.
828
(II)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB.
由y12=2px1,y02=2px0
相减得(y1-y0)(y1+y0)=2p(x1-x0)
故kPA=y1y02p(x1≠x0)
x1x0y1y0
同理可得kPB=2p(x2≠x0)
y2y0
由PA,PB倾斜角互补知kPA=-kPB,
即
故
2p2p,=-,
y1y0y2y0
y1+y2=-2y0,y1y22
y0
设直线AB的斜率为kAB。
由y22=2px2,y12=2px1
相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1),
所以kAB=y2y12p(x1≠x2)
x2x1y1y2
将y1+y2=-2y0(y0>
0)代入得
kAB=2p=-p,所以kAB是非零常数。
y1y2y0
8.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,平面向量的计算,曲线和方
14分。
程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力,满分
2)解:
由
(1)可得A(3,0),设直线PQ的方程为yk(x3),由方程组
x2y21
62得(3k21)x218k2x27k260
yk(x3)
依题意12(23k2)0,得
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
由直线PQ的方程得y1k(x13),y2k(x23)
于是y1y2k2(x13)(x23)k2[x1x23(x1x2)9]③∵OPOQ0∴x1x2y1y20④由①②③④得5k1,从而k5(6,6)
533
所以直线PQ的方程为x5y30或x5y30
9.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,平面向量的计算,曲线和方
程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
满分14分。
xy1)解:
由题意,可设椭圆的方程为21(a2)。
a22
ac2,
由已知得a2
c2(ac).
c
解得a6,c2
x2y26
所以椭圆的方程为xy1,离心率e6。
623
由
(1)可得A(3,0)。
设直线PQ的方程为yk(x3)。
由方程组
y2
1,
yk(x3)
得(3k21)x218k2x27k260
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
x1x2
18k2,
①
3k21,
27k26
x1x2
2。
②
3k21
由直线
PQ的方程得
y1k(x13),y2k(x23)。
y1y2k(x13)(x23)k[x1x23(x1x2)9]。
∵OPOQ0,∴x1x2y1y20。
④
2566由①②③④得5k21,从而k(,)。
2)证明:
AP(x13,y1),AQ(x23,y2)。
由已知得方程组
x13(x23),y1y2,
x12y121,
62
x22y221.
注意1,解得x2
51
因F(2,0),M(x1,y1),故
FM(x12,y1)((x23)1,y1)
(,y1)(,y2)。
y2)(1,y2),
FMFQ。
1y=xy=21x2-4y=x-4
即A(-4,-2),B(8,4),从而AB的中点为
由kAB==,直线AB的垂直平分线方程
令y=-5,得x=5,∴Q(5,-5)
10、【解】
(1)解方程组
1=-4,
x2=8
1=-2,y2=4
M(2,1).
y-1=(x-2).
(2)直线OQ的方程为x+y=0,
设P(x,1
x2-4).
∵点P到直线OQ的距离d=
xx48=
2=82
=1x28x32,
OQ52,∴SΔOPQ=12OQd=156
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线OQ上,
x28x32.
∴-4≤x<
43-4或43-4<
x≤8.
∵函数y=x2+8x-32在区间[-4,8]上单调递增,∴当x=8时,ΔOPQ的面积取到最大值30.
11.解法一:
设A(xA,yA),B(xB,yB),则其坐标满足
ayx2,y22x.
消去x得
y22ay40
yA
yB2a,yB4.
xAxB4a(yAyB)42a2,
xAxB(yA4yB)24
因此OAOBxAxByAyB0,即OAOB.
故O必在圆H的圆周上.
又由题意圆心H
xH,yH)是AB的中点,故
xH
yH
xAxB
2a2
yAyB
a.
由前已证,OH应是圆H的半径,且|OH|x2HyH2a45a24.
从而当a=0时,圆H的半径最小,亦使圆H的面积最小.解法二:
ayx2,
设A(xA,yA),B(xB,yB),则其坐标满足2
y22x.
y2pky40,
分别消去x,y得22
x22(a22)x40.
222
故得A、B所在圆的方程x2y22(a22)x2ay0.
明显地,O(0,0)满足上面方程
故A、B、O三点均在上面方程的表示的圆上.
又知A、B中点H的坐标为(xA2xB,yA2yB)(2a2,a),
故|OH|(2a2)2a2
222222而前面圆的方程可表示为[x(2a2)]2(ya)2(2a2)2a2
故|OH|为上面圆的半径R,从而以AB为直径的圆必过点O(0,0)2242
又R2|OH|2a45a24,故当a=0时,R2最小,从而圆的面积最小,
解法三:
同解法一得O必在圆H的圆周上
又直径|AB|=(xAxB)(yAyB)
2222xAxByAyB
x2Ax2B2xA2xB
2xAxB4xAxB4.
上式当xAxB时,等号成立,直径|AB|最小,从而圆面积最小此时a=0.
解法一:
由题意,直线AB不能是水平线,故可设直线方程为:
kyx2p.
因此OAOBxAxByAyB0,即OAOB.
又由题意圆心H(xH,yH)是AB的中点,故
xA
xB
yB
(2k2)p,
kp.
由前已证,OH应是圆H的半径,且|OH|x2HyH2k45k24p.
从而当k=0时,圆H的半径最小,亦使圆H的面积最小.
此时,直线AB的方程为:
x=2p.
kyx2p,y22px.
解法二:
由题意,直线AB不能是水平线,故可设直线方程为:
ky=x-2p
又设A(xA,yA),B(xB,yB),则其坐标满足
分别消去
x,y得xy2222ppk(ky242p)2x04,p20.x22p(k22)x4p20.
故得A、B所在圆的方程x2y22p(k22)x2pky0.
明显地,O(0,0)满足上面方程所表示的圆上,
xAxByAyB2
又知A、B中点H的坐标为(AB,AB)((2k2)p,kp),22
故|OH|(2k2)2p2k2p2
22222222而前面圆的方程可表示为[x(2k2)p]2(ypk)2(2k2)2p2k2p2故|OH|为上面圆的半径R,从而以AB为直径的圆必过点O(0,0).
22422又R2|OH|2(k45k24)p2,故当k=0时,R2最小,从而圆的面积最小,此时直线AB的方程为:
又直径|AB|=(xAxB)2(yAyB)2
2222
xAxByAyB
x2Ax2B2pxA2pxB
2xAxB4pxAxB4p.
上式当xAxB时,等号成立,直径|AB|最小,从而圆面积最小此时直线AB的方程为x=2p.
13.本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识,求轨迹方程的方法,解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.
∴直线l的方程为y-2=-1(x-2),
即x+2y-6=0.
(Ⅱ)设P(x0,y0),则y012x02.
∵过点P的切线斜率k初=x0,当x0=0时不合题意,
x00.∴直线l的斜率kl=-1=1,
k切x0
∵M是PQ的中点,
方法二:
设Q(x1,y1),M(x,y).则
y0-y1=x18-x1=(x0+x1)(x0-x1)=x(x0-x1),
将上式代入②并整理,得
y=x2+121(x≠0)就是所求的轨迹方程2x2
由x≠0知x20,yx221x212x221x2121.
上式等号仅当x212,即x41时成立,所以点M到x轴的最短距离是21.
2x22
14.本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识,求轨迹方程的方法,解析几何的基本
思想和综合解题能力。
满分12分.
(Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意x1≠0,y1>
0,y2>
0.由y=1x2,①
得y'=x.
∴过点P的切线的斜率k切=x1,
∴直线l的斜率kl=-1=-1,
k切x1
121
∴直线l的方程为y-x12=-(x-x1),
2x1
方法一:
222联立①②消去y,得x+2x-x1-2=0.
x1
∵M是PQ的中点
x1x21
x0==-,
y0=1x12-1(x0-x1).2x1
消去x1,得y0=x18+12+1(x0≠0),
2x02
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+2+1(x≠0).
1212x1x2
由y1=x1,y2=x2,x0=,
12121得y1-y2=x1-x2=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2),
222
则x0=y1y2=kl=-1,
x1x2x1
∴x1=-,
x0
y0=x18+2+1(x0≠0),
2x0
方法
|ST||ST|
∴的取值范围是(2,+).
|SP||SQ|
∴|ST||ST|=|b|y1y2=|b|2(k2b)∴=|b|=|b|2|SP||SQ|y1y2b2
所以|ST||ST|>
2(2bb)=2|SP||SQ|b
2k
∵当b>
0时,可取一切正数,b
||SSTP||||SSTQ||的取值范围是(2,+)
方法三:
由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP,
即y2b=y1b.
x2x1
则x1y2-bx1=x2y1-bx2,即b(x2-x1)=(x2y1-x1y2).
于是
1212x2x1x1x2b=22=-
x1x2.
|ST||ST|=|b|
|SP||SQ|=|y1|
|b||2x1x2||2x1x2||y2|1212
=|x2|+|x1|≥2.x1x2
∵|x2|可取一切不等于1的正数,x1
|ST||ST|的取值范围是(2,+)|SP||SQ|
15.本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质,曲线与方程的关系,及其综合应用能力,满分12分.
(Ⅰ)将直线l的方程ykx1代入双曲线C的方程2x2y21后,整理得
(k22)x22kx20.⋯⋯①
依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故2
k220,
(2k)28(k22)0,
k22
20.
解得k的取值范围是2k2.
Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则由①式得
x2
2k2
k22
假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)
则由FA⊥FB得:
(x1c)(x2c)y1y20.
即(x1c)(x2c)(kx11)(kx21)0.
整理得
(k21)x1x2(kc)(x1x2)c210.⋯⋯③
把②式及c代入③式化简得
解得k66或k66(2,2)(舍去).
5k226k60.
或k
可知k66使得以AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
所以当
t3时,f(t)有最大值为f(3)3
4y得
33
17.解:
(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为ykxm,代入抛物线方程x22
x4kx4m0.①
设A、B两点的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根.所以x1x24m.
由点P(0,m)分有向线段AB所成的比为,得x1x20,即x1.
1x2
又点Q是点P关于原点的对称点,故点Q的坐标是(0,-m),从而QP(0,2m).
QAQB(x1,y1m)(x2,y2m)(x1x2,y1y2
(1)m).
QP(QAQB)2m[y1y2
(1)m]
x12x1x22x1x1x24m
2m[112(11)m]2m(x1x2)12
4x24x24x2
4m4m
2m(x1x2)0.
4x2所以QP(QAQB).
x2y120,
(Ⅱ)由2得点A、B的坐标分别是(6,9)、(-4,4)
x24y,
2121由x2y得yx2,yx,
42
所以抛物线x24y在点A处切线的斜率为yx63设圆C的方程是(xa)2(yb)2r2,b91,
则ab3,
2222(a6)2(b9)2(a4)2(b4)2.
解之得a3,b23,r2(a4)2(b4)2125.
所以圆C的方程是(x3)2(y23)2125,
即x2y23x23y720.
22xy18.
(1)2214m23m2
(2)k26或0
19.本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识,以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.
(1)解法一:
直线l过点M(0,1)设其斜率为k,则l的方程为ykx1.
的解.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
记A(x1,y1)、B(x2,y2),由题设可得点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)是方程组ykx1
2y2x21
将①代入②并化简得,(4k2)x22kx30,所以
y1
8y22.
24k2
设点P的坐标为(x,y),则
k
x2,
4k消去参数k得4x2y2
4y2.
4k2
也满足方程③,所以点P的轨迹
当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),
程为4x2y2y0.
8分
设点
P的坐标为(x,y),因A(x1,y1)、
B(x2,y2)在
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