初一数学下期知识点复习Word格式.docx
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①方程的两边都除以未知数的系数;
②注意符号:
两数相除,同号得正,异号得负;
除以一个数,等于乘以它的倒数。
得
4。
三、列一元一次方程解应用题
1、列方程解应用题的一般步骤:
①设未知数,②列方程,③解方程,④检验,⑤作答。
列方程解应用题的关键是找相等关系,找相等关系时,要善于借助直观分析法,如表格法,直线分析法和图示分析法等。
列方程解应用题的检验包括两个方面:
①检验求得的结果是不是方程的解;
②要判断方程的解是否符合题目中的实际意义.
2、传统类型和基本关系式:
路程
时间
速度
(1)行程问题:
路程=速度×
时间;
时间=
速度=
.
①相遇问题:
:
甲走的路程+乙走的路程=总路程;
甲走的时间=乙走的时间。
②追击问题:
快者的路程–慢者的路程=两人的距离(慢者先走的路程);
快者时间=慢者后走的时间。
③环形跑道问题:
同地反向而跑相遇时,甲走的路程+乙走的路程=环形跑道的周长;
同地同向而跑追击时,快者的路程–慢者的路程=环形跑道的周长。
(2)工程问题:
①工作量=工作效率×
工作时间;
工作效率
工作量
工作时间
工作效率=
,工作时间=
②各部分工作量之和=总工作量。
不明工作量时通常设总工作量为“1”。
进价
利润
(3)利润问题:
①利润=售价–进价(成本);
②
×
100%.
(4)打折问题:
原售价(标价)
.
(5)存款利息问题:
本金×
利率×
时间=利息,
本息和=本金+利息.
(6)数字问题:
①三个连续整数(设中间一个为x):
(x-1),x,(x+1);
三个连续奇数或三个连续偶数(设中间一个为x):
(x-2),x,(x+2)。
②两位数:
个位为x,十位为y的两位数为:
10y+x;
三位数:
个位为x,十位为y,百位为z的三位数为:
100z+10y+x.
(7)出租车问题:
车费=起步价+超过部分的路程×
超过部分的收费单价
第7章二元一次方程组知识点
一、二元一次方程的概念:
1、二元一次方程:
含有两个未知数,且含有未知数的项的次数都是1次的整式方程叫二元一次方程。
它的一般形式是ax+by=c(a、b不同时为0)。
一般来说,一个二元一次方程有无数组解。
2、二元一次方程组:
含有两个未知数,且含有未知数的项的次数都是1次的整式方程组叫二元一次方程组。
3、方程组的解:
方程组的解是适合方程组中每一个方程的公共解。
二、二元一次方程组的解法:
1、解二元一次方程组的基本思想是消元,常用的方法有代入法和加减法。
当方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值为l或有一个方程的常数项是0时,用代入法;
当两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时,用加减法。
如方程组
宜用加减法,如方程组
宜用代入法。
2、用代入法解二元一次方程组的步骤:
(1)在方程组中选取一个系数较简单的方程变形,把它写成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式,记作方程③;
(2)把方程③代入另一个方程,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
(3)解这个一元一次方程,得到一个未知数的值;
(4)把这个未知数的值代入方程③,求出另一个未知数的值,再写出方程组的解.
3、用加减法解二元一次方程组的步骤:
(1)在方程组中选取一个或两个方程变形,使方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等;
(2)把两个方程相加或相减(若方程组中同一个未知数的系数相等则相减,若方程组中同一个未知数的系数互为相反数则相加),消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
(4)把这个未知数的值代入方程组中一个系数较简单的方程,求出另一个未知数的值,从而写出方程组的解。
三、列方程组解应用题
1、列方程组解应用题的一般步骤:
①设未知数,②列方程组,③解方程组,④检验,⑤作答。
列方程组解应用题的关键是找相等关系,找相等关系时,要善于借助直观分析法,如表格法,直线分析法和图示分析法等。
①相遇问题:
甲走的时间=乙走的时间。
快者的路程–慢者的路程=两人的距离(慢者先走的路程);
快者时间=慢者后走的时间。
同地反向而跑相遇时,甲走的路程+乙走的路程=环形跑道的周长;
①利润=售价–进价(成本);
时间=利息,本息和=本金+利息.
车费=起步价+超过部分的路程×
第8章一元一次不等式(组)知识点
一、不等式的有关概念
1、不等式:
用不等号(>
、<
、≠、≥、≤)表示不等关系的式子叫做不等式。
2、不等式的解:
能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
3、不等式的解集:
一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
4、解不等式:
求不等式的解集的过程,叫做解不等式。
在数轴上表示不等式的解集,“大于”向右画,“小于”向左画,“包括这个数”画实心圆点,“不包括这个数”画空心圆圈。
5、一元一次不等式:
只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1,这样的不等式叫一元一次不等式。
6、一元一次不等式组:
只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1,这样的不等式组叫一元一次不等式组。
二、不等式的基本性质:
(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。
(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
注意:
判断不等式是否成立,关键是分析判定不等号的变化,变化的依据是不等式的性质。
特别注意的是,不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,要改变不等号方向;
反之,若不等式的不等号方向发生改变,则说明不等式两边同乘以(或除以)了一个负数.
因此,在判断不等式成立与否或由不等式变形求某些字母的范围时,要认真观察不等式的形式与不等号方向.
三、解一元一次不等式的步骤:
①去分母,②去括号,③移项,④合并同类项,⑤系数化为1.
去分母或系数化为1时,如果不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向要改变。
解方程与解不等式的主要区别:
解方程与解不等式的主要区别是不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时,不等号的方向要改变。
四、解一元一次不等式组:
求出这个不等式组中各个不等式的解集的公共部分。
其步骤如下:
1、先求出这个不等式组中各个一元一次不等式的解集;
2、再利用数轴或口诀确定各个解集的公共部分,即求出了这个一元一次不等式组的解集.
不等式组解集的确定方法:
若a>
b,则有:
(1)
口诀为“大大取较大”或“同大取大”.
所以不等式组的解集是x>
a.
(2)
口诀为“小小取较小”或“同小取小”.
所以不等式组的解集是x<
b.
(3)
口诀为“小大大小中间找”或“小大大小取中”.
所以不等式组的解集是b<
x<
a,
(4)
口诀为“大大小小无处找”或“大大小小取空”.
所以不等式组的解集是空集(或不等式组无解).
一元一次不等式(组)常与分式、根式、一元二次方程、函数等知识相联系,解决综合性问题。
五、求不等式(组)的特殊解
不等式(组)的解往往是有无数多个,但其特殊解在某些范围内是有限的,如整数解、非负整数解,要求这些特殊解,
(1)首先是确定不等式(组)的解集;
(2)然后再找到相应的特殊解(注意应用数形结合思想).
六、列不等式(组)解应用题
注意分析题目中的不等量关系,抓住关键词,如“不超过(≤)”、“不少于(≥)”、“大于(>
)”、“小于(<
)”、“超过(>
)”、“不足(<
)”等。
列不等式(组)解应用题的一般步骤:
1设未知数,②列不等式(组),③解不等式(组),④检验,⑤作答。
在不等式(组)的应用题中,通常应根据实际情况对不等式(组)的解集取特殊解(自然数解或正整数解).
考查的热点是与实际生活密切相联的不等式(组)应用题.
第9章多边形知识点
一、三角形
1、三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形,这三条线段就是三角形的三条边,每两边所组成的角叫做三角形的内角,三角形相邻两边的公共端点叫三角形的顶点。
①三边不在同一直线上;
②有三条线段;
③线段的首尾顺次相接(即是封闭图形).
2、三角形的分类
(1)按角的大小分类
(2)按边的相等关系分类
3、三角形的角:
(1)三角形的内角:
三角形中每两边所组成的角叫做三角形的内角。
三角形内角和定理:
三角形的内角和等于180°
(2)三角形的外角:
三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。
三角形外角的性质:
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;
②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角;
③三角形的外角和等于360°
在三角形的外角定理中,一定要强调“不相邻”。
4、三角形的边:
组成三角形的三条线段叫三角形的边。
定理:
三角形的任何两边的和大于第三边,三角形任何两边的差小于第三边。
①在判断三条线段能否组成三角形时,可用上述条件进行判断。
②判断三条线段能否构成三角形、已知三角形两边求第三边的长或范围一般以选择题或填空题的形式出现,求第三边或周长要注意多解的情况,不要漏解。
5、三角形的主要线段:
三角形的角平分线、中线、高.
(1)三角形的角平分线:
三角形一个角的平分线与对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
(2)三角形的中线:
在三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
(3)三角形的高:
从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高。
如图,AE是⊿ABC的角平分线∠BAE=∠CAE=
BAC.
AF是⊿ABC的中线BF=CF=
BC.
AD是⊿ABC的高AD⊥BC,∠ADC=∠ADB=90°
注意:
①三角形的角平分线、中线、高都是线段;
②三角形的三条角平分线都在三角形的内部且都交于一点,这个交点叫做三角形的内心;
三角形的三条中线都在三角形的内部且都交于一点,这个交点叫做三角形的重心;
三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形),也可能在边上(直角三角形),它们(或延长线)相交于一点,这个交点叫做三角形的垂心。
5、三角形的面积:
(1)三角形的面积=底×
高的一半。
即
(S表示三角形的面积,a表示三角形的底,h表示三角形的高).
(2)三角形的中线把三角形分成两个面积相等的小三角形。
6、三角形具有稳定性:
三角形的三边固定,那么三角形的形状和大小就完全确定了,叫做三角形的稳定性。
7、直角三角形:
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
(1)直角三角形的判定:
①有一个角为90o的三角形是直角三角形(定义)。
②有两个角互余的三角形是直角三角形。
*③如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
*④勾股定理逆定理:
如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形。
(2)直角三角形的性质:
①直角三角形的两个锐角互余。
*②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
*③勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
*④在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
*⑤直角三角形的面积=两条直角边乘积的一半(也可以是斜边乘以斜边上的高的一半)
二、多边形
1、多边形:
由由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形,也叫做多边形。
多边形可按围成的边数划分为三角形、四边形、五边形、……、n边形。
2、正多边形:
各边都相等,各内角也都相等的多边形叫正多边形。
正多边形都是轴对称图形,正n边形有n条对称轴。
正偶边形既是轴对称图形,又是中心对称图形,对称轴的交点是它的对称中心。
3、多边形的对角线:
连结多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
三角形是最基本的平面图形。
所有的多边形都可以用不同的方法将其分割成若干个三角形,如过n边形的一个顶点能作(n-3)条对角线将该多边形分成(n-2)个三角形。
n边形的对角线条数为
4、①n边形的内角和为(n-2)·
180°
。
多边形的内角和随边数的变化而变化,边数每增加一边,内角和就增加180°
②多边形的外角和为360°
多边形的外角和不受边数变化的影响。
5、当围绕一点拼在一起的几个多边形在该点处的几个内角加在一起恰好是360o时,就能拼成一个既不留下空隙,又不相互重叠的平面图形。
(1)采用同种正多边形能密铺满地的是:
①等边三角形(6个);
②正方形(4个);
③正六边形(3个)。
(2)采用两种正多边形能密铺满地的有:
①等边三角形(3个)与正方形(2个)组合;
②等边三角形(2个)与正六边形(2个)组合;
或等边三角形(4个)与正六边形(1个)组合;
③等边三角形(1个)与正十二边形(2个)组合;
④正方形(1个)与正八边形(2个)组合。
(3)采用三种正多边形能密铺满地的有:
①等边三角形(1个)、正方形(2个)与正六边形(1个)组合;
②等边三角形(2个)、正方形(1个)与正十二边形(1个)组合;
③正方形(1个)、正六边形(1个)与正十二边形(1个)组合。
6、一般多边形的面积计算,通常是把它分割成几个特殊的多边形(如三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等),再求面积的和。
第10章轴对称知识点
一、轴对称:
1、轴对称图形:
如果一个图形沿着某条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。
如等腰三角形沿着它的底边的垂直平分线折叠,两旁部分完全重合。
因此等腰三角形是轴对称图形,底边的垂直平分线是它的对称轴。
但不能说等腰三角形底边上的高是对称轴,因为高是线段,而对称轴是直线。
应说成:
底边上的高所在的直线是对称轴。
同理,也不能说等腰三角形底边上的中线是对称轴,因为中线是线段,而对称轴是直线。
底边上的中线所在的直线是对称轴。
也不能说等腰三角形顶角的平分线是对称轴,因为三角形的角平分线是线段,而对称轴是直线。
顶角平分线所在的直线是对称轴。
2、轴对称:
把一个图形沿着某一条直线对折,如果它能够与另一个图形完全重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称。
两个图形中的对应点(即两图形重合时互相重合的点)叫做对称点,这条直线叫做对称轴。
两个图形关于直线对称叫做两个图形成轴对称。
如图,⊿ABC与⊿A’B’C’关于直线MN对称,MN为对称轴。
(1)轴对称与轴对称图形的区别:
①轴对称是指两个图形之间的关系,而轴对称图形是指具有轴对称特点的某一个图形。
②轴对称是两个图形的位置关系,而轴对称图形是一个特殊形状的图形。
③关于轴对称的两个图形,对称轴只有一条,而轴对称图形的对称轴可能不止一条,有可能有两条、三条、四条、无数条等。
(2)轴对称与轴对称图形的联系:
①轴对称和轴对称图形都表明图形的轴对称现象。
②都有对称轴。
③如果把轴对称图形被对称轴分成的两部分看成两个图形,这两个图形关于这条直线成轴对称;
反过来,把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形。
3、常见的轴对称图形:
(1)线段是轴对称图形(有2条对称轴:
线段的垂直平分线和线段所在的直线);
(2)角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴;
(3)等腰三角形是轴对称图形,底边的垂直平分线是它的对称轴;
(4)等边三角形是轴对称图形,每边的垂直平分线是它的对称轴(有3条对称轴);
(5)矩形是轴对称图形(有2条对称轴:
经过对边中点的直线);
(6)菱形是轴对称图形(有2条对称轴:
对角线所在的直线);
(7)正方形是轴对称图形(有4条对称轴:
经过对边中点的直线或对角线所在的直线);
(8)等腰梯形是轴对称图形,经过两底中点的直线是它的对称轴;
(9)正多边形都是轴对称图形,正n边形有n条对称轴;
(10)圆是轴对称图形(有无数条对称轴:
经过圆心的任一直线都是它的对称轴)。
4、对称轴性质:
如果图形关于某一条直线对称,那么连结对称点的线段被对称轴垂直平分。
图形的折叠、翻折实质是轴对称问题的实际应用。
①画一组对称点的对称轴的方法:
若A和A’关于某条直线成轴对称,连结点A和点A’,画出线段AA’的垂直平分线l,直线l就是点A和点A’的对称轴。
②画轴对称图形的对称轴的方法:
首先找出轴对称图形的任一组对称点,连结对称点,再画对称点所连线段的垂直平分线,就得该图形的对称轴。
③画轴对称图形的方法:
如果图形是由直线、线段或射线组成时,那么在画出它关于某一条直线对称的图形时,只要画出图形中的特殊点(如线段的端点、角的顶点等)的对称点,然后连结对称点,就可以画关于这条直线的对称图形。
5、线段的垂直平分线:
垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
(1)线段垂直平分线定理:
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
(2)线段垂直平分线逆定理:
到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
根据线段垂直平分线的这一特性可以推出:
三角形三边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
如图,⊿ABC的三边的垂直平分线交于一点P,则PA=PB=PC。
(三角形三边垂直平分线的交点叫做三角形的外心,三角形的外心到三个顶点的距离相等。
)
根据上述的性质,在生活实践中有很多应用,如有A、B、C三个村庄,现要在村外建一个加油站(或市场),使加油站(或市场)到三个村庄的距离相等,这个加油站(或市场)的位置就是P点。
6、角平分线:
角的内部的一条射线把这个角分成相等的两部分,这条射线就叫做角的平分线。
(1)角平分线定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
(2)角平分线逆定理:
到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
根据角平分线的性质,三角形三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。
如图,⊿ABC中,AD、BE、CF分别为的三个角的平分线,交于一点I,则I点到三条边的距离相等。
(三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三角形的内心到三条边的距离相等。
根据上述的性质,在生活实践中有很多应用,如有AB、BC、AC三条公路,现要在某处建一个仓库(或超市),使仓库(或超市)到三条公路的距离相等,这个仓库(或超市)的位置就是I点。
二、等腰三角形
1、等腰三角形:
两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
(1)等腰三角形的判定:
①有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)。
②如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”)
(2)等腰三角形的性质:
①等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”)
②等腰三角形的“三线合一”定理:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.(简称等腰三角形“三线合一”).
③等腰三角形是轴对称图形,它有1条对称轴:
底边上的中线所在的直线。
2、等边三角形:
三边都相等的三角形叫等边三角形。
等边三角形也叫正三角形,它是特殊的等腰三角形。
(1)等边三角形的判定:
①三边都相等的三角形是等边三角形(定义)。
②三个角都相等的三角形是等边三角形。
③有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形。
(2)等边三角形的性质:
①具有等腰三角形的所有性质。
②等边三角形的三边相等,三个角相等,并且每一个内角都等于60°
③等边三角形是轴对称图形,每边的中线所在的直线是它的对称轴(有3条对称轴)。
第11章体验不确定现象知识点
一、可能还是确定
1、确定事件:
确定事件包括必然事件和不可能事件。
(1)必然事件:
事先能肯定它一定会发生的事件,发生的机会是100%。
(2)不可能事件:
事先能肯
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