运筹学1 6章参考答案Word格式.docx
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长度
A1:
1.7
2
B1:
2.7
A2:
1.3
B2:
2.0
需要量(套)
200
150
问怎样下料使得
(1)用料最少;
(2)余料最少.【解】第一步:
求下料方案,见下表。
万案
-一-
―
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
2.7m
1
300
B2:
2m
450
1.7m
400
A2:
1.3m
600
余料
0.6
0.3
0.7
0.1
0.9
0.4
0.8
第二步:
建立线性规划数学模型
设Xj(j=1,2,•••,14)为第j种方案使用原材料的根数,则
(1)用料最少数学模型为
minZ八为
jm
2为+x2+x3+&
=300
x2+3x5+2x6+2X7+x$+%+x,0兰450
*x3+冷十2xs+X9十彳为^]+2x12十为3^400
x2+x3+2%+x7+X9+3x10+2x12+3x13+4为4Z600
为一0,j=1,2,|l|,14
用单纯形法求解得到两个基本最优解
X⑴=(50,200,0,0,84,0,0,0,0,0,0,200,0,0);
Z=534
X⑵=(0,200,100,0,84,0,0,0,0,0,0,150,0,0);
(2)余料最少数学模型为
minZ=0.6%0.3x30.7%11(0.4x130.8x14
2捲+x2+x3+x4兰300
X23x52x62x7沧X9X10一450
«
x3+x6+2x8+x9+3x11+2x12+x13启400
x2x32X4x7Xa3x102x123x134x14-600
Xj-0,j=1,2^1,14
X⑴=(0,300,0,0,50,0,0,0,0,0,0,200,0,0);
Z=0,用料550根X⑵=(0,450,0,0,0,0,0,0,0,0,0,200,0,0);
Z=0,用料650根显然用料最少的方案最优。
1.4某企业需要制定1〜6月份产品A的生产与销售计划。
已知产品A每月底交货,市场需求没有限制,由于仓库容量有限,仓库最多库存产品A1000件,1月初仓库库存200件。
16月份产品A的单件成本与售价如表1—25所示。
表1—25
月份
5
6
产品成本(元/件广
330
320
360
销售价格(元/件)
350
340
420
410
(1)1〜6月份产品A各生产与销售多少总利润最大,建立数学模型;
(2)当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时,模型如何变化。
【解】设Xj、yj(j=1,2,…,6)分别为1〜6月份的生产量和销售量,则数学模型为
maxZ--300%350yj-330x2340y2-320x3350y3-360x4
420y4-360x5410y5-300x6340y6
XjM800
Xj-yj+x2兰800
Xj—yj+x2—y2+x3W800
x^i_y^i+x2_y2+x3_y3+沧兰800
Xj—yj+X2—y2+X3—y3+沧一y4+疋兰800
Xj—%+X2—y?
+X3—y3+X4—y4+%—丫5十乂6乞800
(1)-xjy^200
-Xj+yr_x2+y2兰200
-Xj+yj—X2+y2—X3十y3兰200
—Xj+yj—X2+y?
—X3+y3—X4+y4兰200
—Xj+yj—X2+y2—X3+y3—X4+y4—X5+y5兰200
—Xj+yj—X2+y2—X3+y3—X4+y4—X5+y5—Xe+ye兰200
Xj,yj20;
j=1,2,川,6
(2)目标函数不变,前6个约束右端常数800改为1000,第7〜11个约束右端常数200改为0,第12个约束“W200”改为200”。
1.5某投资人现有下列四种投资机会,三年内每年年初都有3万元(不计利息)可供投资:
方案一:
在三年内投资人应在每年年初投资,一年结算一次,年收益率是20%,下一年可
继续将本息投入获利;
方案二:
在三年内投资人应在第一年年初投资,继续将本息投入获利,这种投资最多不超过方案三:
在三年内投资人应在第二年年初投资,最多不超过1.5万元;
方案四:
在三年内投资人应在第三年年初投资,资最多不超过1万元.
两年结算一次,收益率是
2万元;
50%,下一年可
60%,这种投资
一年结算一次,年收益率是
30%,这种投
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大,建立数学模型
【解】是设Xj为第i年投入第j项目的资金数,变量表如下
项目一
项目二
项目三
项目四
第1年
第2年
第3年
Xjj
X21
X31
X12
X23
X34
数学模型为
maxZ=0.2x11-0.2x2i-0.2x310.5x120.6x230.3x34
心+x12兰30000
一l^x^+x21+x23兰30000
—ibx^—1.2x21+x31+x34兰30000
x"
20000
x23兰15000
x34兰10000
Xj_0,i=1,|l|,3;
j=1,||(4
最优解X=(30000,0,66000,0,109200,0);
Z=84720
1.6炼油厂计划生产三种成品油,不同的成品油由半成品油混合而成,例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合,辛烷值不低于94,每桶利润5元,见表1-26。
表1-26
成品油
高级汽油
一般汽油
航空煤油
一般煤油
半成品油
中石脑油
重整汽油
裂化汽油
轻油、裂化油、重油、残油
轻油、裂化油、重油、残
油按10:
4:
3:
调合而成
辛烷值
>
94
84
蒸汽压:
公斤
/平方厘米
<
1
利润(元/桶)
4.2
半成品油的辛烷值、气压、及每天可供应数量见表1-27。
表1-27
1中石脑油
2重整汽油
3裂化汽油
4轻油
5裂化油
6重油
7残油
80
115
105
公斤/平方厘米
1.0
0.05
每天供应数量
(桶)
2000
1000
1500
1200
800
问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大,建立数学模型。
解设Xj为第i(i=1,2,3,4)种成品油配第j(j=1,2,…,7)种半成品油的数量(桶)总利润:
Z-5(x11■X12'
x13)4.2(X21'
X22■x23)3(x34X35'
X36x37)1.5(x44'
x45'
沧6'
人7)
高级汽油和一般汽油的辛烷值约束
80X11+115X12十105为3)*94朋80x21十115x22+105x23芒94
X11X12'
X13X21X22'
X23
航空煤油蒸气压约束
X341.5x350.6X36+0.05x37....'
X34X35'
X36+X37
一般煤油比例约束
x44:
x45:
x46:
x4^10:
4:
3:
X44
X45
X46
J
3,
X47
半成品油供应量约束
x11-x21二2000x12x22_1000x13x23_1500x34&
4-1200
x35'
X45一1000x36&
6辽1000
x37心_800
整理后得到
maxZ=5x115x125x134.2x214.2x224.2x23
3X343x353x363X371.5X441.5x451.5x461.5X47
-14x1^21x1^11x1^0
-14x2121x2211x23_0
-4x2131x2221x23_0
0.5x35—0.4x36—0.95x37_0
4X44-10X45—0
3X45-4X46=0
-3x47
x11-x21込2000
x12x22込1000x13x23_1500x34x44-1200
X35'
X45-1000
X36+X46兰1000
x37+x47兰800
Xj-0;
i=1,2,3,4;
j=1,2,111,7
1.7图解下列线性规划并指出解的形式:
maxZ=2.5%2x2
"
2捲+x2兰8
(1)0.5为兰1.5
仪+2x2兰10
MX-0
【解】最优解X=(2,4);
最优值Z=13
&
00
eV
5匹・
en
oeo
abo
⑵
【解】
OQOIa
zoo
x1Xz-2
(3/2,1/2);
X
=(4/5,6/5)最优值Z=2
maxZ=石x2
3为+8x2兰12
2x^3
a.bo
10(00
Xi,X2>
有多重解。
最优解X(1=
DBJ=1300
XI-200X2=4IIII
C2
OO
QSO
Q40
L60
0.
Jl
1BO-
1GO
0004
OJ
minZ=-3xi2x?
X+2x2兰11
—Xj+4x2<
⑶Vx,_x2M7
为-3x2兰1
x,,X2一0
【解】最优解X=(4,1);
最优值Z=—10,有唯一最优解
C3
4.40
⑷
4.95
minZ=4x16x2
为+2x2^8
x2_3
0,x2>
0
!
U
【解】最优解X=(2,3);
最优值Z=26,有唯一最优解
11DD
严+X2兰8
22D
6.60
OBJ-10OD
XI=4(10
X2-1U0
9.00
6.00
5.00
4.00
100
2.00—
0100——
0.00
JO
I1
maxZ=x12x2
Xj-x2启2
⑸』XiH3
x2兰6x2臭0
【解】无界解。
4.00--
3.00-
2.00--
1.00-
0.00-—
minZ=2论-5x2
x12x^6
Xj+x2兰2x1,x2>
【解】无可行解。
3.00
1.8将下列线性规划化为标准形式
maxZ=捲亠4x2—冷
2为X23xa_20
⑴5xi—7X24X3-3
10X|+3x2+6x3A-5
占臭0,冷臭0,x3无限制
(1令X3=X3-X;
X4,X5,X6为松驰变量,则标准形式为
III
maxZ=x「4x2-x3x3
2为+x2+3x3—3x3+x4=20
1n
』5x(-7x2+4x3-4X3-^=3
一10捲_3x2_6x3+6x3+x6=5
Xi,X2,X3,X3.X4.X5,*5^0
minZ=9xi-3x25x3
16x4+7x2—4x3戶20
(2)』XiX5x4+8x2=-8
K^0,x2启0,x3启0
(2)将绝对值化为两个不等式,则标准形式为maxZ--9x13x2-5x3
‘6%+7x2-4x3+X4=20
-6禺一7x2+4x3+x5=20
xi-x6=5
—Xi—8x2=8
为,X2,X3,X4,X5,x6_0
maxZ=2为3x2
1乞xi乞5
⑶I丄“
*—Xi+X2=—1
x^>
【解】方法1:
maxZ=2为3x?
X-X3=1
为+&
=5片-x2=1X1,X2,X3,X4一0方法2:
令为=捲-1,有X-|=X;
1,x;
_5-1=4maxZ二2(x11)3x2
x,兰4
-(X11)X2=-1
X1,X2-0
则标准型为
maxZ二22x/3x2
X1*X3=4
*_x;
+x2=0
x1,X2,X3H0
maxZ=min(3xr4x2,x-ix2x3)
d+2x2+x3兰30
⑷』4为—x2+2x3色15
9%+x2+6X3启-5
/无约束,x2、x3^0
【解】令y一3论•4x2,y-捲•x2x3,x^x^x/,线性规划模型变为
maxZ=y
y兰3(x1_x;
)+4x2
y兰x;
_x1+x2+x3
x;
2x2x3込30
4(x;
-x;
)-x2+2x3K15
9(x;
_x;
)+x2+6x3王-5
x(;
X2、X3—0
标准型为
maxZ=y
y_3x;
+3x;
_4x2+x4=0
y_x;
+x/_x2_x3+x5=0
2x2x3x^=30
4x;
—4x;
—x?
+2X3—X7=;
5-9x/+9x;
_x2_6x3+X8=5
_0
x;
x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8
1.9设线性规划
maxZ=5x;
2x2
2x;
3x2x3=50
*4x;
_2x2+x4=60
xj—0,j=;
…,4
取基B^(P;
P3^!
|2;
IB2」|2分别指出B;
和B2对应的基变量和非基变量,
;
〔40一2[4;
一
求出基本解,并说明B;
、B2是不是可行基.
【解】B;
:
x;
X3为基变量,X2,X4为非基变量,基本解为X=(;
5,0,20,0)T,B;
是可行基。
X4是基变量,X2,X3为非基变量,基本解X=(25,0,0,—40)T,B2不是可行基。
1.10分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划,指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对
应于图形上的那一个极点.
maxZ二X;
3x2
-2为X2<
(;
)
3x<
^;
片,X2-0
【解】图解法
单纯形法:
C(j)
b
Ratio
C(i)
Basis
X1
X2
X3
X4
-2
[1]
C(j)-Z(j)
M
[8]
-3
0.75
7
0.25
7/2
-0.375
0.125
3/4
-0.875
45/4
对应的顶点:
基可行解
可行域的顶点
X
(1)=(0,0,2,12)、
(0,0)
X⑵=(0,2,0,6,)、
(0,2)
x(3)=(3,-,0,0)、
42
37、
(冇)
3745
最优解X=(~L),Z
424
minZ=-3x1_5x2
X+2x2兰6
(2)Xi+4X2兰10
1x<
Hx^<
4
Xi_0,X2_0
-5
Xi
X5
i
[4]
2.5
[0.5]
-0.5
-0.25
-1.75
1.25
-12.5
-1
0.5
-1.5
3.5
-16
对应的顶点:
X
(1)=(0,0,6,10,4)、
(2)、
X=(0,2.5,1,0,1.5,)
(0,2.5)
X⑶=(2,2,0,0,0)
(2,2)
X⑷=(2,2,0,0,0)
(2,2)
最优解:
X=(2,2,0,0,0);
最优值Z=-16该题是退化基本可行解,5个基本可行解对应4个极点。
1.11用单纯形法求解下列线性规划
maxZ=3x14x2x3
2xi+3x2+怡兰1
(1)
<片+2x2+2x3兰3
XjAO,j=1,2,3
【解】单纯形表:
R.H.S.
[3]
1/3
3/2
[2/3]
1/2
-1/3
4/3
-2/3
7/3
-4/3
-1/2
5/2
C(j)-
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