新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案完整版文档格式.docx
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强调三个特征:
①它是______方程;
②它只含______未知数;
③方程中未知数的最高次数是__________.
一元二次方程的一般形式:
在任何一个一元二次方程中,_______是必不可少的项.
2)几种不同的表示形式:
①ax2+bx+c=0(a≠0,b≠0,c≠0)②___________(a≠0,b≠0,c=0)
③____________(a≠0,b=0,c≠0)④___________(a≠0,b=0,c=0)
三、当堂训练
1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。
(1)x2-y=1
(2)1/x2-3=2(3)2x+x2=3(4)3x-1=0
(5)(5x+2)(3x-7)=15x2(k为常数)(6)ax2+bx+c=0(7)
2、.当a、b、c满足什么条件时,方程(a-1)x2-bx+c=0是关于x的一元二次方程这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么
当a、b、c满足什么条件时,方程(a-1)x2-bx+c=0是关于x的一元一次方程
3、下列关于x的方程中,属于一元二次方程的有几个()
①
,②
,
③
④
⑤
,⑥
A.6个B.5个C.4个D.3个
4.
化成一般形式后,二次项系数、一次项系数、常项分别为().
5.关于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0,当k______时,是一元二次方程.,当k_______时,是一元一次方程.
6.当m=_________时,方程
是关于x的一元二次方程。
四、课堂小结:
ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)
其中ax2,bx,c分别为二次项,一次项及常数项
五、作业:
基础题:
课本32页随堂练习1、2,知识技能2
提高题:
课本32页知识技能1
板书设计:
一元二次方程
(1)
一元二次方程的一般形式:
教学反思:
一元二次方程
(2)
1、探索一元二次方程的解或近似解;
2.提高估算意识和能力;
3.通过探索方程的解,增进对方解的认识,发展估算意识和能力。
探索一元二次方程的解或近似解
估算意识和能力的培养.
1.什么叫一元二次方程它的一般形式是什么
2.指出下列方程的二次项系数,一次项系数及常数项。
(1)2x2―x+1=0
(2)―x2+1=0(3x2―x=0
(4)―
x2=0(5)(8-2x)(5-2x)=18
1、P31花边问题中方程的一般形式:
________________________,你能求出x吗?
(1)x可能小于0吗?
说说你的理由;
(2)x可能大于4吗?
可能大于吗为什么
(3)完成下表
x
1
2
(8-2x)(5-2x)
(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗还有其他求解方法吗与同伴交流
2、合作探究
通过估算求近似解的方法:
先根据实际问题确定其解的大致范围,再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”,逐步求得近似解。
三、例题解析
例题1:
P31梯子问题
梯子底端滑动的距离x(m)满足(x+6)2+72=102
一般形式:
______________________
(1)你认为底端也滑动了1米吗为什么
(2)底端滑动的距离可能是2m吗?
可能是3m吗?
(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
x的整数部分是几?
(4)填表计算:
x2+12x―15
进一步计算
十分位是几?
照此思路可以估算出x的百分位和千分位。
四、当堂训练:
1、见课本P34页随堂练习
2.一元二次方程
有两个解为1和-1,则有
____________,且有
________.
3.若关于x的方程
有一个根为-1,则m=_____________.
4.用平方根的意义求下列一元二次方程的准确解:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
5、用直接开平方法解下列一元二次方程:
(2)
五、课堂小结:
本节课我们通过解决实际问题,探索了一元二次方程的解或近似解,并了解了近似计算的重要思想——“夹逼”思想.估计方程的近似解可用列表法求,估算的精度不要求很高
六、作业
35页知识技能1
1.完成基础题;
2.课本35页知识技能2,数学理解3
一元二次方程
(2)
求一元二次方程近似解,首先列表,利用未知数的取值,根据一元二次方程
的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)找到使方程左边可能等于0的未知数的取值范围,再进一步在这个范围缩小未知数的取值范围,根据需要,估算出一元二次方程的近似解。
用配方法求解一元二次方程
(1)
1.会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;
2.理解一元二次方程的解法——配方法.
3.把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2=n(n≥0)的形式,体会转化的数学思想。
会利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2=n(n≥0)的形式
1.用直接开平方法解下列方程:
(1)x2=9
(2)(x+2)2=16
2.什么是完全平方公式?
利用公式计算:
(1)(x+6)2
(2)(x-
)2
注意:
它们的常数项等于______________________________。
1、自主学习
预习课本36-37页,解方程:
x2+12x-15=0(配方法)
解:
移项,得:
________________
配方,得:
__________________.(两边同时加上__________的平方)
即:
_____________________
开平方,得:
所以:
_________________________
配方法:
通过配成_____________的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。
配方:
填上适当的数,使下列等式成立:
(1)x2+12x+_____=(x+6)2
(2)x2―4x+______=(x―____)2
(3)x2+8x+______=(x+_____)2
从上可知:
常数项配上______________________________.
例1.解方程:
x
十8x一9=0.
可以把常数项移到方程的右边,得x
十8x=9
两边都加42(一次项系数8的一半的平方),得
十8x+42=9+42
即(X+4)2=25
两边开平方,得X+4=±
5
即X+4=5,或X+4=-5
所以X1=1,X2=-9
四、当堂训练
1.一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程,配方后的方程为()
A.(x-1)2=m2+1B.(x-1)2=m-1C.(x-1)2=1-mD.(x-1)2=m+1
2.用配方法解下列方程:
(1)x
一l0x十25=7;
(2)
(3)x
+3x=1;
(4)x
+2x十2=8x+4;
【拓展延伸】
1.关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是()
A.有两个解x=±
B.两个解x=±
-m
C.当n≥0时,有两个解x=±
D.当n≤0时,方程无实根
怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程?
六、作业:
1.习题第题.
2.习题第题.
用配方法求解一元二次方程
(1)
用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤:
1.移项,把方程的常数项移到方程的右边,使方程的左边只含二次项和一次项;
2.配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方,把原方程化为(x+m)2=n(n≥0)的形式;
3.用直接开平方法求出它的解.
用配方法求解一元二次方程
(2)
1.会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.
2.进一步理解配方法的解题思路,掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤.
会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.
理解配方法的解题思路
1.用配方法解方程
(1)x2+4x+3=0
(2)x2-2x=1
例2:
解方程:
3x2+8x―3=0
两边都除以____,得:
(方程两边都加上________________的平方)
所以:
归纳:
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.把二次项系数化为1
2.移项,方程的左边只含二次项和一次项,右边为常数项;
3.配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方;
3.用直接开平方法求出方程的根.
1.用配方法解下列方程时,配方错误的是().
A.
,化为
B.
,化为
C.
D.
(1)3x2-9x+2=0
(2)
(3)4x2-8x-3=0
一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:
h=15t―5t2。
小球何时能达到10m高?
2.习题第3题.
用配方法求解一元二次方程
(2)
用配方法解一元二次方程的步骤:
用公式法求解一元二次方程
(1)
1.知道一元二次方程的求根公式的推导;
2.会用公式法解简单数字系数的一元二次方程.
3.认识根的判别式,会用根的判别式判别一元二次方程根的情况并能解答相关题型.
学会用公式法解一元二次方程.
用配方法推到一元二次方程求根公式的过程.
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些?
2、把下列方程化成(x+m)2=n的形式:
(1)x2-8x+3=0
(2)
x2-3x-5=0
3、请结合一元二次方程的一般形式,说出上述方程中的a、b、c的值分别是多少?
认真阅读P41~42页例题之前内容:
(1)、一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是x=
当b2-4ac<
0时,一元二次方程无实数根。
(2)、公式法:
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
(1)你能解一元二次方程x2-2x+3=0吗你是怎么想的
(2)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac<0时,它的根的情况是怎样的?
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),
①当b2-4ac____0时,方程有两个不相等的实数根;
②当b2-4ac_____0时,方程有两个相等的实数根;
③当b2-4ac______0时,方程无实数根。
由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac来判定.我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“△”来表示。
(1)x2-7x―8=0
(2)4x2+1=4x
(2)将原方程化为一般形式,得:
4x2-4x+1=0
这里a=4,b=-4,c=1.
∵b2-4ac=(-4)2-4×
4×
1=0
∴x=
=
即X1=X2=
1.不解方程,判断下列方程的根的情况:
(1)2x2+5=7x
(2)3x2+2x+1=0
(3)4x(x+1)+3=0(4)4(y2+=
2.用公式法解下列方程:
(1)2x2-9x+8=0
(2)9x2+6x+1=0
(3)16x2+8x=3(4)x(x-3)+5=0
用公式法解一元二次方程的步骤:
1.化成一般形式;
2.确定a,b,c的数值;
3.求出b2-4ac的数值,并判别其是否是非负数;
4.若b2-4ac≥0,用求根公式求出方程的根;
若b2-4ac<
0,直接写出原方程无解,不要代入求根公式。
1.习题第1、2题.
2.习题第3、4题.
用公式法求解一元二次方程
一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是x=
用公式法求解一元二次方程
(2)
1.会根据具体情境构建一元二次方程解决实际问题,体会方程模型思想.
2.进一步熟练求解一元二次方程.
3.会解决简单的开放性问题,即如何设计方案问题
会根据具体情境构建一元二次方程,并能熟练求解,从而解决实际问题,体会方程模型思想.
会解决简单的开放性问题,即如何设计方案问题.
1、用配方法解方程:
2、用公式法解方程:
(1)2x2-9x+8=0
(2)16x2+8x=3
二、合作探究:
1.在一块长为16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半,你能给出设计方案吗?
小明:
我的设计方案如右图所示,其中
花园四周小路的宽度相等。
(1)设花园四周小路的宽度均为xm,可列怎样
的一元二次方程?
(2)求出一元二次方程的解?
(3)这两个解都合要求吗为什么
2.小亮:
我的设计方案如图所示,其中花园每个角上
的扇形都相同。
你能帮小亮求出图中的x吗?
(1)设花园四角的扇形半径均为xm,可列
怎样的一元二次方程?
(2)估算一元二次方程的解是什么(
∏取3)
(3)符合条件的解是多少?
3、你还有其他设计方案吗?
请设计出来与同伴交流。
三、课堂练习
1、课本44页随堂练习1,对于本课花园设计问题,小颖的方法如图所示,你能帮她求出图中的x吗
2、课本p45第2题。
1、本节内容的设计方案不只一种,只要符合条件即可。
2、一元二次方程的解一般有________个,要根据_________舍去不合题意的解。
1.习题第1、3题.
2.习题第4题.
用因式分解法求解一元二次方程
会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程,通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程,体会转化思想。
正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程.
正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程.
1、如何对一个多项式进行因式分解有哪些方法?
2、如果两个数a、b,且满足ab=0,你能得到哪些结论?
认真阅读P46~47页内容:
⑴、分解因式法:
利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。
⑵、因式分解法的理论根据是:
如果ab=0,则a=0或b=0。
⑶、自学例1,注意看清楚每一步是如何变形的其目的是什么
(1)你能例题中的思路解一元二次方程x2-4=0吗你是怎么想的
(2)对于一元二次方程(x+1)2-25=0可以怎样求解?
例.用因式分解法解下列方程:
(1)(x+2)(x+4)=0
(2)4x(2x+1)=3(2x+1)
(3)5(x2-x)=3(x2+x)
(2):
原方程可变形为
4x(2x+1)-3(2x+1)=0
(2x+1)(4x-3)=0
2x-1=0,或4x-3=0
∴X1=
X2=
(3):
5x2-5x=3x2+3x
5x2-3x2-5x-3x=0
2x2-8x=0
2x(x-4)=0
2x=0,或x-4=0
∴X1=0,X2=4
1.用因式分解法解下列方程:
(1)(4x-1)(5x-7)=0
(2)3x(x-1)=2-2x
(3)(2x+3)2=4(2x+3)(4)2(x-3)2=x2-9
2.用因式分解法解下列方程:
(1)(x-2)2=(2x+3)2
(2)(x-2)(x+3)=12
(3)2x+6=(x+3)2
3.一个数的平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数。
1、分解因式法:
2、用因式分解法的基本思想是:
把方程化为ab=0的形式,如果ab=0那么a=0或b=0。
3、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是:
(1)通过移项,将方程右边化为零:
(2)将方程左边分解成两个一次因式之积;
(3)分别令每个因式都等于零,得到两个一元一次方程,
(4)分别解这两个一元一次方程,求得方程的解
1.习题第2题(3)、(4)、(5)题.
1.用因式分解法的基本思想是:
2.用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是:
一元二次方程的根与系数的关系
1.知道一元二次方程根与系数关系的推导过程.
2.理解一元二次方程根与系数的关系.
3.能用两根确定一元二次方程的系数.
4.能用根与系数的关系已知一根,不解方程确定另一根。
一元二次方程根与系数关系.
一元二次方程根与系数关系的应用.
通过前面的学习我们发现,一元二次方程的根完全由它的系数来决定。
求根公式就是根与系数关系的一种形式。
除此之外,一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢?
今天我们就来一起学习:
一元二次方程的根与系数的关系
1、解下列方程:
(1)x2-2x+1=0
(2)x2+2
x-1=0
(3)x2+7x+6=0(4)2x2-3x+1=0
2、根据解方程求出的两个解
,计算两个解的和与积,完成下表:
方程
x2-2x+1=0
x2+2
x2+7x+6=0
2x2-3x+1=0
3、观察表格中方程的两个解的和、两个解的乘积,与原方程中的系数之间的关系有什么规律?
写出你的结论。
4、对于任何一个二元一次方程,这种关系都成立吗?
请认真自学P49一元二次方程根与系数关系的推导过程部分内容。
例1.利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积.
(1)x2+7x+6=0
(2)2x2-3x-2=0
(1):
这里a=1,b=7,c=6.
△=b2-4ac=72-4×
1×
6
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- 北师大 九年级 上册 第二 一元 二次方程 教案 完整版