小学四五年级勾股定理练习题Word文档格式.docx
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⑴a=,b=,c=;
⑵a=5,b=7,c=9;
⑶a=2,b=,c=;
⑷a=5,b=,c=1.
⑴是,∠B;
⑵不是;
⑶是,∠C;
⑷是,∠A.
叙述下列命题的逆命题,并判断逆命题是否正确.
⑴如果a3>0,那么a2>0;
⑵如果三角形有一个角小于90°
,那么这个三角形是锐角三角形;
⑶如果两个三角形全等,那么它们的对应角相等;
⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等.
⑴如果a2>0,那么a3>0;
假命题.
⑵如果三角形是锐角三角形,那么有一个角是锐角;
真命题.
⑶如果两个三角形的对应角相等,那么这两个三角形全等;
⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称;
1、填空题.
⑴任何一个命题都有
,但任何一个定理未必都有
.
⑵“两直线平行,错角相等.”的逆定理是
⑶在△ABC中,若a2=b2-c2,则△ABC是
三角形,
是直角;
若a2<b2-c2,则∠B是
⑷若在△ABC中,a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,则△ABC是
三角形.
⑴逆命题,逆定理;
⑵错角相等,两直线平行;
⑶直角,∠B,钝角;
⑷直角.
⑸小强在操场上向东走80m后,又走了60m,再走100m回到原地.小强在操场上向东走了80m后,又走60m的方向是
向正南或正北.
2、若三角形的三边是
⑴1、、2;
⑵;
⑶32,42,52
⑷9,40,41;
⑸(m+n)2-1,2(m+n),(m+n)2+1;
则构成的是直角三角形的有(
A.2个
B.3个 C.4个 D.5个
B
8.若△ABC的三边a、b、c,满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是(
A.等腰三角形;
B.直角三角形;
C.等腰三角形或直角三角形;
D.等腰直角三角形.
C
1.如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a,那么a的取值可以有(
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
说明:
①若a为斜边长,则由勾股定理有22+42=a2,可得a=2;
②若a为直角边长,则由勾股定理有22+a2=42,可得a=2,所以a的取值可以有2个,答案为C.
2.小明搬来一架2.5米长的木梯,准备把拉花挂在2.4米高的墙上,则梯脚与墙脚的距离为(
)米
A.0.7
B.0.8
C.0.9
D.1.0
A
因为墙与地面的夹角可看作是直角,所以利用勾股定理,可得出梯脚与墙脚的距离为===0.7,答案为A.
3.一个直角三角形的斜边长比直角边长大2,另一直角边长为6,则斜边长为(
A.6
B.8
C.10
D.12
设直角边长为x,则斜边为x+2,由勾股定理得x2+62=(x+2)2,解之得x=8,所以斜边长为8+2=10,答案为C.
选择题(12×
3′=36′)
1.已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )
A、25
B、14
C、7
D、7或25
2.下列各组数中,以a,b,c为边的三角形不是Rt△的是( )
A、a=1.5,b=2,c=3
B、a=7,b=24,c=25
C、a=6,b=8,c=10
D、a=3,b=4,c=5
3.若线段a,b,c组成Rt△,则它们的比为( )
A、2∶3∶4
B、3∶4∶6
C、5∶12∶13
D、4∶6∶7
4.Rt△一直角边的长为11,另两边为自然数,则Rt△的周长为( )
A、121
B、120
C、132
D、不能确定
5.如果Rt△两直角边的比为5∶12,则斜边上的高与斜边的比为( )
A、60∶13
B、5∶12
C、12∶13
D、60∶169
6.如果Rt△的两直角边长分别为n2-1,2n(n>
1),那么它的斜边长是( )
A、2n
B、n+1
C、n2-1
D、n2+1
7.已知Rt△ABC中,∠C=90°
,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )
A、24cm2
B、36cm2
C、48cm2
D、60cm2
8.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为( )
A、56
B、48
C、40
D、32
9.三角形的三边长为(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是(
A.等边三角形;
B.钝角三角形;
C.直角三角形;
D.锐角三角形.
10.某市在旧城改造中,计划在市一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要( )
A、450a元
B、225a元
C、150a元
D、300a元
1.已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为( )
A、6cm2
B、8cm2
C、10cm2
D、2cm2
2.已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距( )
A、25海里
B、30海里
C、35海里
D、40海里
1.在Rt△ABC中,∠C=90°
,①若a=5,b=12,则c=___________;
②若a=15,c=25,则b=___________;
③若c=61,b=60,则a=__________;
④若a∶b=3∶4,c=10则SRt△ABC=________。
2.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为__________。
3.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是________m。
4.已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为(
)cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
5.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°
,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D、E、F分别是垂足,且BC=8cm,CA=6cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于(
)cm
1.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2。
2.在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。
另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高_________________________米。
1.小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池,已知其面积为48m2,其对角线长为10m,为建栅栏,要计算这个矩形鱼池的周长,你能帮助小明算一算吗?
2.如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处?
1.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度。
2.已知,如图,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,且∠A=90°
,求四边形ABCD的面积。
1.已知,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠1=∠2,CD=1.5,BD=2.5,求AC的长.
2.如图,在边长为c的正方形中,有四个斜边为c的全等直角三角形,已知其直角边长为a,b.利用这个图试说明勾股定理?
3.已知,△ABC中,AB=17cm,BC=16cm,BC边上的中线AD=15cm,试说明△ABC是等腰三角形。
4.如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上任意一点,请用学过的知识说明:
AB2-AP2=PB×
PC。
如图16-2,把四边形ABCD的各边都延长2倍,得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米,则EFGH的面积是多少平方厘米?
有四边形EFGH的面积为△EAH,△FCG,△EFB,△DHG,ABCD的面积和,即为30+30+5=65平方厘米.
如图12,正方形的边长为10cm,AB=2cm,CD=3cm,求阴影部分的面积。
解答:
平行两条线,做平行线。
可知外侧形成四个旋转地小长方形,除去中间的长方形后阴影部分等分。
所以(10×
10-2×
3)÷
2+2×
3=53(平方厘米)
关于完全平方数(已增升级题)
(一)完全平方数的性质
一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数。
例如:
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质:
性质1:
完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2:
奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数。
性质3:
如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;
反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数。
推论1:
如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那么这个数一定不是完全平方数。
推论2:
如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数。
性质4:
偶数的平方是4的倍数;
奇数的平方是4的倍数加1。
性质5:
奇数的平方是8n+1型;
偶数的平方为8n或8n+4型。
性质6:
平方数的形式必为下列两种之一:
3k,3k+1。
性质7:
不能被5整除的数的平方为5k±
1型,能被5整除的数的平方为5k型。
性质8:
平方数的形式具有下列形式之一:
16m,16m+1,16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数,十位数和余数的性质之外,还可研究完全平方数各位数字之和。
例如,256它的各位数字相加为2+5+6=13,13叫做256的各位数字和。
如果再把13的各位数字相加:
1+3=4,4也可以叫做256的各位数字的和。
下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加,如果得到的数字之和不是一位数,就把所得的数字再相加,直到成为一位数为止。
我们可以得到下面的命题:
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
关于完全平方数的数字和有下面的性质:
性质9:
完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
除了以上几条性质以外,还有下列重要性质:
性质10:
a^2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
性质11:
如果质数p能整除a,但p^2不能整除a,则a不是完全平方数。
性质12:
在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数,即若
n^2<
k<
(n+1)^2,则k一定不是完全平方数。
性质13:
一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。
(二)重要结论
1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数;
2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数;
3.个位数是6,十位数是偶数的整数一定不是完全平方数;
4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数;
5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数;
6.形如5n±
2型的整数一定不是完全平方数;
7.形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数;
8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
(三)例
[例1]:
一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。
解:
设此自然数为x,依题意可得
x-45=m^2................
(1)
x+44=n^2................
(2)(m,n为自然数)
(2)-
(1)可得 n^2-m^2=89,(n+m)(n-m)=89
但89为质数,它的正因子只能是1与89,于是。
解之,得n=45。
代入
(2)得。
故所求的自然数是1981。
[例2]:
求证:
四个连续的整数的积加上1,等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。
分析 设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3),其中n为整数。
欲证
n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方,只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明 设这四个整数之积加上1为m,则
m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2
而n(n+1)是两个连续整数的积,所以是偶数;
又因为2n+1是奇数,因而n(n+1)+2n+1是奇数。
这就证明了m是一个奇数的平方。
[例3]:
11,111,1111,......,111...1(n个1)这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。
分析 形如111...1(n个1)的数若是完全平方数,必是末位为1或9的数的平方,即
111...1(n个1)=(10a+1)^2 或 111...1(n个1)=(10a+9)^2
在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明 若111...1(n个1)=(10a+1)^2=100a^2+20a+1,则
111...10=100a^2+20a,111...1(n-1个1)=10a^2+2a
因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等。
若111...1(n个1)=(10a+9)^2,同理。
综上所述,不可能是完全平方数。
另证 由为奇数知,若它为完全平方数,则只能是奇数的平方。
但已证过,奇数的平方其十位数字必是偶数,而十位上的数字为1,所以不是完全平方数。
[例4]:
试证数列49,4489,444889,......444...4888...89(n个4,n-1个8)的每一项都是完全平方数。
证明(略)
[例5]:
用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数?
设由300个2和若干个0组成的数为A,则其数字和为600
3?
600 ∴3?
此数有3的因子,故9?
A。
但9?
600,∴矛盾。
故不可能有完全平方数。
[例6]:
试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。
设此数为aabb,则:
aabb=a0b*11
此数为完全平方,则必须是11的倍数。
因此11?
a+b,而a,b为0,1,2,9,故共有(2,9),(3,8),(4,7),(9,2)等8组可能。
直接验算,可知此数为7744=88。
[例7]:
求满足下列条件的所有自然数:
(1)它是四位数。
(2)被22除余数为5。
(3)它是完全平方数。
设22n+5=N^2,其中n,N为自然数,可知N为奇数。
N^2-16=11(2n-1),(N+4)(N-4)=11(2n-1)
11?
N-4或11?
N+4
N=(2k-1)*11+4,N=22k-5或N=22k-15(k=1,2,......)
经试数可知,此自然数为1369,2601,3481,5329,6561,9025。
[例8]:
甲、乙两人合养了n头羊,而每头羊的卖价又恰为n元,全部卖完后,两人分钱方法如下:
先由甲拿十元,再由乙拿十元,如此轮流,拿到最后,剩下不足十元,轮到乙拿去。
为了平均分配,甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)?
n头羊的总价为n^2元,由题意知n^2元中含有奇数个10元,即完全平方数n^2的十位数字是奇数。
如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6。
所以,n^2的末位数字为6,即乙最后拿的是6元,从而为平均分配,甲应补给乙2元。
[例9]:
矩形四边的长度都是小于10的整数(单位:
公分),这四个长度数可构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这四位数是一个完全平方数,求这个矩形的面积(1986年杯初二数学竞赛题)。
设矩形的边长为x,y,则四位数
N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)
∵N是完全平方数,11为质数 ∴x+y能被11整除。
又由分析可得x+y=11。
∴N=11^2*(9x+1)∴9x+1是一个完全平方数,验算知x=7满足条件。
又由x+y=11得y=4。
∴S=xy=28cm^2.
(四)讨论题
1.(1986年第27届IMO试题)
设正整数d不等于2,5,13,求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a,b,使得ab-1不是完全平方数。
2.求k的最大值,使得3^7可以表示为k个连续正整数之和.
1、已知数x=
50,则(
)。
A、x是完全平方数
B、(x-50)是完全平方数
C、(x-25)是完全平方数
D、(x+50)是完全平方数
2、在十进制中,各位数字全由奇数组成的完全平方数共有(
)个。
A、0
B、2
C、超过2,但有限
3、试证数列49,4489,444889,的每一项都是完全平方数。
4、用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数?
5、试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。
3、试证数列49,4489,444889,的每一项都是完全平方数。
证明
=
=++1
=4+8+1
=4()(9+1)+8+1
=36()+12+1
=(6+1)
即为完全平方数。
3|600∴3|A
此数有3的因数,故9|A。
但9|600,∴矛盾。
设此数为
因此11|a+b,而a,b为0,1,2,9,故共有(2,9),(3,8),(4,7),(9,2)等8组可能。
1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。
2、求证:
3、求证:
11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。
4、求满足下列条件的所有自然数:
5、甲、乙两人合养了n头羊,而每头羊的卖价又恰为n元,全部卖完后,两人分钱方法如下:
x-45=m^2;
(1)
x+44=n^2
(2)
(m,n为自然数)
(2)-
(1)可得:
n^2-m^2=89或:
(n-m)(n+m)=89
因为n+m>
n-m
又因为89为质数,
所以:
n+m=89;
n-m=1
解之,得n=45。
分析设四个连续的整数为,其中n为整数。
是一奇数的平方,
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- 小学 四五 年级 勾股定理 练习题