完整版正弦定理和余弦定理知识点总结学案附答案docxWord格式文档下载.docx
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数.
【变式探究】
范围是()
A.x>2
(1)已知在△
ABC中,a=x,b=2,B=45°
,若三角形有两解,则
B.x<2
x的取值
C.2<x<22D.2<x<2
(2)在△ABC中,A=60°
,AC=2,BC=
3
3,则
AB=________.
(1)C
(2)1
(1)若三角形有两解,则必有
a>b,∴x>2,
ax2
又由sinA=bsinB=2×
2<1,
可得x<22,
∴x的取值范围是2<x<22.
(2)∵A=60°
,AC=2,BC=3,
设AB=x,由余弦定理,得
BC2=AC2+AB2-2AC·
ABcosA,
化简得x2-2x+1=0,
∴x=1,即AB=1.
高频考点二和三角形面积有关的问题
例2、(2015·
浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是
a,b,c,已知A=,b2
4
1
-a2=c2.
(1)求tanC的值;
(2)若△ABC的面积为
3,求b的值.
解
(1)由b2-a2=2c2及正弦定理得
11
sin2B-2=2sin2C.
所以-cos2B=sin2C.①
又由A=,即B+C=π,得
-cos2B=-cos24π-C
=-cos2π-2C
=sin2C=2sinCcosC,②由①②解得tanC=2.
【感悟提升】
111
(1)对于面积公式S=2absinC=2acsinB=2bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公
式.
(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
【变式探究】四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.
(1)求C和BD;
(2)求四边形ABCD的面积.
解
(1)由题设A与C互补及余弦定理得
BD2=BC2+CD2-2BC·
CDcosC=13-12cosC,①
BD2=AB2+DA2-2AB·
DAcosA=5+4cosC.②
由①②得cosC=,BD=7,
因为C为三角形内角,故C=60°
(2)四边形ABCD的面积
S=2AB·
DAsinA+2BC·
CDsinC
11
=×
1×
2+×
3×
2sin60°
22
=23.
高频考点三
正弦、余弦定理的简单应用
例3、
(1)在△ABC中,角
A,B,C所对的边分别为
c
a,b,c,若b<
cosA,则△ABC为(
)
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
B
=
a+c
(2)在△ABC中,cos2
2c
(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()
A.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
答案
(1)A
(2)B
【举一反三】(2015·
课标全国Ⅱ)如图,在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.
sinB
(1)求sinC;
2,求BD和AC的长.
(2)若AD=1,DC=2
解
(1)S△ABD=AB·
ADsin∠BAD,
S△ADC=2AC·
ADsin∠CAD.
因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,
所以AB=2AC.
sinBAC1
由正弦定理可得sinC=AB=2.
(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2.
在△ABD和△ADC中,由余弦定理,知
AB2=AD2+BD2-2AD·
BDcos∠ADB,
AC2=AD2+DC2-2AD·
DCcos∠ADC.
故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6,由
(1)知AB=2AC,所以AC=1.
【感悟提升】
(1)判断三角形形状的方法
①化边:
通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
②化角:
通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应
用A+B+C=π这个结论.
(2)求解几何计算问题要注意
①根据已知的边角画出图形并在图中标示;
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.
(1)在△ABC中,内角
A,B,C所对的边长分别是
a,b,c,若
c-acosB=
(2a-b)cosA,则△
ABC的形状为
(
A.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
(2)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=3,AB=32,AD
=3,则BD的长为______.
答案
(1)D
(2)3
(2)sin∠BAC=sin(2+∠BAD)=cos∠BAD,
∴cos∠BAD=3.
BD2=AB2+AD2-2AB·
ADcos∠BAD
=(32)2+32-2×
32×
3×
,3
即BD2=3,BD=3.
1.已知△ABC中,内角A,B,C所对边分别为
a,b,c,若A=3,b=2acosB,c=1,
则△ABC的面积等于()
B.3
A.2
C.6
D.8
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,若C=2B,则b为(
A.2sinCB.2cosB
C.2sinBD.2cosC
解析:
由于C=2B,故sinC=sin2B=2sinBcosB,所以sinC=2cosB,由正弦定理可得
=sinC
b
=2cosB,故选B。
答案:
B
3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为
c-b=
sinA
,则B=()
a,b,c,且c-a
sinC+sinB
A.6
B.4
3π
C.3
D.4
由sinA=a,sinB=b,sinC=c,代入整理得:
a
?
c2-b2=ac-a2,
2R
c-a
c+b
所以a2+c2-b2=ac,即cosB=2,所以B=3。
C
1,则A=(
4.在△ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lgb-lgb+c
A.90°
B.60°
C.120°
D.150°
2sin2B-sin2A
的
5.在△ABC中,内角
A,B,C所对的边分别是
a,b,c.若3a=2b,则
sin2A
值为(
A.-9
B.3
7
C.1
D.2
2sin2B-sin2AsinB
由正弦定理可得
=2sinA
2-1=2a2-1,因为3a=2b
,所以a=
,
所以
=2×
22-1=
2。
D
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为
a,b,c,且满足csinA=3acosC,则
sinA+sinB的最大值是(
A.1
B.2
C.3
D.3
由csinA=
3acosC,所以sinCsinA=
3sinAcosC,即sinC=
3cosC,所以tanC=
3,
2π
C=3,A=
3-B,所以sinA+sinB=sin
3-B+sinB=
3sinB+6
π5π
∵0<B<3,∴
6<B+
6<6,
ππ
∴当B+6=2,
即B=
3时,sinA+sinB的最大值为
3.故选C。
7.在△ABC中,若A=
B=
BC=3√2,则AC=(
√3
B.√3
C.2√3
D.4√5
A.
【答案】C。
BC
AC
【解析】由正弦定理可得
:
=
BC·
sinB3
√2×
sinπ4
即有AC=
sin
π=2√3
sinA=
8.在△ABC中,若a2+b2<
c2,则△ABC的形状是
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
【答案】C
【解析】由余弦定理:
a2+b2-2abcosC=c2,
因为a2+b2<
c2,所以2abcosC<
0,
所以C为钝角,△ABC是钝角三角形.
9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为
c-b
则B=()
a,b,c,且
c-a
sinC+sinB
B.
C.
D.
6
【答案】C.
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°
c=√2a,则()
A.a>
B.a<
C.a=b
D.a与b的大小关系不能确定
【答案】A
【解析】由余弦定理得
2a
=a+b-2abcos120
°
+ab,b-a=0,
-1+
5
即(
+
-1=0,
√
<
1,故b<
a.
11.在△ABC中,a=15,b=10,A=60
则°
cosB=
15
10
所以sinB=
再由b<
a,可得B为锐角,
√1-
√6
B=
所以cosB=
答案:
12.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=√3sinAsinC,则
【解析】在△ABC中,因为sin2A+sin2C-sin2B=√3sinAsinC,
所以利用正弦定理得:
a2+c2-b2=√3ac,
a2+c2-b
2√3
所以B=.
2ac
13.△ABC中,点D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.
(1)求.
sinC
(2)若∠BAC=60°
求B.
【解析】
(1)如图,由正弦定理得:
AD
BD
DC
sinBsin
=
∠BADsinCsin
∠CAD
因为AD平分∠BAC,BD=2DC,
sinBDC1
所以==.
sinCBD2
(2)因为C=180°
-(∠BAC+B),∠BAC=60°
所以sinC=sin(∠BAC+B)
cosB+sinB,
由
(1)知2sinB=sinC,所以tanB=
即B=30°
14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为
a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.
(1)求cosB的值.
→→
(2)若BA·
BC=2,且b=2√2,求a和c的值.
【解析】
(1)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB,
故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,
即sin(B+C)=3sinAcosB,
可得sinA=3sinAcosB.又sinA≠0,
因此cosB=.
(2)由BA·
BC=2,可得accosB=2,
又cosB=,故ac=6,3
由b2=a2+c2-2accosB,可得a2+c2=12,
所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=√6.
15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点(a,b)在直线x(sinA-sinB)+ysinB=csinC上.
(1)求角C的值.
A
(2)若2cos2
-2sin2
且A<
B,求.
(2)因为2cos2A-2sin2B=1+cosA-1+
A)
cosB=cosA+cos(
-
cosA+sinA=sin(A+
)=
因为A+B=
B,
所以0<
A<
即A+
A+
所以A=,B=,C=,
则c=sinC=21=√3.asinA
16.如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=√7.
(1)求cos∠CAD的值.
√7√21
(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.
146
于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)
=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD
3√212√7
=×
-(-
×
=.
14
在△ABC中,由正弦定理得,
sinαsin∠CBA
√7×
AC·
sinα
=3.
故BC=
√21
sin∠CBA
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