高中数学人教B版必修二123《空间中的垂直关系》平面与平面垂直word学案文档格式.docx
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知识点一 面面垂直的证明
例1
如图所示,四边形ABCD是平行四边形,直线SC⊥平面ABCD,E是SA的中点.
求证:
平面EDB⊥平面ABCD.
点评 将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键,另外利用面面垂直的定义求二面角的平面角是90°
(如例1).
变式训练1
如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=BC,CD=DA,E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点.
平面BEF⊥平面BGD.
知识点二 面面垂直的性质定理的应用
例2
如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是∠DAB=60°
且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点,求证:
BG⊥平面PAD;
(2)求证:
AD⊥PB.
点评 证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,再一种方法是利用面面垂直的性质定理,本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:
(1)两个平面垂直;
(2)直线必须在其中一个平面内;
(3)直线必须垂直于它们的交线.
变式训练2 如图所示,四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形,∠BCD=120°
,平面PCD⊥平面ABCD,PC=a,PD=
a,E为PA的中点.求证:
知识点三 线线、线面、面面垂直的综合应用
例3
如图所示,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.
(1)求证:
PA⊥平面ABC;
(2)当E为△PBC的垂心时,求证:
△ABC是直角三角形.
点评 证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面,有时需考虑多种情况的综合.
在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样就把面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线线垂直.
变式训练3 在直三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中,AB=BC.能否在侧棱BB1上找到一点E,使得截面A1EC⊥侧面AA1C1C?
若能找到,指出点E的位置;
若不能找到,说明理由.
1.面面垂直的证法
(1)定义法;
(2)判定定理法.
2.面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理.至此判定线面垂直的方法主要有以下五种:
(1)线面垂直的定义;
(2)线面垂直的判定定理;
(3)面面垂直的性质定理;
(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面,
b⊥α.
(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面,
a⊥β.
课时作业
一、选择题
1.平面α⊥平面β,直线a∥α,则( )
A.a⊥βB.a∥β
C.a与β相交D.以上都有可能
2.若平面α与平面β不垂直,那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )
A.0条B.1条C.2条D.无数条
3.已知m、n为不重合的直线,α、β、γ为不重合的平面,则下列命题中正确的是( )
A.m⊥α,nβ,m⊥nα⊥β
B.α⊥γ,β⊥γα∥β
C.α∥β,m⊥α,n∥βm⊥n
D.α⊥β,α∩β=m,n⊥mn⊥β
4.
如图所示,ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,则在平面PAB、平面PAD、平面PCD、平面PBC及平面ABCD中,互相垂直的有( )
A.3对B.4对C.5对D.6对
5.
如图所示,在立体图形D—ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
题 号
1
2
3
4
5
答 案
二、填空题
6.已知m、l是直线,α、β是平面,给出下列命题:
①若l垂直于α内两条相交直线,则l⊥α;
②mα,lβ,且l⊥m,则α⊥β;
③若lβ,且l⊥α,则α⊥β;
④若mα,lβ,且α∥β,则l∥m.
其中正确的命题的序号是________.
7.空间四边形VABC的各边及对角线均为1,M是VB的中点,则平面ACM与平面VAB的位置关系是________.
8.
如图所示,已知,PA垂直于圆O所在平面.AB是圆O的直径,C是圆周上一点.则图中面面垂直的共有________对.
三、解答题
9.在三棱锥P—ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求证:
BC⊥AB.
10.
如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA.
【答案解析】
自学导引
1.垂直 垂直
2.一条垂线
3.交线
证明 连接AC,设AC、BD交点为F,连接EF,
∴EF是△SAC的中位线,
∴EF∥SC.
∵SC⊥平面ABCD,
∴EF⊥平面ABCD.
又EF平面EDB,
∴平面EDB⊥平面ABCD.
变式训练1 证明 ∵AB=BC,CD=AD,G是AC的中点,∴BG⊥AC,DG⊥AC,
∴AC⊥平面BGD.
又EF∥AC,∴EF⊥平面BGD.
∵EF平面BEF,∴平面BDG⊥平面BEF.
证明
(1)连接PG,由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点,∴PG⊥AD.
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