运用元认知解题策略加强数学解题能力文档格式.docx
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三角形全等
中图分类号:
G633文献标识码:
A文章编号:
1005-6351(2013)-07-0064-02
笔者对初中数学几何中的三角形全等习题方面进行思维策略训练。
总结出解题的三个阶段(八条策略)。
一、在解题之前,全面,仔细,深入地分析理解题意
策略1:
全面地分析题意,看清楚题目中的已知条件和未知条件,特别要注意发现隐含条件。
策略2:
仔细地分析题意,将已知和未知条件逐一与学过的知识联系起来,必要时画出图帮助理解。
策略3:
深入地理解题意,找出解题的关键,凭直觉判断解题的思路,并选择最优的思路。
已知:
如图1,直线AC与BD交于点O,AO=CO,BO=DO.
求证:
AB∥CD.
已知条件:
(1)直线AC与BD交于点O;
(2)AO=CO,BO=DO。
隐含条件:
两直线相交,对顶角相等。
有关知识:
(1)运用三角形全等的判定,得出相应的两个三角形全等;
(2)运用三角形全等的性质,得出某对对应角相等;
(3)内错角相等两直线平行。
分析:
已知中给的条件,初看跟求证的两条直线平行,没有任何的联系。
但是,条件中可推得角相等,而角相等又可推得直线平行。
于是根据已知条件和隐含条件,可以由SAS,推出⊿AOB与⊿COD全等。
但是推得全等又有什么用处呢?
可得出对应边相等,对应角相等。
对应边相等在这题中是多余结论,对应角相等才是我们要的结论。
可选择其中一对角,比如:
∠A=∠C,根据内错角相等,得到两直线平行。
思路1:
∵AO=CO(已知),
BO=DO(已知),
∠AOB=∠COD(对顶角相等),
∴⊿AOB≌⊿COD(SAS).
∴∠A=∠C(全等三角形对应角相等).
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
思路2:
∵直线AC与BD交于点O,
∴∠AOB=∠COD(对顶角相等).
(其余同上)
最优思路:
思路2。
只有保证AC与BD都是直线,才有结论对顶角:
∠AOB=∠COD。
在考虑思路时,多跟同学进行沟通,如果条件和结论没法联系起来,可以尽可能多想几条思路,然后凭直觉选出最优的一条思路。
同时,不要丢弃其它思路,当选择的“最优思路”行不通时,再回头选“最优思路”。
二、在解题中,充分利用已知条件进行双向推理
策略4:
在直觉地判断优先考虑的思路之后,要充分利用已知条件进行顺向推理,防止没有充分的利用已知条件及隐含条件的情况下,运用错误的定理进行匆忙作答。
如图2,在⊿ABC中D是BC上的一点,E是AD上一点,且EB=EC,∠ABE=∠ACE.
在⊿AEB和⊿AEC中,
EB=EC(已知),
∠ABE=∠ACE(已知),
AE=AE(公共边),
∴⊿AEB≌⊿AEC(SSA).
∴∠BAE=∠CAE(全等三角形对应角相等).
这位同学的错误在于:
没有挖掘隐含条件,想当然的运用两个三角形全等的判定中,并不存在的两边及其中一边的对角对应相等来做判断方法。
看似题目条件充分运用,但判定方法是错误的。
另外一位同学解此题的思维过程:
由EB=EC,得到∠EBD=∠ECD,由已知∠ABE=∠ACE,从而得到∠ABD=∠ACD,进而得到AB=AC.于是,在⊿AEB和⊿AEC中,AB=AC,AE=AE,BE=CE,⊿AEB和⊿AEC全等.则∠BAE=∠CAE。
这位同学的成功之处在于:
善于挖掘隐含条件,他充分利用了已知条件中EB=EC,隐含着∠EBD=∠ECD这一结论,即在同一个三角形中等边对等角。
运用等式的性质可得∠ABD=∠ACD,从而得到AB=AC,即在同一个三角形中,等角对等边。
策略5:
在解题遇到困难时,不要灰心,要问自己还有那些已知条件没有用上?
应如何使用这些已知条件?
并作辅助线分析此题。
策略6:
不仅要善于运用问题作为思维推理的方向,指引顺向推理,而且要采用逆向推理,使已知条件与未知条件联系起来。
只有把两者结合起来使用双向推理,求解才能取得最佳效果。
例3:
如图3,AD是⊿ABC的高,E是AD上一点.若AD=BD,DE=DC,判断BE与AC位置关系,并说明理由。
题目要求说明线与线的关系。
线与线的位置关系分为两大类:
平行或者相交,垂直是特殊的相交。
但是,由已知条件和图,BE与AC并没有直接相交。
那就很难说明位置关系,似乎求解没有任何头绪,不要灰心,试探添辅助线使BE与AC发生联系,于是会联想到延长BE交AC于点F(如图4)。
虽然添上辅助线,但根据已知条件,也只能说明⊿ADC与⊿BDE这两个三角形全等。
跟结论也没有直接联系。
从结论出发,这两条直线的位置关系不可能是平行,那么猜测这两条直线垂直的可能性比较大。
两条直线相交,如果有一个角是直角,那么这两条直线垂直。
于是,只要说明∠AFB或者∠CFB是直角就可以。
思路:
由已知证得⊿BDE≌⊿ADC,可得∠EBD=∠CAD.又因对顶角∠BED=∠AEF,则∠DAC﹢∠AEF=∠EBD﹢∠BED=90°
.根据三角形内角和可得∠AFE=90°
.所以BE⊥AC.
充分利用已知条件,结合三角形全等的知识点,进行推理作出辅助线,然后利用逆向推理,从结论出发,往已知方向进行推理。
三、在解题之后,对解题思路进行概括,总结
策略7:
在解题之前,要考虑目前这道题与过去哪种题目类型相似,解题之后,就要考虑这个题目与过去做过的不同之处。
找出这个思路中的不同之处,即这道题的“关键”,要引起注意,进行熟记,以便在碰到类似的情境时,可以运用。
回过头看例3,如果求证中,有阶梯式的提问,题目似乎不会显得那么难。
例4:
如图3,AD是⊿ABC的高,E是AD上一点.若AD=BD,DE=DC,
(1)⊿BDE≌⊿ADC,
(2)∠EBD=∠CAD,(3)BE⊥AC.
要解答第
(2)题,必须先完成第
(1)题的解答,同时也是完成第(3)题基础。
下面两个例题,请分析它们之间的联系和区别,并理清解题思路。
例5:
如图5,在等腰三角形ABC中,∠ACB=90°
,直线a经过点C,AD⊥a,BE⊥a,垂足分别为D,E.
DE=AD+BE.
例6:
如图6,在等腰三角形ABC中,∠ACB=90°
问:
DE,AD,BE有什么关系?
并加以证明。
例5与例6是属于类型相同的题目。
例5是基础题,要证DE=AD+BE,只要说明AD=CE,CD=BE。
如何证明成立,只需说明⊿ADC≌⊿CEB,由已知不难说明这两个三角形全等。
例5就是直线a在整个直角三角形的外部。
而例6就是直线a经过点C,经过⊿ABC的内部,图形变了,其它条件都没有变,容易证得⊿ADC≌⊿CEB。
所以AD=CE,CD=BE,由此得AD=CE=CD+DE。
即DE=AD-BE.
可以看出,一个基本题型通过某个基本图形的旋转,可以演变出很多题,如果将直线a再绕着点C继续旋转,仍然经过⊿ABC的内部,不知结论会不会有所不同呢?
通过题目的演变过程以及解题思路分析,加强解题的举一反三的能力。
策略8:
在解题之后,与同学讨论,各自说出对题目原本的思维过程,走了什么弯路,后来是如何找到正确的解题思路,注意找出自己的思维过程与其他同学的不同之处,以便总结解题方法,发现成功的思维策略或方法。
在这个策略中,教师一定要创设一个良好的氛围,或者好的情境,让学生能够把自己存在的问题,毫无保留,畅所欲言。
具体方法有:
1、让学生陈述自己的解题思路——把自己和同学的认识过程作为研究对象;
2、对解法进行归类——评价同一认知结果的不同认知过程;
3、讨论其它解法——利用有意思考激活相关知识,进一步获得元认知体验;
4、讨论最优思路——促使学生评价不同思路在达到解题这个认知目标中的优劣;
5、让做不完和做错的同学叙述原因——把错误认知过程也作为研究对象;
6、说出解题后反思的收益,或者说出是否能听懂或掌握所有的解题方法,并估计自己今后在遇到类似的情景,能否想到并正确运用这些方法。
通过讨论,学生们将内因的思维过程,用外显的语言表达出来,也进一步激发了学生的元认知过程。
在初中,重视元认知开发,学生形成元认知习惯,他们会终生受益。
参考文献:
[1]程素萍.问题解决中的元认知研究综述.教育理论与实践[J].1996,(3):
15-19.
[2]范良火.数学八年级下册[M].浙江教育出版社,2006.
[3]华琼.数学八年级下数学同步练习[M].浙江教育出版社,2009.
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- 运用 认知 解题 策略 加强 数学 能力