小学奥数数论讲义1数列专题讲义适合二到六年级1Word文件下载.docx
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数列大幅度提升观察能力,所谓分析问题,分析核心就是观察,观察-收集信息-整理信息-联系\创造-解决。
观察可以从两点去看,内和外。
对内,分解事物本身,看事物本身的规律;
对外,跟前后左右未来过去的数据联系起来,看事物在宇宙中的规律。
数列大幅度提升归纳思想,归纳思想是研究所有问题的思想,解决陌生问题,创造新的规律、新的定义、新的公式、全靠归纳。
要全面认识归纳思想,建议对数学归纳法有深入的了解。
二年级
1.认识简单数列
二年级没那么高的要求,感性上认识各类数字规律,以及数字规律发现的过程就好,基本上所有的学生都可以掌握。
目标:
1、认识什么叫数列,一列有规律或没有规律的数
2、认识各类数列
【问题分类】
概念:
按一定规律排列起来的一列数叫数列.
例(等差数列)找出下面各数列的规律,并填空.
(1)1,2,3,4,5,□,□,8,9,10.
(2)1,3,5,7,9,□,□,15,17,19.
(3)2,4,6,8,10,□,□,16,18,20.
(4)1,4,7,10,□,□,19,22,25.
(5)5,10,15,20,□,□,35,40,45.
例(斐波那契数列)找出下面的数列的规律并填空.
1,1,2,3,5,8,13,□,□,55,89.
例(等比数列)找出下面数列的生成规律并填空.
1,2,4,8,16,□,□,128,256.
例(递增变化数列)找出下面数列的规律,并填空.
1,2,4,7,11,□,□,29,37.
例(平方数列)找出下面数列的生成规律,并填空.
1,4,9,16,25,□,□,64,81,100.
小结:
数字规律主要还是通过数字+加减乘除实现
2.数列实际应用题
例(累加数列)一辆公共汽车有78个座位,空车出发.第一站上1位乘客,第二站上2位,第三站上3位,依此下去,多少站以后,车上坐满乘客?
例(幂数数列)一天,爸爸给小明买了一包糖,数一数刚好100块.爸爸灵机一动,又拿来了10个纸盒,接着说:
“小明,现在你把糖往盒子里放,我要求你在第一个盒子里放2块,第二个盒子里放4块,第三个盒子里放8块,第四个盒子里放16块,……照这样一直放下去.要放满这10个盒,你说这100块糖够不够?
”
例自2开始,隔两个数写一个数:
2,5,8,……,101.可以看出,2是这列数的第一项,5是第二项,8是第三项,等等.问101是第几个数?
例如图4-1所示,“阶梯形”的最高处是4个正方形叠起来的高度,而且整个图形包括了10个小正方形.如果这个“阶梯形”的高度变为12个小正方形叠起来那样高,那么,整个图形应包括多少个小正方形?
例图4-2所示,把小立方体叠起来成为“宝塔”,求这个小宝塔共包括多少个小立方体?
例细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个,再次分裂变为4个,第三次分裂为8个,……照这样下去,问经过10次分裂,一个细胞变成几个?
3.找规律
目的:
1、找规律的方法,还是观察,对数和形有高度的认识
2、通过掌握几类典型的规律图形
例(数量变化规律)观察下面由点组成的图形(点群),请回答:
(1)方框内的点群包含多少个点?
(2)第(10)个点群中包含多少个点?
(3)前十个点群中,所有点的总数是多少?
解答提示:
看图,看图
例“宝塔”,它们的层数不同,但都是由一样大的小三角形摆成的.仔细观察后,请你回答:
(1)五层的“宝塔”的最下层包含多少个小三角形?
(2)整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形?
(3)从第
(1)到第(10)的十个“宝塔”,共包含多少个小三角形?
例(大小变化规律)仔细观察下面的图形,找出变化规律,猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图?
例(位置变化规律)细观察下面的图形,找出变化规律,猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图?
例(形状变化)按顺序仔细观察图7—5、7—6的形状,猜一猜第3组的“?
”处应填什么图?
4、找规律法-数学归纳法
A类学生,可在类比规律中深入探索数学归纳法的全过程。
B类学生,感性上体会数学归纳思想,由特殊到一般的转化思维
C类学生,会处理数列规律的问题
例(数列规律)找出下面数列的生成规律并填空.
1,2,4,8,16,□,□,128,256.
例(周期规律)观察数列的前面几项,找出规律,写出该数列的第100项来?
12345,23451,34512,45123,…
例把写上1到100这100个号码的牌子,像下面那样依次分发给四个人,你知道第73号牌子会落到谁的手里?
例(类比规律)先计算下面的前几个算式,找出规律,再继续往下写出一些算式:
①1×
9+2=②9×
9+7=
12×
9+3=98×
9+6=
123×
9+4=987×
9+5=
1234×
9+5=9876×
9+4=
……
例先计算下面的前几个算式,找出规律,再继续写出一些算式:
1×
1=
11×
11=
111×
111=
1111×
1111=
11111×
11111=
三年级
5、找简单数列的规律
这部分内容在于培养学生化归和转化思维,把其他有规律的问题转化为数列和数列规律问题。
例(数字数列规律)观察下面的数列,找出其中的规律,并根据规律,在括号中填上合适的数.
①2,5,8,11,(),17,20。
②19,17,15,13,(),9,7。
③1,3,9,27,(),243。
④64,32,16,8,(),2。
⑤1,1,2,3,5,8,(),21,34…
⑥1,3,4,7,11,18,(),47…
⑦1,3,6,10,(),21,28,36,().
⑧1,2,6,24,120,(),5040。
⑨1,1,3,7,13,(),31。
⑩1,3,7,15,31,(),127,255。
(11)1,4,9,16,25,(),49,64。
(12)0,3,8,15,24,(),48,63。
(13)1,2,2,4,3,8,4,16,5,().
(14)2,1,4,3,6,9,8,27,10,().
例(数组数列规律)下面数列的每一项由3个数组成的数组表示,它们依次是:
(1,3,5),(2,6,10),(3,9,15)…问:
第100个数组内3个数的和是多少?
例(图像相关数列)按下图分割三角形,即:
①把三角形等分为四个相同的小三角形(如图(b));
②把①中的小三角形(尖朝下的除外)都等分为四个更小的三角形(如图(C))…继续下去,将会得到一系列的图,依次把这些图中不重叠的三角形的个数记下来,成为一个数列:
1,4,13,40…请你继续按分割的步骤,以便得到数列的前5项.然后,仔细观察数列,从中找出规律,并依照规律得出数列的第10项,即第9项分割后所得的图中不重叠的小三角形的个数.
四年级
6.等差数列
A类学生,在数列通项公式和前n项和中提升对数学归纳法全过程的认识。
B类学生,掌握数列通项公式和前n项和的综合运用
C类学生,掌握数列通项公式和前n项和的基本问题
1.等差数列的基本概念
2.等差数列通项公式和前n项和
【知识讲解】
例(公差)
①l,2,3,4,5,6,7,8,9,…
②1,3,5,7,9,11,13.
③2,4,6,8,10,12,14…
④3,6,9,12,15,18,21.
⑤100,95,90,85,80,75,70.
⑥20,18,16,14,12,10,8.
即相邻两项的差是一个固定的数,像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差,一般用字母d表示
例(通项公式)求等差数列1,6,11,16…的第20项.
一般地,如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量,如:
由通项公式,我们可以得到项数公式:
例如果一等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.
例(求前n项和)计算1+5+9+13+17+…+1993.
等差数列前n项和公式:
例建筑工地有一批砖,码成如右图形状,最上层两块砖,第2层6块砖,第3层10块砖…,依次每层都比其上面一层多4块砖,已知最下层2106块砖,问中间一层多少块砖?
这堆砖共有多少块?
例求从1到2000的自然数中,所有偶数之和与所有奇数之和的差.
五年级
7.递推方法
1.认识an与an+1的关系,且由an与an+1之间关系,能推算出递推公式
2.由此衍生出数学归纳法。
A类:
掌握数学归纳法的来龙去脉
B类:
能够推算出递推公式,感性认识数学归纳法
C类:
能够推算出an与an+1之间的关系,并能解答简单的递推公式
例(叠加数列)平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分?
平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分?
数形结合,然后数数。
要找到规律,看你怎么放数学式子哦,有规律,整齐的把数学式子放一放,特征才能看出来。
解:
般来说,如果一个与自然数有关的数列中的任一项an可以由它前面的k(≤n-1)项经过运算或其他方法表示出来,我们就称相邻项之间有递归关系,并称这个数列为递归数列.如果这种推算方法能用公式表示出来,就称这种公式为递推公式或递推关系式
例平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域?
平面上1993个圆最多能将平面分割成多少个区域?
归纳是小,难在怎么分割
例(兔子数列)假设刚出生的雌雄一对小兔过两个月就能生下雌雄一对小兔,此后每月生下一对小兔.如果养了初生的一对小兔,问满一年时共可得多少对兔子?
会画图,会列式,会分析数字前后左右和本身的特点,找规律
例将自然数1,2,3,…,按图排列,在“2”处转第一个弯,“3”处转第二个弯,“5”处转第三个弯,….问哪个数处转第二十个弯?
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- 小学 数论 讲义 数列 专题 适合 六年级