数列试题附答案.docx
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数列试题附答案
阶段性测试题五(数列)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(理)(2011·XXXX市调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足-=1,则数列{an}的公差是( )
A.B.0C.2 D.3
[答案] C
[解析] 设{an}的公差为d,则Sn=na1+d,
∴{}是首项为a1,公差为的等差数列,
∵-=1,∴=1,∴d=2.
2.(2011·XXXX二中检测,XXXX四校联考)已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*)且a2+a4+a6=9,则log(a5+a7+a9)的值是( )
A.-5B.-C.5D.
[答案] A
[分析] 根据数列满足log3an+1=log3an+1(n∈N*).由对数的运算法则,得出an+1与an的关系,判断数列的类型,再结合a2+a4+a6=9得出a5+a7+a9的值.
[解析] 由log3an+1=log3an+1(n∈N*)得,an+1=3an,∵an>0,∴数列{an}是公比等于3的等比数列,
∴a5+a7+a9=(a2+a4+a6)×33=35,
∴log(a5+a7+a9)=-log335=-5.
3.(理)(2011·XX百校论坛联考)已知a>0,b>0,A为a,b的等差中项,正数G为a,b的等比中项,则ab与AG的大小关系是( )
A.ab=AGB.ab≥AG
C.ab≤AGD.不能确定
[答案] C
[解析] 由条件知,a+b=2A,ab=G2,∴A=≥=G>0,∴AG≥G2,即AG≥ab,故选C.
[点评] 在知识交汇点处命题是常见命题方式,不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用.
4.(2011·潍坊一中期末)各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1,且a2,a3,a1成等差数列,则的值为( )
A.B.
C.D.或
[答案] C
[解析] ∵a2,a3,a1成等差数列,∴a3=a2+a1,
∵{an}是公比为q的等比数列,∴a1q2=a1q+a1,∴q2-q-1=0,∵q>0,∴q=.
5.(2011·日坛中学月考)已知数列{an}满足a1=1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n≥2),则该数列前2011项的和S2011等于( )
A.1341B.669C.1340D.1339
[答案] A
[解析] 列举数列各项为:
1,1,0,1,1,0,….
∵2011=3×670+1,∴S2011=2×670+1=1341.
6.(理)(2011·XX皖南八校联考)设{an}是公比为q的等比数列,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则q等于( )
A.-B.-
C.-或-D.-或-
[答案] C
[解析] 集合{-53,-23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{-54,-24,18,36,81},其中-24,36,-54,81或81,-54,36,-24成等比数列,∴q=-或-.
7.(理)(2010·西南师大附中月考)在等差数列{an}中,其前n项和是Sn,若S15>0,S16<0,则在,,…,中最大的是( )
A.B.C.D.
[答案] B
[解析] 由于S15=15a8>0,S16==8(a8+a9)<0,所以可得a8>0,a9<0.
这样>0,>0,…,>0,<0,<0,…,<0,…
而0
8.(2011·XXXX四中期末)在△ABC中,=是角A、B、C成等差数列的( )
A.充分非必要条件
B.充要条件
C.必要非充分条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] =⇒2sinAsinC-sin2A=2cosAcosC+cos2A⇒2cos(A+C)+1=0⇒cosB=⇒B=⇒A+C=2B⇒A、B、C成等差数列.但当A、B、C成等差数列时,=不一定成立,如A=、B=、C=.故是充分非必要条件.故选A.
9.(理)(2010·XX调研)已知F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,P是双曲线上的一点,若|PF2|、|PF1|、|F1F2|是公差为正数的等差数列,则△F1PF2的面积为( )
A.24B.22C.18D.12
[答案] A
[解析] 由题意可知|PF2|<|PF1|,所以点P在双曲线的右支上,所以|PF1|-|PF2|=2,又|PF2|+|F1F2|=2|PF1|,即|PF2|+10=2|PF1|,联立解得|PF1|=8,|PF2|=6,所以△F1PF2是以点P为直角顶点的直角三角形,所以面积为×8×6=24.
10.(理)(2011·XX嘉积中学模拟、XXXX诊断)若数列{an}满足:
an+1=1-且a1=2,则a2011等于( )
A.1B.-C.2D.
[答案] C
[解析] a1=2,a2=,a3=-1,a4=2,a5=,a6=-1,…依次类推,数列{an}的周期是3,而2011=3×670+1,故a2011=a1=2.
11.(理)(2011·豫南九校联考)设数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,则ab1+ab2+…+ab10=( )
A.1033B.1034C.2057D.2058
[答案] A
[解析] an=2+(n-1)×1=n+1,bn=1×2n-1=2n-1,
ab1+ab2+…+ab10=a1+a2+a4+…+a29=(1+1)+(2+1)+(22+1)+…+(29+1)=10+
=210+9=1033.
12.(理)(2010·XX质检)在数列{an}中,an+1=an+a(n∈N*,a为常数),若平面上的三个不共线的非零向量,,满足=a1+a2010,三点A、B、C共线且该直线不过O点,则S2010等于( )
A.1005B.1006C.2010D.2012
[答案] A
[解析] 由条件知数列{an}为等差数列,且A、B、C三点共线,∴a1+a2010=1,故有S2010==1005.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上.)
13.(2011·XXXX市质检)已知1,x1,x2,7成等差数列,1,y1,y2,8成等比数列,点M(x1,y1),N(x2,y2),则线段MN的中垂线方程是________.
[答案] x+y-7=0
[解析] 由条件得x1=3,x2=5,y1=2,y2=4,∴MN的中点(4,3),kMN=1,∴MN的中垂线方程为y-3=-(x-4),即x+y-7=0.
14.(理)(2010·XX模拟)已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,若以(an,Sn)为坐标的点在曲线y=x(x+1)上,则数列{an}的通项公式为________.
[答案] an=n
[解析] 由条件知,Sn=an(an+1),∴Sn-1=an-1(an-1+1) (n≥2),两式相减得an=(a-a+an-an-1),整理得an-an-1=1,∵a1=1,∴an=n.
15.(2011·苏北九校联考)已知α∈∪,且sinα,sin2α,sin4α成等比数列,则α的值为________.
[答案]
[解析] 由题意,sin22α=sinα·sin4α,∴sin22α=2sinα·sin2α·cos2α,即sin2α=2sinα·cos2α,
∴2sinαcosα=2sinα·cos2α,即cosα=cos2α,
∴2cos2α-1=cosα.∴(2cosα+1)(cosα-1)=0.
∴cosα=-,∴α=.
16.(理)(2011·XXXX八校联考)在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,且从上到下所有公比相等,则a+b+c的值为________.
a
c
b
6
1
2
[答案] 22
[解析] 由横行成等差数列知,6下边为3,从纵列成等比数列及所有公比相等知,公比q=2,∴b=2×2=4由横行等差知c下边为=5,故c=5×2=10,由纵列公比为2知a=1×23=8,∴a+b+c=22.
三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(理)(2011·XXXX诊断)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-2n,数列{bn}的前n项和Tn=3-bn.
①求数列{an}和{bn}的通项公式;
②设=an·bn,求数列{}的前n项和Rn的表达式.
[解析] ①由题意得an=Sn-Sn-1=4n-4(n≥2)
而n=1时a1=S1=0也符合上式
∴an=4n-4(n∈N+)
又∵bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn,
∴=
∴{bn}是公比为的等比数列,
而b1=T1=3-b1,∴b1=,
∴bn=n-1=3·n(n∈N+).
②=an·bn=(4n-4)××3n
=(n-1)n,
∴Rn=C1+C2+C3+…+
=2+2·3+3·4+…+(n-1)·n
∴Rn=3+2·4+…+(n-2)n+(n-1)n+1
∴Rn=2+3+…+n-(n-1)·n+1,
∴Rn=1-(n+1)n.
18.(理)(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知数列{bn}前n项和为Sn,且b1=1,bn+1=Sn.
(1)求b2,b3,b4的值;
(2)求{bn}的通项公式;
(3)求b2+b4+b6+…+b2n的值.
[解析]
(1)b2=S1=b1=,b3=S2=(b1+b2)=,b4=S3=(b1+b2+b3)=.
(2)
①-②解bn+1-bn=bn,∴bn+1=bn,
∵b2=,∴bn=·n-2 (n≥2)
∴bn=.
(3)b2,b4,b6…b2n是首项为,公比2的等比数列,
∴b2+b4+b6+…+b2n=
=[()2n-1].
19.(理)(2011·XX林口四中)已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,….
(1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;
(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项.
[分析] 从题设入手,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上可得,an+1=a+2an,两边同时加1得an+1+1=(an+1)2,取对数即可解决问题.由第
(2)问的形式知可由
(1)问继而求出1+an的表达式.则Tn可求.
[解析]
(1)由已知an+1=a+2an,∴an+1+1=(an+1)2.∵a1=2,∴an+1>1,两边取对数得:
lg(1+an+1)=2lg(1+an),即=2.
∴{lg(1+an)}是公比为2的等比数列.
(2)由
(1)知lg(1+an)=2n-1·lg(1+a1)
=2n-1·lg3=lg32n-1
∴1+an=32n-1(*)
∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)=320·321·…·32n-1=31+2+22+…+2n-1=32n-1.
由(*)式得an=32n-1-1.
20.(理)(2011·XX河历中学月考)设曲线y=x2+x+2-lnx在x=1处的切线为l,数列{an}的首项a1
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