利用待定系数法因式分解和分式的拆分等Word格式.docx
- 文档编号:19351772
- 上传时间:2023-01-05
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:106.53KB
利用待定系数法因式分解和分式的拆分等Word格式.docx
《利用待定系数法因式分解和分式的拆分等Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《利用待定系数法因式分解和分式的拆分等Word格式.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
设2x4-3x3+ax2+7x+fc=(x2+x-2)(2x2+mx+〃),
整理,得2x4一3十+ax2+7x+Z?
=2x4+(/?
?
+2)x3+(in+n-4)x2+
tn+2=-3m+n-4=an一2m=7b=-2n
・・・a、b的值分别为-12和6.
(2)2x4-3x3-12x2+7x+6=(x2+x-2)(2x2-5x-3)
考点:
1•待定系数法因式分解2.整式乘法3.解方程组.
点评:
用待定系数法分解因式,就是先按己知条件把原式假设成若干个因式的连乘积,这些因式中的系数可先用字母表示,它们的值是待定的,由于这些因式的连乘积与原式恒等,然后根据恒等原理,建立待定系数的方程组,最后解方程组即可求出待定系数的值.
【难度】一般
【例题2】分解因式:
2x2+5xy^-3y2-3x+5y-2
【答案]2亍+5.^-3/-3x+5y-2=(2x-y+l)(x+3v-2)
方法一因为2x2+5xy^-3y2=(2x-y)(x+3y),因此,如果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘积,那么设原式的分解式是(2x-y+〃7)(x+3尸必其中加、“为待定系数.然后展开,利用多项式的恒等,求出〃7、〃的值.
V2x2+5a}'
-3/=(2x-y)(x+3y),
/.设2x2+5小一3y2-3x+5y-2=(2x-y+in)(x+3y+〃)
即2x2+5xy-3y2-3x+5y—2=(2x-y)(x+3y)+(/z?
+2/?
)x+(3/n-n)y+mn
m+2n=-3①
对比系数,得:
<
-〃=5②
mn=-2③
/w=1
由①、②解得:
C
n=-2
代入③式也成立.
2x2+Sxy-3>
2-3%+5y-2=(2x-y+1)(x+3y-2)
方法二前面同思路1,因为
2x2+5马一3y2-3兀+5y-2=(2兀一y)(兀+3y)+(加+2/?
)兀+(3加一/?
)y+nm是恒等式,所以对任
意的值,等式都成立,所以给兀),取特殊值,即可求出〃7,”的值.
V2x2+5xy-3y2=(2x-y)(x+3y),
・••设2干+5厂一3y,-3x+5y-2=(2x—y+加)(x+3y+〃)
H卩2X2+5xy-3y2-3x+5y-2=(2x-y)(x+3y)+(也+2〃)x+(3〃?
一〃)y+/m?
'
•・•该式是恒等式,
・•・它对所有使式子有意义的x,y都成立,
那么令X=0,y=0得:
77777=-2©
令x=0,y=lW:
3/w-/?
+rmi-3=0
(2)
解①、②组成的方程组'
得―2
n=-3
把它们分别代入恒等式检验,得忙:
・•・2x2+5卩一3)&
—3x+5y—2=(2x—y+1)(x+3y—2)
1.待定系数法分解因式2.解方程组.
本题解法中方程的个数多于未知数的个数,必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的解对某个方程或所设的等式不成立,则需将此解舍去;
若得方程组无解,则说明原式不能分解成所设形成的因式.
【难度】较难
类型二利用待定系数法解决分式拆分问题
【例题将分式r而拆分成两个分式的和的形式.
1
_—X+1]
(%2+1)(%+1)2(%2+1)2(%+1)
试题分析:
设=竽边+丄,将等式右边通分,再利用分子恒等求出°
、b、C的值即可.
(%"
+1)(%+1)X"
+1X+1
1_(a+c)x2+(a+b)x+b+c
(x2+l)(x+1)(x2+l)(x+1)
比较分子,得
1_—x+l]
(x2+l)(x+1)2(x2+1)2(x+1)
分式的恒等变形
拆分有理真分式的时候,分母含二次项,则设分子为Ax+B形式,分母只含一次项,则设分子为常数
【例题4】计算:
]]]]
a(°
+l)(a+l)(a+2)(a+2)(a+3)(q+9)(q+10)
本题的10个分式相加,无法通分,而式子的特点是:
每个分式的分母都是两个连续整数的积(若。
是整数),所以我们探究其中一个分式,找到相通的规律,从而解题.
AB
=—H
aci+1
B4(o+l)+Ba(A+B)a+Aa+1a(a+1)o(d+l)
所以
1_1__1a(a+l)aa+1
E.11111111
Cla+1a+1a+2ct+2d+3d+9d+10
分式计算.
在做题的时候见到式子的特点是:
每个分式的分母都是两个连续整数的积,可直接用公式宀土拆分•
n(n+l)nn+1
类型三利用待定系数法解决多项式中不含某项问题
【例题5】己知(F-庶+3)(3”2)的积中不含x的二次项,则〃7的值是()
223
A.0B.—C.——D.——
332
【答案】C
将多项式(F-,初+3)(3x-2)展开、合并,按X的降幕排列,根据积中不含X的二次项等价于,项的系数为零列方程即可求得加的值.
V(x2-znr+3)(3x-2)=3x3-3nix2+9x-2x2+2mx-6=3x3-(3/h+2)x2+(9+2/?
)x-6
•・•积中不含x的二次项,
・3/774-2=0»
解得
3
故选C.
多项式乘以多项式.
多项式不含某项则某项的系数为零,根据这一条件列方程或方程组,从而求出待定系数的值.
三、实战演练
1.若多项式3x2+5xy-2y2+x+9y+n能被3x-y+4整除,则n=.
【答案】-4
此题可通过因式分解得到:
被除式二商X除式(余式为0),其除式为3x-y+4即可
设原式=(3x—y+4)(x+2y+〃?
)=3x2+5-巧一2y'
+(3也+4)x+(8—加)y+4m
3m+4=1①
比较系数,得:
8-/;
=9②
n=4加③
由①,②解得m=—1,
代入③得77=-4
因式分解的应用
此题考查知识点是因式分解的应用,运用公式被除式二商X除式(余式为0)是解题关键.
【难度】容易
2.分解因式:
疋+疋+亍+/+1
【答案]X4+J:
3+x2+x+l=(X2+X+1)(X24--―X+1)
22
这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式,乂因为不是二次三项式所以不适用十字相乘法;
虽多于三项,但分组之后分解不能继续.因此,我们应采用其他的办法一待定系数法.这是一个四次五项式,首项系数为1,尾项也是1,所以它可以写成两个二次三项式的积,再利用恒等式的性质列方程组求解即可.
设x4+丘+F+x+1=(亍+mx+l)(x2+nx+1)
而(x2+mx+l)(x2+nx+1)
fm+/?
=1
[mn+2=1
m=
解得<
n=
x"
+X’+X’+x+1=(x2+X+1)(X2+x+l)
待定系数法因式分解.
本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式,恰当设待定系数是关键.
3.分解因式:
2/+3"
-9,+14°
-3b+20
【答案】2/+3"
-松+14°
—3b+20=(2x—3b+4)(a+3b+5)
属于二次六项式,也可考虑用双十字相乘法,在此我们用待定系数法.
先分解2a2+3ab-9b2=(2a-3b)(a+3b),再设原式=(2a-3b+m)(a+3b+n)f展开后,利用多项式恒等列方程组即可求解.
方法一
・/2a2-^-3ab-9b2=(26f-3Z?
)(«
+3Z?
)
・••可设原式=(2a-3b+w)(a+3Z?
+“)
二原式=2d’+3ab-9b2+(〃?
)a+(3也一3刃)b+inn
即2a‘+3ab-9b2+14r/-3Z?
+20=2a2+3ab-9b2+(〃7+2n)a+(3〃?
一3/?
)Z?
+mn*
[n=5
2c厂+3cib—9b~+14a—3Z?
+20=(2x—3b+4)(a+3b+5)
方法二
对于方法一中的恒等式L)因为对a、b取任何值等式都成立,所以也可用特殊值法,求加、“的值.
令a=0,/?
=0,得沏=20©
令b=0,得加+2〃=14②
令。
=0,b=1,得加-"
=
f/H=4
解②、③组成的方程组,得q-
2c厂+3cib—9b~+14a—3Z?
对于复杂的多项式分解因式,关键是列出恒等关系式,然后根据恒等原理,建立待定系数的方程组,最后解方程组即可求出待定系数的值.
4•己知/(x)表示关于x的一个五次多项式,若
/(-2)=/(-1)=/(0)=/
(1)=0,/
(2)=24,/⑶=360,求/(4)的值.
【答案】1800
因为/(-2)=/(-l)=/(O)=/(l)=O,所以这个多项式中必有因式(x+2)、(x+l)、x.(x-l),而四个因式的乘积为四次多项式,故原多项式可以分解为以上四项因式的乘积以及还有一项一次因
式的乘积,故
式的乘积,故这个多项式可以设为(x+2)(x+i)x(x-l)(ox+b),利用待定系数法求出b的值最后代入原多项式,即可求出于(4)的值.
M:
v/(-2)=/(-i)=/(o)=/(i)=o,
・••设/(x)=(;
t+2)(x+l)x(x-l)(ar+Z?
由/
(2)=24,f⑶=360,可得方程组
解得:
[厂
Z?
=-3
・:
/(x)=(x+2)(x+l)x(x-l)(2x-3)
・•・/(4)=6x5x4x3x(8-3)=1800
1•解二元一次方程组2.多项式变形
此题考查了解二元一次方程组以及多项式的变形,弄清题意是解本题的关键.
5.n为何值时,多项式x4-5x2+1lx2+mx+n能被x2-2x^-1整除?
【答案】w=-ll,n=4
由于多项式x4-5x2+llx2^-nvc-^-n能被x2-2x^-1整除,可设商为x2+ax+b,再
利用逆运算,除式X商式二被除式,利用等式的对应相等,可求出
设原式=(x2-2x+l)(x2+ax+b^
=x4+av3+bx2-2x3-2ax2一2bx+x2+ax+b
=x4+(c/-2)f+(Z?
-2a+l)x‘+(a-2b)x+b
故加=一11,〃=4・
整式的除法
本题考查的是多项式除以多项式,注意多项式除以多项式往往可转化成多项式乘以多项式.
6•若多项式疋+衣+加能被(—5)和(x-6)整除,那么心—b=—•该多项式因式分
解为:
因为多项式加能被(x-5)和(x-6)整除,则说明(x-5)和(x-6)都是多项式
x3+oy2+bx的一个因式,故设x3+ax2+Z?
x=(x-5)(x-6)(x+m),展开即可求解.
试题解析:
解:
设+ar2+bx=(x-5)(x-6)(x+〃7)
ci=m-ll
卩=30-11加
解得:
Qa=_11
b=30
故卫=一11上=30,
多项式因式分解为:
x3-11^2+30x=x(x-5)(x-6)
整式除法与因式分解
本题考查的是多项式除以多项式,注意理解整除的含义,比如4被〃整除,另外一层意思就是〃是4的因式
7•分解因式:
x4-x'
+4F+3x+5
【答案】x4-x3+4x2+3x+5=(x2+x+l)(x2-2x+5)
本题是关于x的四次多项式可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积.
设+4x‘+3x+5=(x‘+or+l)(x‘+bx+5)
(ci+b=-l
由恒等性质有:
£
b+6=4
5a+b=3
(ci=I
<
代入db+6=4中,成立.
[b=-2
・;
x4-x3+4x2+3x4-5=(x,+x+l)(x‘一2x+5)
说明:
若设x4-x3+4x2+3x+5=(x2+ar-l)(x2+bx-5)
由待定系数法解题知关于。
与b的方程无解,
故兀J-兀‘+4亍+3x+5=(x‘+x+l)(F-2x+5)
因式分解应用
根据多项式的特点恰当将多项式设成含待定系数的多项式的积的形式是解题的关键.
8.在关于x的二次三项式中,当x=l,其值为0;
当x=-3时,其值为0;
当x=2时,其值为10,求这个二次三项式.
【答案】2x2+4x-6
思路1先设出关于x的二次三项式的表达式,然后利用己知条件求出各项的系数。
可考虑利
用恒等式的性质。
法1先设出关于X的二次三项式ax2-\-bx-\-c,
(a+b+c=0
把己知条件分别代入,得%+3b+c=0,
4a+2b+c=10
[a=2
解得<
b=4
c=-6
故所求的二次三项式为2疋+4x-6
设丽話IT希+佥将等式右边通分,再利用分子恒等求出。
、"
的值即可・
设1:
(6y+1)0+1)
cib
=H
6y+ly+1
十ab
而+=
(d+6b)y+(a+b)(6y+l)(y+l)
即1
(a+6b)y+(a+b)(6y+l)(y+l)
6
a=—
解得5
b=_L
5
161
(6)'
+1)()'
+1)5(6y+1)5(y+l)
分式的恒等变形.
拆分有理真分式的时候,分母含二次项,则设分子为Ax+B形式,分母只含一次项,则设分子为常数
11.将分式%+'
拆分成两个分式的和的形式.
(x+l)(x+2)
[答案]—竺二一=—+—
(x+l)(x+2)x+lx+2
设奴+'
=旦+丄,将等式右边通分,再利用分子恒等求出°
、b的值即可.(x+l)(x+2)x+1x+2
解:
3x4-5ab
=1
(x+l)(x+2)x+1x+2
即3x+5_(a+b)x+(2a+b)
(x+l)(x+2)(x+l)(x+2)
•3x+521
••=1
(x+l)(x+2)x+1x+2
分式弘+‘还可以先变形为:
易知
1_11(x+l)(x+2)x+1x+2
所以如5二丄-(---)=丄+丄
(x+l)(x+2)x+1x+1x+2x+lx+2
12.计算
x(x+l)(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)(x+3)(x+4)
【答案】时
本题的4个分式相加,无法通分,而式子的特点是:
每个分式的分母都是两个连续整数的积
(若。
是整数),利用—丄-丄,进行拆分即可.
(“+1)nn+l
原式丄丄+---+丄-丄+---
xx+lx+lx+2x+2x+3x+3x+4
1_1
xx+4
4
x(x+4)
分式计算
利用公式」^=丄--拆分,是解题关键,而原理就是设—,求
+nn+1/?
(/?
+1)n;
+l
出A=l,B=-l,熟练后可直接运用公式.
13.将分式——i——拆分成两个分式的和的形式.
(6y+l)(y+l)
[答案]——=—
(6y+l)(y+l)》(6y+l)Xv+1)【解析】
设丽詁T冷1+缶将等式右边通分,再利用分子恒等求出。
的值即可•
161
(6y+l)(y+1)5(6y+1)5(y+1)
分式的恒等变形.点评:
拆分有理真分式的时候,分母含二次项,则设分子为Ax+B形式,分母只含一次项,则设分子为常数.
14.将分式一"
I'
+'
拆分成一个整式和一个分式(分子为整数)的和的形式.
-X"
+1
【答案】F+2+二—
-x~+1
由于要将分式一"
I厂*'
拆分成一个整式和一个分式(分子为整数)的和的形式,可设
-x4-x2+3=(-x2+1)(,+°
)+b
由于分母为—F+1,可设一十―F+3=(—F+l)(F+a)+b
—x4—+3=—x4—cix~++°
+b
:
•对于任意X,上述等式均成立,
・M_1=1・A=2
・・(a+b=3・・[b=l
._x4_F+3_(-F+1)(F+2)+1_(-扌+1)(扌+2)1_亠"
••;
;
十—;
X十Z;
-%"
+1一+1-x"
+l-x"
+1-x-+l
这样分式土屮被拆分成了一个整式界+2与一个分式的和.
一a+1-X"
分式的加减法
本题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题关键.
15.己知(5-3x+//lv-6x3)(1-2x)的计算结果中不含疋的项,则加的值为()
A.3B.-3C.--D.0
2
【答案】B
将多项式(5-3x+77?
a-2-6x3)(1-2x)展开、合并,按x的降幕排列,根据积中不含x3项等价
于0项的系数为零列方程即可求得m的值.
(5-3x+inx2-6x3)(1-2x)=5-13x+(〃?
+6)x'
+(—2〃?
一6)+
・・•结果中不含x3的项,
・・・一2加一6=0,解得〃?
=一3.
故选B.
由于%3项可由x项与%2项相乘或用与常数项相乘得到,故展开式中只需计算X项乘以昭项及x3乘以常数项即可.
mx2•(一2x)+(-6x3)x1=-2/77.V3-6x3=(一2加一6)x3
乂•・•结果中不含F的项,
=一3.故选B.
多项式乘法.
16.如果(x+1)(F_5gx+g)的乘积中不含界项,则a为(?
A.5B.-C.-打.-5
55
将多项式(x+1)(F-5oy+g)展开、合并,按x的降幕排列,根据积中不含W项等价于*项的系数为零列方程即可求得a的值.
原=x3-5ar2+ar+x2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 利用 待定系数法 因式分解 分式 拆分
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)