立体几何10道大题Word文档下载推荐.docx
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3TI
(2)若直线AC与平面AiBC所成的角为一-,求锐二面角A-AiC-B的大小.
7.
在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD丄底面
ABCD.
(1)求证AB丄面VAD;
8.
如图,在五面体
ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且/BAD=
7T
,对角线AC与BD
相交于O,0F丄平面ABCD,BC=CE=DE=2EF=2.
EF//BC;
(n)求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值.
E
B
C
9.
AD//BC,ZBAD=90°
PA丄底面
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,
ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.
PB丄DM;
(n)求BD与平面ADMN所成的角.
10.
如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,ADDCCB1,ABC60°
,四边形ACFE
为矩形,平面ACFE平面ABCD,CF1.
BC平面ACFE;
(2)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB二面角的平面角为(90°
),
试求cos的取值范围
立体几何试卷答案
【解析】
试題分析:
(1)匚ABUCDfv平面SC!
D,CDu平面SCD,人血〃平面ECQ,又[平面
妣与平面遜的交线为匚由线面平i亍的性嵐定理ffTBHim臬;
⑵逹接现由余弦定理^AC=2?
取HG中点G』连接SGtA(j,则/<
G_LHC\由线面垂直的利定定理租性质即可证明箔果
<
in>
如囲以射线M加轴,以射绒佃为F轴,以射线口対卅由,以0为施建立空间直角坐标系
0-QG利用空间向址糠呵求出直觸如与面嗣所成ft的IE弦值.
试题解析;
C1)证明;
丁底面血CD为平(亍四边形
/.ABf/CD,
vAB圧平面SCO;
CD匚平面SCD
/.ABf/^^SCD
又丁平面SCD与平面SAB的交线対1
:
.HIAB-4分
连接AC,QABC45°
AB2,BC22,
由余弦定理得AC2,ACAB6分
取BC中点G,连接SG,AG,则AGBC.
QSBSC,SGBC,QSGIAGG,
BC面SAG,BCSA8•分
(川)如图,以射线OA为x轴,以射线OB为y轴,以射线OS为z轴,以O为原点,
建立空间直角坐标系Oxyz,
iL
S
则从羽阴,6(0.72,0).
S(0Q)D(血-2^0)SD=(^/2-2/2=0>
-(0Q1》=(血,-2血厂0
砂=(血=(血』T)「BA=(忑Q0)-①血®
=(72.-^30)
设平面SAB法问量为n=(^72)
科■SJ=72x—z—0、ini1e
;
厂令工=1,则》=二圧=J2»
n-BA=-jlx—2-^j2y—02
厂而\2而血-2血-4722
CO罰Fl,i£
l}i==——=—
SD
2-^TT-
11
因为AD=AC=1,二二—二「,所以_J
…辽分.
所tXl线血与面3所成角的正弦值为晋
2、试题解析:
:
匸为AC的中点,即0为BD的中点,且M为PD的中点,
0M廿P&
又f二平面ACM,円乍平面ACM,
所以PB//平面ACM。
因为—丄匸匸4_"
AD=AC,所以―士二・,
所以LA-二,
又PO—平面ABCD,所以'
■'
-'
-'
'
-_二」-'
■
所以AD—平面PAC。
(3)取OD的中点为N,因为’11•所以MN_平面ABCD,
所以一」匚二「为直线AM与平面ABCD所成角。
斗彳2
3.
(1)证明见解析;
(2)试题解析:
过P作PO平面ABCD于0,连OA•
依题意PAPBPD,则OAOB0D•又△ABD为Rt,故0为BD的中点.
•/P0面PBD,•••面PBD面ABCD•在梯形ABCD中,CD2DB2CB2,
T面ABCDC|面PBD』
CD丄平面FBD・
由⑴知切丄平面PSD?
又M+肿二沏S
.DP丄0P・
由三垂线定理知CP丄円・
二“PD为二面角C—BB—D的平面角,
CB
4.【解答】
(I)证明:
TPA丄底面ABCD,BC?
底面ABCD,:
PA丄BC.
又AB丄BC,PAAAB=A,•BC丄平面PAB.又BC?
平面PCB,:
平面PAB丄平面
PCB.…
(n)证明:
•••PC丄AD,
兀兀
•在梯形ABCD中,由AB丄BC,AB=BC,得/BAC==,•/DCA=/BAC=~
又AC丄AD,故△DAC为等腰直角三角形,
•DC=_】AC=.污(■「:
AB)=2AB.
DHJDCI
连接BD,交AC于点M,则---=〒-=2.
PE
=Dffl
丽
=T"
连接〔“,在厶BPD中,
=2,•••PD//EM,
又PD?
/平面
EAC,EM?
平面EAC,「.PD//平面EAC.
(川)解:
以A为坐标原点,
AB,AP所在直线分别为y轴,z轴,建立如图所示的空间直
角坐标系•则A(0,0,0),B(0,3,0),C(3,3,0),P(0,0,3),E(0,2,
设,.=(X,y,1)为平面
i+y=0
2屮二0
AEC的一个法向量,则讥
1丄疋
■■
,讥1
=(0,2,
1),
1
1-"
2,y=-
~2,•门1
=2,
-2,
丄T■
解得x=
丄二丁
1).
•••汀=(3,3,0),二
沪=(0,-3,3),
1)为平面PBC的一个法向量,则石;
,解得X,=0,yz=1,•••■:
=(0,
1,1).
■/cosV
nl
丄守,
AF可证心为平面PBC的一个法向量.
,和>
=I
n2
|=
•平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为
5.
(1)详见解析;
(2)-.
3
试题分析:
(1)连接AC,BD交于点N,连接MN,证明MN平面ABCD,从而
MN即为所求;
(2)建立空间直角坐标系,求得两个平面的法向量后即可求解
试题解析:
(1)连接AC,BD交于点N,连接MN,则MN平面ABCD,
•/M为PD中点,N为BD中点,•••MN为PDB的中位线,二MN//PB,
又•••平面ABCD平面ABPE,平面ABCDI平面ABPEAB,BC平面
ABCD,BCAB,
丄平面ABPE,丄刃,泉丁PE丄血,=:
.PB丄平面ABCDf:
丄
平面ABCD.
(2)为原点,血込血所在直线分別为盘轴,F轴.£
轴建立坐标系,
丄平面FEA,二平面去向量彳二忌二©
QD,
又TQCO01),恵(“仍,JX2.2.0),.-.52=^0-1),5?
=(1Z-1),设平面①驱的法向量
_|,k_尼二君一1_—2
盹=(兀兀刁』贝r&
令兀=1』信旳=(1厂一」)』「弋饰只理旳>=一・
2z+2y-z=023
X-:
D-PE-A为锐二面角,二二面角D-FE-A的余萤值対-•
6【解答】
(本小题满分14分)
(1)证明:
如右图,取AiB的中点D,连接AD,…
因AAi=AB,贝UAD丄AiB由平面AiBC丄侧面AiABBi,
且平面AiBCA侧面AiABBi=AiB。
得AD丄平面AiBC,又BC?
平面AiBC,所以AD丄BC.…
因为三棱柱ABCAiBiCi是直三棱柱,
则AAi丄底面ABC,所以AAi丄BC.又AAinAD=A,从而BC丄侧面AiABBi,
又AB?
侧面AiABBi,故AB丄BC.
(2)解:
连接CD,由(i)可知AD丄平面AiBC,
则CD是AC在平面AiBC内的射影
%
•••/ACD即为直线AC与平面AiBC所成的角,^UZACg——…
6
在等腰直角△AiAB中,AAi=AB=2,且点D是AiB中点
•汕斗釧B二Ji,且me二今,乙血二+二虬二辺…
过点A作AE丄AiC于点E,连DE
由(i)知AD丄平面AiBC,贝UAD丄AiC,且AEnAD=A
•••/AED即为二面角A-AiC-B的一个平面角,…
亠2X2^22麻
且直角△A1AC中:
ae-AjC=-^=^=—又机二屁z初阻今••血/迥罟遥4F
且二面角A-AiC-B为锐二面角
7.【解答】证明:
(
(1)由于面VAD是正三角形,设AD的中点为E,
贝UVE丄AD,而面VAD丄底面ABCD,贝UVE丄AB.
又面ABCD是正方形,则AB丄AD,故AB丄面VAD.
(2)由AB丄面VAD,则点B在平面VAD内的射影是A,设VD的中点为F,连AF,BF由厶VAD是正△,贝UAF丄VD,由三垂线定理知BF丄VD,故/AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角.
设正方形ABCD的边长为a,
则在RtAABF中,
AB=a,
ABa
2^3
tan/AFB=匚
_3
Ta
故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为
8.【解答】
(本小题满分12分)
证明:
(I)•••四边形ABCD为菱形
•••AD//BC,且BC?
面ADEF,AD?
面ADEF,
•••BC//面ADEF,且面ADEFQ面BCEF=EF二EF//BC.
解:
(n)•••FO丄面ABCD,•FO丄AO,FO丄OB
又•••OB丄AO,以O为坐标原点,OA,OB,OF分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
取CD的中点M,连OM,EM.易证EM丄平面ABCD.
又•••BC=CE=DE=2EF=2,得出以下各点坐标:
B(0,1,0),C(-.
0,0),D(0,-1,0),
F(0,0,
Vs),E(-
—-丄,.「;
向量『匸
=(-
(-,
丄,.-;
),向量■.「=(-.一;
-1,0),向量
-1,V3)
设面BCFE的法向量为:
,得到
BE
时,一=(-1,.「;
1),
面AOF的一个法向量n=(0,1*0)
设面AOF与面BCEF所成的锐二面角为0,
故面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值为
如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,设BC=1,
则A(0,0,0)P(0,0,2),B(2,0,0),M(1,12,1),D(0,2,0)
(i)因为0・—刃(1,1)=0所以pb丄dm.
(n)因为「・「二一.-i「J..:
=0所以PB丄AD•
又PB丄DM.
因此1L・「的余角即是BD与平面ADMN.
所成的角.
因为co5<
H-AD>
^y所以<
>
=y
因此BD与平面ADMN所成的角为——.
10.试题解析:
在梯形ABCD中,
•/AB//CD,ADDCCB1,ABC60o,二AB2,
•••AC2AB2BC22AB?
BC?
cos60°
3,
222
•ABACBC,•BCAC,
•平面ACFE平面ABCD,平面ACFEI平面ABCDAC,BC平面ABCD,
•BC平面ACFE.
(2)由
(1)分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴发建立如图所示空间直角坐标系,
令FM(0.3),则C(0,0,0),A(.3,0,0),B(0,1,0),M(,0,1),
uuu-uuuuLT
•AB(.3,1,0),BM(,1,1)•设n,(x,y,z)为平面MAB的一个法向量,
LTUUU-
m?
AB0V3xy0u"
厂厂
由cTuuuu,得3xy0,取x1,则q(1「3,'
、3),
n1?
BM0xyz0
un
•••n(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,
LTUU
二cos
13(.3)21
|n^1gIE|
•/0
•、3,•••当
0时,C0S有最小值一,
3时,cos
有最大值丄,•••C0S["
」]•
272
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