第11章曲线积分与曲面积分.docx
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第11章曲线积分与曲面积分
1对弧长的曲线积分
(扩展)对弧长曲线积分的应用
2对坐标的曲线积分
3格林公式及其应用
4对面积的曲面积分
课后典型题
1对弧长的曲线积分
之前已经学过计算曲线长度的积分
(1)对于y=y(x),有
(2)对于参数方程有
(3)对于极坐标方程是,转成直角坐标,则。
代入
上面3个都是求弧长,现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。
那么,如果把被积函数f(x,y)看成是密度,那么得到的就是曲线质量。
当然如果密度均匀为1,则求的弧长积分就是弧长。
如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。
对弧长的曲线积分,称为“第一类曲线积分”。
扩展到空间,若被积函数是f(x,y,z)那么,就表示在空间曲线L的密度,求得的结果就是空间的线质量。
定义:
计算步骤
1画出图形
2写出L的方程,指出自变量范围,确定积分上下限(下限必须小于上限)
3由L类型写出对应ds的表达式
4因被积函数f(x,y)的点x,y在L上变动,因此x,y必须满足L的方程。
即把L中的x,y代入被积函数f(x,y)中。
5写出曲线积分的定积分表达式,并计算。
注,二重积分中xy在投影域D内动,而被积函数的xy在L上动,故(x,y)必须满足L。
如,L的方程y=k,则(保留。
还不太懂)
参数方程
设曲线有参数方程,则有:
显式方程
设曲线为,则有:
设曲线为,则有:
极坐标方程
设曲线为则有:
注:
常用,半径R的圆弧对应
空间曲线方程
设曲线为空间曲线,则有:
设在L上f(x,y)<=g(x,y),则,特别的,有
此性质不能用于第二类曲线积分
扩展对弧长曲线积分的应用
(其实和二重积分一样,完全可以自己推导)
质心坐标:
、
转动惯量:
I=mr^2,因此有
设平面力场的力为求该力沿着曲线L从a到b所做的功。
对于直线的路径ab来说功的大小是(这里有两个特点:
1路径是直线2力的方向和位移的方向相同)
6、特别性质
第二类曲线积分不具有此性质。
其证明比较简单,看课本。
2对坐标的曲线积分
对坐标的曲线积分,分为对x坐标和y坐标的曲线积分,两者合在一起,为:
求解曲线积分时,最好先用格林公式看看是否与路径有关?
①作出L的图形,标出L路径的方向
②写出L的方程,并指出起点和终点的参数注意,并不分谁大谁小。
③把分别代入被积表达式,α为下限,β为上限。
注意:
仍然有被积函数的(x,y)须满足L方程。
空间曲线计算必须化为参数方程来计算
同样的,在计算时,算圆能用直角坐标很难,用极坐标就很简单
不同点:
第一类曲线积分是对弧长的曲线积分,其被积函数f(x,y)仅是一个数量值。
而第二类曲线积分是对坐标的曲线积分,其被积函数既有大小,又有方向。
相同点:
第二类曲线积分可以化为第一类曲线积分
在力场中,沿路径L从A到B,第一类曲线积分和第二类都是可以计算的。
有:
4、第一类和第二类曲线积分的互相转换
为了能消去dx,dy,得到第一类曲线积分的ds,我们将x,y改写设为参数方程。
设,则
设,则代表着L上某点的切线方向。
而、则就是切线方向的单位向量。
若从切线方向上考虑,则、,因此可以改为
若设,则结果也可以改为而这种在转换时更方便常用一些。
(见典型例题)
格林公式及其应用
文中全部的P,Q都代表P(x,y),Q(x,y)
一个光滑的闭曲线L围成了一个D区域。
设P(x,y),Q(x,y)都存在一阶连续偏导数,那么则有:
格林公式对L所围成的形状没有要求,只要求L是一条正向的闭曲线。
(正向即走在该路径上,左手边是被积域)
注意,被积P,Q不能在定义域内出现奇点,出现了,就是不可偏导的了。
那么怎么办?
一般使用挖洞法。
上式是二重积分与第二类曲线积分的关系。
经过推导还有与第一类曲线积分的关系:
若令n为下图向量,则有:
使用格林公式的情况:
格林公式使求曲线积分和二重积分可以互换,因此在求曲线积分(多为第二类)或者二重积分时又多了一个格林公式这个方法。
注意,曲线积分第一类又可以化为第二类,如果这样考,可能会综合一些。
(当然曲线第一类也有直接跟格林公式互换的方法(见上))
(加边法)求非封闭曲线的第二类曲线积分:
可以加一条边成封闭曲线,再用格林公式算。
算完后再减去加上的那条边的第二类曲线积分。
注意:
一般加的都是一些简单的直线,如加x=a或y=a等。
这样减它的第二类曲线积分时非常简单,很多步都可以化为0.
(挖洞法)求闭曲线内含奇点的积分:
那么挖一个什么形状的洞呢?
一般做的都是让出现奇点的部分化为常数。
如就做一个分母一样函数的椭圆。
做一个
1、求闭区域的面积
显然,令即可。
于是,可选P=-y,Q=x,得,于是求出面积。
注,该公式适合求边界曲线是参数方程的形式。
已知边界曲线参数方程,求面积用此公式。
曲线积分结果与路径无关,是指只与起点终点有关。
其物理意义就是变力做功何时与路径无关?
设L1与L2是起点终点相同的两条不同路径,则在平面连通域内与路径无关的充要条件是,即绕闭曲线一周,曲线积分结果为0,则就与路径无关。
这个方法对任何连通区域均有效。
但是下面的定理仅对单连通域有效:
定理:
在一个单连通域G内,的曲线积分与L路径无关的充要条件是:
因为如果等于0,则闭曲线就等于0。
之所以用单连通区域,因为单连通域内一定存在偏导数。
复连通区域内可能含有奇点,无法满足条件。
求解曲线积分时,最好先用格林公式看看是否与路径有关?
设,显然对应相等,,而(必要条件须构造亦可证),因此,是u(x,y)全微分的充要条件依旧是:
当然,前提是一阶连续偏导数存在,因此仍然仅在单连通域内有效。
从式中可见,存在是u(x,y)的全微分的充要条件与坐标曲线积分路径无关的充要条件是一样的。
因此,与积分路径无关。
若存在这个函数,那么如何求得这个函数u(x,y)?
根据上例证明时构造的,可求
因为构造出来的存在,因此满足积分与路径无关,因此,自己可以选择折线进行积分,这样每条横或竖的折线总能有dx或dy=0,。
如果x0,y0可以任意选,一般选择原点(得到0,0处的特解)。
如果不选择原点,则结果与选择原点的结果相差一个常数C,有
这种上下限是二元的积分,按给定的具体路径积。
像我们做的路径无关的,自己定制了横竖的折线去积的,之所以能导出后面的式子,是因为每条直线分别积,一个直线消去了dx=0,一个直线消去了dy=0
(注:
若要计算
其实只要不跳步的用公式,而是自己画图认真算算,是不会错的,就怕背公式,还不熟,就错了)
设是连通的开区域D上的有连续偏导数的向量场,则以下四个条件是等价的:
1曲线积分与路径无关
2对D内任何封闭的曲线L均有
3是某函数u(x,y)的全微分,即
4是势场(梯度场):
即存在u(x,y)使得
5若D是单连通区域,则以上四个条件等价于
1先看是否,若是,说明路径无关,故可以自己选一条简单的折线积分
2若与积分路径有关,但比较简单如常数,则可以用格林公式转换二重积分计算。
(非闭区域可以加边法)
3如果12均难以满足,只能转换为定积分慢慢求了。
遇到求解这个方程。
如果恰有,说明存在u(x,y),使得,上面求u(x,y)已经说过,若存在u(x,y),则通解是u(x,y)=C
因此,通解为
其中x0,y0自己选一个恰当的。
和上面的一样。
4对面积的曲面积分
(第一类曲面积分)其公式是简单的,二重积分中已经学过求空间曲面的面积,那时候没有被积函数,如果添加一个的话,就求得了空间曲面的质量。
显然,也可以投影到yoz平面或者xoz平面,公式做相应更改即可。
课后典型题
注意,F的表达式如何求?
答案:
k(a^2+b^2)/2(见课本P198)
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- 11 曲线 积分 曲面
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