高考数学模拟试题等差等比数列等差等比数列公式大全Word格式文档下载.docx
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a1=3-m.
②代入得3m-m2+-=0
m=0(舍去)或m=5故选C.
2.(文)已知Sn为等差数列{an}的前n项和若S1=1=4则的值为( )
A. B. C. D.4
[答案] A
[解析] 由等差数列的性质可知S2S4-S2S6-S4成等差数列由=4得=3则S6-S4=5S2
所以S4=4S2S6=9S2=.
全国大纲文8)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3S4=15则S6=( )
A.31B.32
C.63D.64
[解析] 解法1:
由条件知:
an>
0且
∴q=2.
a1=1S6==63.
解法2:
由题意知S2S4-S2S6-S4成等比数列即(S4-S2)2=S2(S6-S4)即122=3(S6-15)S6=63.
3.(文)设Sn为等比数列{an}的前n项和且4a3-a6=0则=( )
A.-5B.-3
C.3D.5
[答案] D
[解析] 4a3-a6=04a1q2=a1q5a1≠0q≠0
q3=4===1+q3=5.
新课标理3)等比数列{an}的前n项和为Sn已知S3=a2+10a1a5=9则a1=( )
A.B.-
C.D.-
[解析] S3=a2+10a1a1+a2+a3=a2+10a1a3=9a1=a1q2q2=9
又a5=99=a3·
q2=9a3a3=1
又a3=9a1故a1=.
4.(2021·
新乡、许昌、平顶山调研)设{an}是等比数列Sn是{an}的前n项和对任意正整数n有an+2an+1+an+2=0又a1=2则S的值为( )
A.2B.200
C.-2D.0
[解析] 设公比为qan+2an+1+an+2=0a1+2a2+a3=0a1+2a1q+a1q2=0q2+2q+1=0q=-1又a1=2
S===2.
5.(2021·
哈三中二模)等比数列{an}满足a1+a2+a3+a4+a5=3a+a+a+a+a=15则a1-a2+a3-a4+a5的值是( )
A.3B.
C.-D.5
[解析] 由条件知=5
a1-a2+a3-a4+a5===5.
6.(2021·
镇江模拟)已知公差不等于0的等差数列{an}的前n项和为Sn如果S3=-21a7是a1与a5的等比中项那么在数列{nan}中数值最小的项是( )
A.第4项B.第3项
C.第2项D.第1项
[答案] B
[解析] 设等差数列{an}的公差为d则由S3=a1+a2+a3=3a2=-21得a2=-7又由a7是a1与a5的等比中项得a=a1·
a5即(a2+5d)2=(a2-d)(a2+3d)将a2=-7代入结合d≠0解得d=2则nan=n[a2+(n-2)d]=2n2-11n对称轴方程n=2又nN_结合二次函数的图象知当n=3时nan取最小值即在数列{nan}中数值最小的项是第3项.
二、填空题
7.(2021·
广东六校联考)设曲线y=xn+1(nN_)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn则log2021x1+log2021x2+…+log2021x20__的值为________.
[答案] -1
[解析] 因为y′=(n+1)xn所以在点(1,1)处的切线的斜率k=n+1
所以=n+1所以xn=
所以log2021x1+log2021x2+…+log2021x20__
=log2021(x1·
x2·
…·
x20__)
=log2021(·
·
)
=log2021=-1.
8.(2021·
中原名校二次联考)若{bn}为等差数列b2=4b4=8.数列{an}满足a1=1bn=an+1-an(nN_)则a8=________.
[答案] 57
[解析] bn=an+1-ana8=(a8-a7)+(a7-a6)+…+(a2-a1)+a1=b7+b6+…+b1+a1.
由{bn}为等差数列b2=4b4=8知bn=2n
数列{bn}的前n项和为Sn=n(n+1).
a8=S7+a1=7×
(7+1)+1=57.
9.(2021·
辽宁省协作校联考)若数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(-1)n+1bn=nN+且a1=2设数列{an}的前n项和为Sn则S63=________.
[答案] 560
[解析] bn==又a1=2a2=-1a3=4a4=-2a5=6a6=-3…
S63=a1+a2+a3+…a63=(a1+a3+a5+…+a63)+(a2+a4+a6+…+a62)=(2+4+6+…+64)-(1+2+3+…+31)=1056-496=560.
三、解答题
10.(2021·
豫东、豫北十所名校联考)已知Sn为数列{an}的前n项和且a2+S2=31an+1=3an-2n(nN_)
(1)求证:
{an-2n}为等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
[解析]
(1)由an+1=3an-2n可得
an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-3·
2n=3(an-2n)
又a2=3a1-2则S2=a1+a2=4a1-2
得a2+S2=7a1-4=31得a1=5a1-21=3≠0
=3故{an-2n}为等比数列.
(2)由
(1)可知an-2n=3n-1(a1-2)=3n故an=2n+3n
Sn=+=2n+1+-.
11.(文)(2021·
山西四校联考)已知等比数列{an}中各项都是正数且a1a3,2a2成等差数列则=( )
A.1+B.1-
C.3+2D.3-2
[解析] 由条件知a3=a1+2a2
a1q2=a1+2a1q
a1≠0q2-2q-1=0
q>
0q=1+
=q2=3+2.
(理)在等差数列{an}中a1+a2+a3=3a18+a19+a20=87则此数列前20项的和等于( )
A.290B.300
C.580D.600
[解析] 由a1+a2+a3=3a18+a19+a20=87得
a1+a20=30
S20==300.
12.(文)已知数列{an}{bn}满足a1=b1=1an+1-an==2nN+则数列{ban}的前10项的和为( )
A.(49-1)B.(410-1)
C.(49-1)D.(410-1)
[解析] 由a1=1an+1-an=2得an=2n-1
由=2b1=1得bn=2n-1
ban=2an-1=22(n-1)=4n-1
数列{ban}前10项和为=(410-1).
(理)若数列{an}为等比数列且a1=1q=2则Tn=++…+等于( )
A.1-B.(1-)
C.1-D.(1-)
[解析] 因为an=1×
2n-1=2n-1所以an·
an+1=2n-1·
2n=2×
4n-1
所以=×
n-1所以{}也是等比数列
所以Tn=++…+=×
=(1-)故选B.
13.给出数列………在这个数列中第50个值等于1的项的序号是( )
A.4900B.4901
C.5000D.5001
[解析] 根据条件找规律第1个1是分子、分母的和为2第2个1是分子、分母的和为4第3个1是分子、分母的和为6…第50个1是分子、分母的和为100而分子、分母的和为2的有1项分子、分母的和为3的有2项分子、分母的和为4的有3项…分子、分母的和为99的有98项分子、分母的和为100的项依次是:
……第50个1是其中第50项在数列中的序号为1+2+3+…+98+50=+50=4901.
[点评] 本题考查归纳能力由已知项找到规律“1”所在项的特点以及项数与分子、分母的和之间的关系再利用等差数列求和公式即可.
14.(2021·
唐山市一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn且a1+a3=a2+a4=则( )
A.4n-1B.4n-1
C.2n-1D.2n-1
[解析] 设公比为q则a1(1+q2)=a2(1+q2)=q=a1+a1=a1=2.
an=a1qn-1=2×
n-1Sn==4[1-n]==2(2n-1-)
=2n-1.
[点评] 用一般解法解出a1、q计算量大若注意到等比数列的性质及求可简明解答如下:
a2+a4=q(a1+a3)q=
====2n-1.
15.(2021·
新乡、许昌、平顶山调研)如图所示将正整数排成三角形数阵每排的数称为一个群从上到下顺次为第一群第二群…第n群…第n群恰好n个数则第n群中n个数的和是________.
[答案] 3·
2n-2n-3
[解析] 由图规律知第n行第1个数为2n-1第2个数为3·
2n-2第3个数为5·
2n-3……设这n个数的和为S
则S=2n-1+3·
2n-2+5×
2n-3+…+(2n-3)·
2+(2n-1)·
20
2Sn=2n+3·
2n-1+5·
2n-2+…+(2n-3)·
22+(2n-1)·
21
②-得Sn=2n+2·
2n-1+2·
2n-2+…+2·
22+2·
2-(2n-1)
=2n+2n+2n-1+…+23+22-(2n-1)
=2n+-(2n-1)
=2n+2n+1-4-2n+1
=3·
2n-2n-3.
16.在数列{an}中若a-a=p(n≥2nN_)(p为常数)则称{an}为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断:
若数列{an}是等方差数列则数列{a}是等差数列;
数列{(-1)n}是等方差数列;
若数列{an}既是等方差数列又是等差数列则该数列必为常数列;
若数列{an}是等方差数列则数列{akn}(k为常数kN_)也是等方差数列.
其中正确命题的序号为________.
[答案]
[解析] 由等方差数列的定义、等差数列、常数列的定义知均正确.
17.(文)(2021·
浙江理18)在公差为d的等差数列{an}中已知a1=10且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
(1)求dan;
(2)若d成立的最小正整数n的值.
[解析] 本题主要考查等差数列的概念及有关计算数列求和的方法简单分式不等式的解法化归转化思想及运算求解能力等.
(1)解法1:
{an}是等差数列
Sn=na1+d=na1+×
2
=n2+(a1-1)n.
又由已知Sn=pn2+2n
p=1a1-1=2a1=3
an=a1+(n-1)d=2n+1p=1an=2n+1.
由已知a1=S1=p+2S2=4p+4
即a1+a2=4p+4a2=3p+2.
又等差数列的公差为2a2-a1=2
2p=2p=1a1=p+2=3
解法3:
当n≥2时an=Sn-Sn-1=pn2+2n-[p(n-1)2+2(n-1)]=2pn-p+2
a2=3p+2由已知a2-a1=22p=2p=1
a1=p+2=3an=a1+(n-1)d=2n+1
p=1an=2n+1.
(2)由
(1)知bn==-
Tn=b1+b2+b3+…+bn
=(-)+(-)+(-)+…+(-)=1-=.
又Tn>
>
20n>
18n+9
即n>
又nN_.
∴使Tn=成立的最小正整数n的值为5.
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