圆形薄板在均布载荷作用下的挠度Word版Word下载.docx

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3、载荷与内力

载荷：

①平面载荷：

作用于板中面内的载荷

②横向载荷垂直于板中面的载荷

③复合载荷

内力：

①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形

②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形

◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。

◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。

4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫Kirchhoff

①板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线

的挠度。

只有横向力载荷

②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上各点间的距离不变。

类同于梁的平面假设:

变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。

③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。

◆研究:

弹性,薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题

分析模型

分析模型：

半径R，厚度t的圆平板受轴对称载荷Pz，在r、θ、z圆柱坐标系中，内力Mr、Mθ、Qr三个内力分量

轴对称性：

几何对称，载荷对称，约束对称，在r、θ、z圆柱坐标系中，挠度

只是r的函数，而与θ无关。

求解思路：

经一系列推导（基于平衡、几何、物理方程）→弯曲挠度微分方程（

）

→求

求→内力

→求应力

微元体：

用半径为r和r+dr的圆柱面和夹角为dθ的两个径向截面截取板上一微元体。

微元体内力：

径向：

Mr、Mr+（dMr/dr）dr

周向：

Mθ、Mθ

横向剪力：

Qr、Qr+（dQr/dr）dr

微元体外力：

上表面

1、平衡方程

微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零，即ΣMT=0

（2-54）

（圆平板在轴对称载荷下的平衡方程）

2、几何协调方程（W~ε）

取

，径向截面上与中面相距为z，半径为r与

两点A与B构成的微段

板变形后：

微段的径向应变为

（第2假设）

过A点的周向应变为

（第1假设）

作为小挠度

，带入以上两式，得

应变与挠度关系的几何方程：

（2-55）

3、物理方程

根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。

由广义虎克定律可得圆板物理方程为：

（2-56）

4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程

（2-55）代入（2-56）式：

（2-57）

通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩

和

表示成

的形式。

由式（2-57）可见，

沿着厚度（即z方向）均为线性分布，图2-31中所示为径向应力的分布图。

、

的线性分布力系便组成弯矩

。

单位长度上的径向弯矩为：

（2-58a）

同理

（2-58b）

参照38页壳体的抗弯刚度，——“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关

（2-58）代入（2-57），得弯矩和应力的关系式为：

（2-59）

（2-58）代入平衡方程（2-54），得：

即：

受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程：

（2-60）

Qr值可依不同载荷情况用静力法求得

3.4.3圆平板中的应力（圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用）

承受均布载荷时圆平板中的应力：

①简支②固支

承受集中载荷时圆平板中的应力

一、承受均布载荷时圆平板中的应力

据图2-32，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即：

代入2-60式中，得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为：

对r连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率：

（2-61）

对r连续三次积分，得到中面在弯曲后的挠度。

（2-62）

C1、C2、C3均为积分常数。

对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2＝0，于是上述方程改写为：

（2-63）

式中C1、C3由边界条件确定。

下面讨论两种典型支承情况（两种边界条件）

①周边固支圆平板

②周边简支圆平板

周边固支圆平板周边简支圆平板

图2-33承受均布横向载荷的圆板

1、周边固支圆平板：

（在支承处不允许有挠度和转角）

周边固支圆平板

将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：

代入式（2-63）得周边固支平板的斜率和挠度方程：

（2-64）

将挠度w对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：

（2-65）

由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r处上、下板面的应力表达式：

（2-66）

周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34（a）所示。

最大应力在板边缘上下表面，即

2、周边简支圆平板

将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数C1、C3：

代入式（2-63）得周边简支平板的挠度方程：

（2-67）

周边简支圆平板

弯矩表达式：

（2-68）

应力表达式：

（2-69）

可以看出，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处

，

周边简支板下表面的应力分布曲线见图2-34（b）。

图2-34圆板的弯曲应力分布（板下表面）

3、比较两种支承

a.边界条件

周边固支时:

周边简支时:

b.挠度

周边固支时，最大挠度在板中心

（2-70）

周边简支时，最大挠度在板中心

（2-71）

→

表明:

周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。

c.应力

周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为

（2-72）

周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为

（2-73）

周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。

内力引起的切应力：

在均布载荷p作用下，圆板柱面上的最大剪力

（

处），

近似采用矩形截面梁中最大切应力公式

得到

最大正应力与

同一量级；

最大切应力则与

同一量级。

因而对于薄板R>

>

t，板内的正应力远比切应力大。

从以上可以看出：

与

圆平板的材料（E、μ）、半径、厚度有关。

●若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都可减小挠度和降低最大正应力。

●工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于固支条件

●增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法来提高平板的强度与刚度

4、结论

a.板内为二向应力状态：

且为弯曲应力，平行于中面各层相互之间的正应力

及剪力

引起的切应力

均可予以忽略。

b.应力分布:

沿厚度呈线性分布,且最大值在板的上下表面。

沿半径呈抛物线分布,且与周边支承方式有关。

工程实际中的圆板周边支承是介于两者之间的形式。

c.强度:

简支

固支

∴

d.刚度:

∴周边固支的圆平板在刚度和强度两方面均优于周边简支圆平板

e.薄板结构的最大弯曲应力

成正比，而薄壳的最大拉（压）应力

与

成正比。

故在相同

条件下，薄板所需厚度比薄壳大。

二、承受集中载荷时圆平板中的应力

挠度微分方程式（2-60）中，剪力

可由图2-35中的平衡条件确定：

采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠度和弯矩方程及计算其应力值

图2-35圆板中心承受集中载荷时板中的剪力Qr

3.4.4承受轴对称载荷时环板中的应力

◆通常的环板仍主要受弯曲，仍可利用上述圆板的基本方程求解环板的应力、应变，只是在内孔边缘上增加了一个边界条件。

◆当环板内半径和外半径比较接近时，环板可简化为圆环。

圆环在沿其中心线（通过形心）均布力矩M作用下，矩形截面只产生微小的转角而无其它变形，从而在圆环上产生周向应力。

这类问题虽然为轴对称问题，但不能应用上述圆平板的基本方程求解。

图2-36外周边简支内周边承受均布载荷的圆环板

设圆环的内半径为

、外半径为

、形心处的半径为

、厚度t，沿其中心线（通过形心）均布力矩M的作用，如图2-37所示。

文献[40]给出了导出圆环绕其形心的转角

和最大应力

（在圆环内侧两表面）

（2-74）

图2-37圆环转角和应力分析

（注：

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