现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计试验报告Word格式文档下载.docx
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假设系统的状态空间表达式为
(1)
x=Ax+B
y=Cx
其中A:
:
nxr;
C:
:
mxn
(2)
(3)
引入状态反馈,使进入该系统的信号为
u=r-Kx
式中T为系统的外部参考输入,K为"
X"
矩阵.
可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式为
'
%=(?
!
-BK)x+br
可以证明,若给定系统是完全能控的,则可以通过状态反馈实现系统的闭环极点进行任意配置。
假定单变量系统的n个希望极点为入1,入2,…入n,则可以求出期望的闭环特征方程为
f\s)=(s-Xl)(s-A,2)…(s_入n)二s"
++…+a”
这是状态反馈阵K可根据下式求得
K=[0…01忆一\厂(4)(4)
式中Uc=\bAb…"
1引,厂(A)是将系统期望的闭坏特征方程式中的s换成系统矩阵A后的矩阵多项式。
例1已知系统的状态方程为
.r~2-1
1X+1U
;
=10
-10
采用状态反馈,将系统的极点配置到・2,・3,求状态反馈阵K..
»
%Exampie1・爪
A=[-2-11;
101:
-101];
b=[l;
l;
l]:
Uc=ctrb(Ajb):
rc=rank(Uc):
f=conv([l,1],conv([l,2],[1,3])):
>
K=[zeros(1,length(A)-1)1]*inv(Uc)*polyvalm(f,A)
-124
其实,在MATLAB的控制系统工具箱中就提供了单变量系统极点配置函数acker(),该函数的调用格式为
K=acker(A,b,p)
式中,P为给定的极点,K为状态反馈阵。
101;
-101];
b=[l;
l]:
rc=rank(ctrb(A,b));
p=[-1,-2,-3]:
K=acker(A,b,p)
对于多变量系统的极点配置,MATABLE控制系统工具箱也给出了函数place(),其调用格式为
Replace(A,B,P)
例2已知系统的状态方程为
•
■0
10
13
4
2
1_
8
■
-2
0_
-3
x=
x+
-1
1
-10
-14
-5
-9
3
求使状态反馈系统的闭环极点为・2,・3,(-1±
;
V3)/2的状态反馈阵
Ko
%Example2.m
A=[004l;
101328;
-3-30-2;
-10-14-5-9];
B=[-20;
4-3:
-11:
・33]:
p=[-2;
-3:
(-1+sqrt(3)*j)/2;
(-1-sqrt(3)*j)/2]:
K=place(A,B,p)
-18.8906-33.9094-33.3519-24.9302
-14.9296-23.6896-19.2815-17.3577
(二)・状态观测器的设计
1.全维状态观测器的设计
极点配置是基于状态反馈,因此状态X必须可测量,当不可测量时,则应涉及状态观测器来估计状态。
对于系统1
fx=Xx+Bu
[y=Cx⑸
若系统完全能观测则可构造如图所示的状态观测器。
由上图可得状态观测器的状态方程为
x=Ax+Bu・LCx+Ly
即x=(A・LC)x+Bii+Ly
其特征多项式为f(s)=|sI-(A-LC)|
由于工程上要求x能比较快速的逼近x,只能调整反馈阵L,观测器的极点就可以任意配置达到要求的性能,所以,观测器的设计与状态反馈极点配置的设计类似。
假定单变量系统所要求的n个观测器的极点为入|,入2……入”,
则可求出期望的状态观测器的特征方程为
^0=(入■入1)(X-X2)(X-Xn)=s?
+a1s,,_1++a”
这时可求得反馈阵L为
MR
L=f*(A)V°
T•
C
CA
式中V0=•,f*(A)是将系统期望的观测器特征方程中s换
成系统矩阵A后的矩阵多项式。
利用对偶原理,可使设计问题大为简化,求解过程如下:
首先构造系统式(5)的对偶系统
■;
=(6)
W=B,Z
然后,根据下试可求得状态观测器的反馈针L。
=ackei(^9(Jr,P)
或匸=pbce(A‘c1,P)
其中
P为给定的极点,
L为状态观测器的反馈阵。
例3
已知开环系统
x=Ax+bu
V
_010'
ro_
A=001
b=0,C=[100]
-6-11-6
|_1
设计全维状态观测器,使观测器的闭环极点为・2±
/2馆,・5.
解为求出状态观测器的反馈矩阵L,先为原系统构造一对
偶系统,
Z=A7+CTnw=Brz
然后采用极点配置方法对对偶系统进行闭环极点位置的配置,得到反馈阵K,从而可由对偶原理得到原系统的状态观测器的反馈阵L。
A=[010;
00l;
-6-11-6];
b=[O;
O;
l];
C=[100];
dispCTheRankofObstrabilatyMatrix'
)
TheRankofObstrabilatyMatrix
r0=rank(obsv(A,C))
Al=r:
bl二C‘;
Cl=b,:
P=[-2+2*sqrt(3)*j;
-2-2*sqrt(3)*j;
-5];
K=acker(Al,bl,P):
L=K‘
3.0000
7.0000
-1.0000
由于rankr0=3,所以系统哪能观测,因此可设计全维状态观测器。
(三)、带状态观测器的状态反馈系统
状态观测器解决了受控系统的状态重构问题,为那些状态变量不能直接观测得到的系统实现状态反馈创造了条件。
带状态观测器的状态反馈系统由三部分组成,即原系统、观测器、控制器,图示是一个带有全维观测器的状态反馈系统。
设能控能观测的受控系统为
<
x=Ax+Bu
),=Cx
状态反馈控制规律为
u=r-Kx
状态观测器方程为
x=(Ax-LC)x+Bu+厶y
由以上三式可得闭环系统的状态空间表达式
x=Ax-BKx+Br
x=LCx+(/4—厶C一BK)x+Br
(12)
(13)
(14)
(15)
可以证明,由观测器构成的状态反馈闭环系统,其特征多项式等于状态反馈部分的特征多项式|Si-(A-BK)|和观测器部分的特征多项式|sI・(A・LC)|的乘积,而且两者相互独立。
因此,只要系统£
S5C)
能控能观测,则系统的状态反馈阵K和观测器反馈阵L可分别根据
各自的要求,独立进行配置,这种性质被称为分离特性。
例4已知开环系统
01'
X+
X=
20.60
y=[1
)]%
(1)分析原系统的单位阶跃响应。
(2)设计状态反馈使闭环极点为-1.8土丿24,而且状态不可测量,
因此设计状态观测器使其闭环极点为・8.,・8。
(3)分析原系统直接采用状态反馈的单位阶跃响应。
(4)分析原系统带观测器的状态反馈的单位阶跃响应。
解
(1)
|-
I
I-
I"
/・
(2)状态反馈和状态观测器的设计分开进行,状态观测器的设计借助于对偶原理。
在设计之前,应先判别系统的能控性和能观测性。
%Example6・m
A=[01:
20.60]:
b=[0;
C=[10]:
%CheckControllabilityandObservablity
dispTherankofControllabilityMatrix"
TherankofControllabilityMatrix
rc=rank(ctrb(A,b))
rc=
disp('
TherankofObservablityMatrix*)
TherankofObservablityMatrix
ro=rank(obsv(A,C))
ro=
%DesignRegulator
P=[-1.8+2.4*j-1.8-2.4*j]:
K=acker(A,b,P)
29.60003.6000
%DesignStateObserver
bl=CP;
Cl=b‘;
Pl=[-8-8]:
Kl=acker(Abbl,Pl):
L=Kf
L=
16.0000
84.6000
(ariDriqriv)a®
is:
[oo9]=id-[q-q]=iq:
[x*q-D*i-vD*T-x*q-v]=iv«
[9•朋:
9l]=T[9芝9e62]=S-0=a-[0l]=D:
[T0]=q-[09B02U0]=V«
U)
(03S)amii
乙SL
900
osuodsoHdais
200
PO'
O
900
ro
sro
Amp-ltuae
vro
(apy*q・y))e2:
[9・£
9-62]=H-o=a-[ot]=d-[ro]=q:
[o9-osuo]=v«
0.14
StepResponse
0.02
04a
86ooaaapn三dEV
0.5
2.5
Time(sec)
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- 现代 控制 理论 状态 反馈 观测器 设计 试验报告