规划论方法包括线性非线性等Word格式.docx
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1.2基础理论
线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下,求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时,把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步,但往往
也是困难的一步,模型建立得是否恰当,直接影响到求解。
而选适当的决策变量,是我
们建立有效模型的关键之一。
建立数学模型的步骤:
(1)分析实际问题;
(2)确定决策变量;
(3)找出约束条件;
(4)确定目标函数;
(5)整理写出数学模型。
一般线性规划问题的(数学)标准型为
可用Lingo软件进行求解
1.3线性规划的应用
线性规划主要应用在以下几个方面:
(1)在某一企业内部,如何配合产品的销售时间,在各部门的原料,产品的存储,分配的数量等最为合理。
(2)在某一企业生产的产品数量(或产值),如何使现有的设备,人力,原料等条件限制下,合理组织生产,使经济效益最高。
(3)在某地的交通网中,如何合理组织运输,使运费最小。
(4)在市场上产品的(或原料)价格变动时,对于这些变动,企业如何做出最优决策。
(5)合理下料问题,即利用某种原料下料时,如何达到既满足要求,又使原料最少。
(6)配料问题,即生产由各种原料生产的的产品时(如混合饲料等)时,如何既满足规定的质量的标准,又使产品的成本最低。
(7)库存问题,在仓库的容量及其他条件的限制下,确定库存物资的品种,数量,期限,使库存的效益最高。
(8)在投入产出问题中,引进某一目标函数,制定最优的企业(或地区)经济计划。
现以运输问题举例说明:
某商品有m个产地、n个销地,各产地的产量分别为
,各销地的需求量分别为
。
若该商品由i产地运到j销地的单位运价为
,问应该如何调运才能使总运费最省?
解:
引入变量
,其取值为由i产地运往j销地的该商品数量,数学模型为
显然是一个线性规划问题,当然可以用单纯形法求解,也可以用Lingo软件求解
对产销平衡的运输问题,由于有以下关系式存在:
其约束条件的系数矩阵相当特殊,可用比较简单的计算方法,习惯上称为表上作业法(由
康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出,简称康—希表上作业法)。
在这里就不赘述了。
1.4灵敏度分析
在以前讨论线性规划问题时,假定
都是常数。
但实际上这些系数往往是估计值和预测值。
如市场条件一变,
值就会变化;
往往是因工艺条件的改变而改变;
是根据资源投入后的经济效果决定的一种决策选择。
因此提出这样两个问题:
当这
些系数有一个或几个发生变化时,已求得的线性规划问题的最优解会有什么变化;
或者
这些系数在什么范围内变化时,线性规划问题的最优解或最优基不变。
可在模型推广中运用。
二非线性规划
2.1非线性规划的起源
非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划,是运筹学的一个重要分支。
非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。
70年代又得到进一步的发展。
非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用,为最优设计提供了有力的工具。
非线性规划研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题,且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。
1951年H.W.库恩和A.W.塔克发表的关于最优性条件(后来称为库恩-塔克条件)的论文是非线性规划正式诞生的一个重要标志。
在50年代还得出了可分离规划和二次规划的n种解法,它们大都是以G.B.丹齐克提出的解线性规划的单纯形法为基础的。
50年代末到60年代末出现了许多解非线性规划问题的有效的算法,70年代又得到进一步的发展。
20世纪80年代以来,随着计算机技术的快速发展,非线性规划方法取得了长足进步,在信赖域法、稀疏拟牛顿法、并行计算、内点法和有限存储法等领域取得了丰硕的成果。
2.2非线性规划的算法
对于一个实际问题,在把它归结成非线性规划问题时,一般要注意如下几点:
(i)确定供选方案:
首先要收集同问题有关的资料和数据,在全面熟悉问题的基础上,确认什么是问题的可供选择的方案,并用一组变量来表示它们。
(ii)提出追求目标:
经过资料分析,根据实际需要和可能,提出要追求极小化或极大化的目标。
并且,运用各种科学和技术原理,把它表示成数学关系式。
(iii)给出价值标准:
在提出要追求的目标之后,要确立所考虑目标的“好”或“坏”的价值标准,并用某种数量形式来描述它。
(iv)寻求限制条件:
由于所追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或极大化效果,因此还需要寻找出问题的所有限制条件,这些条件通常用变量之间的一些不等式或等式来表示。
0-1规划模型
例
某企业有n个项目可供选择投资,并且至少要对其中一个项目投资。
已知该企业拥有总资金A元,投资于第
(
)个,
个项目需花资金
元,并预计可收益
元。
试选择最佳投资方案。
解设投资决策变量为
则投资总额为
,投资总收益为
因为该公司至少要对一个项目投资,并且总的投资金额不能超过总资金A,故有限制条件
另外,由于
只取值0或1,所以还有
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案,所以这个最佳投资决策问题归
结为总资金以及决策变量(取0或1)的限制条件下,极大化总收益和总投资之比。
因
此,其数学模型为:
上面例题是在一组等式或不等式的约束下,求一个函数的最大值(或最小值)问
题,其中至少有一个非线性函数,这类问题称之为非线性规划问题。
可概括为一般形式
其中
称为模型(NP)的决策变量,f称为目标函数,
和
称为约束函数。
另外,
称为等式约束,
称为不等式的约束。
1.3非线性规划的Matlab解法
Matlab中非线性规划的数学模型写成以下形式
其中f(x)是标量函数,A,B,Aeq,Beq是相应维数的矩阵和向量,C(x),Ceq(x)是非
线性向量函数。
Matlab中的命令是
X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)
它的返回值是向量x,其中FUN是用M文件定义的函数f(x);
X0是x的初始值;
A,B,Aeq,Beq定义了线性约束A*X≤B,Aeq*X=Beq,如果没有线性约束,则
A=[],B=[],Aeq=[],Beq=[];
LB和UB是变量x的下界和上界,如果上界和下界没有约
束,则LB=[],UB=[],如果x无下界,则LB的各分量都为-inf,如果x无上界,则UB
的各分量都为inf;
NONLCON是用M文件定义的非线性向量函数C(x),Ceq(x);
OPTIONS
定义了优化参数,可以使用Matlab缺省的参数设置。
计算下面函数在区间(0,1)内的最小值。
[x,fval,exitflag,output]
=fminbnd('
(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)'
0,1)
x=
0.5223
fval=
0.3974
exitflag=
1
output=
iterations:
9
funcCount:
algorithm:
'
goldensectionsearch,parabolicinterpolation'
2.3非线性规划问题求解
非线性规划分为两大类:
1
无约束非线性规划
表达式为
2
有约束非线性规划
表达式为
2.3.1
无约束非线性规划问题求解
2.3.1.1凸函数概念:
设f(x)为定义在n维欧氏空间
中某个凸集R上的函数,若对任何实数
α(0<
α<
1)以及R中的任意两点
,恒有
则称f(x)为定义在R上的凸函数。
若对每一个α(0<
1)和
≠
∈R恒有
则称f(x)为定义在R上的严格凸函数。
考虑非线性规划
假定其中f(x)为凸函数,
为凸函数,这样的非线性规划称为凸规划。
可以证明,凸规划的可行域为凸集,其局部最优解即为全局最优解,而且其最优
解的集合形成一个凸集。
当凸规划的目标函数f(x)为严格凸函数时,其最优解必定唯
一(假定最优解存在)
2.3.1.2无约束非线性规划问题求解
直接法:
一维搜索法(0.618法),爬山法,座标轮换法
解析法:
梯度法,牛顿法,共轭梯度法
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- 规划 方法 包括 线性 非线性