二元一次方程应用题13种经典习题Word文档下载推荐.docx
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ax+by=c,
1
1
(a,a,b,b均不为零).
ax+by=c
2
(3)二元一次方程组的解:
一般地,二元一次方程组的两个方程的________,叫做二元一次
方程组的解.
四、二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本思想是______,即化二元一次方程组为一元一次方程,主要方
法有______消元法和__________消元法.
《
1.用代入消元法---不要漏掉括号
(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形,用含有x(或y)的代数式表示出y(或
x),即变成y=ax+b(或x=ay+b)的形式;
(2)将y=ax+b(或x=ay+b)代入另一个方程,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元一次
方程;
(3)解这个一元一次方程,求出x(或y)的值;
(4)把x(或y)的值代入y=ax+b(或x=ay+b)中,求y(或x)的值.
2.用加减消元法---不要漏乘
(1)在二元一次方程组中,若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数),则可以直接相减
(或相加),消去一个未知数;
(2)在二元一次方程组中,若不存在
(1)中的情况,可选一个适当的数去乘方程的两边,使其
中一个未知数的系数相同(或互为相反数),再把方程两边分别相减(或相加),消去一个未知
数;
(3)解这个一元一次方程;
(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内,求出另一个未知数.
考点一-----二元一次方程概念与解法
x=2,
y=1
mx+ny=8,
nx-my=1
例1.已知
是二元一次方程组
的解,则2m-n=
7
x
mxy
5
例2.小明和小佳同时解方程组
2xny13,小明看错了m,解得
y2,小华看错了n,
3
x
y7,你能知道原方程组正确的解吗
解得
…
总结分析:
灵活学会“方程解”概念解题。
2x5y-6
axby4
3x5y16
(2ab)2014
bxay8的解相同,求
【巩固】已知方程组
和方程组
的值。
`
—
axbyc
exbyf
y1
【变式】已知关于x,y的二元一次方程组
的解为
,你能求得关于x,y
(xy)b(xy)c
a
e(xy)b(x+y)f
的二元一次方程组
的解吗
<
★剖析总结★:
灵活学会“方程解”概念解题,利用解相同,可以将方程重新组合,
换位联立;
在解题过程中,常常运用类比的思想【巩固2】。
考点二-----解决实际问题
列方程(组)解应用题的一般步骤
审
1、:
有什么,求什么,干什么;
设
2、:
设未知数,并注意单位;
找
3、:
等量关系;
列
4、:
用数学语言表达出来;
解
5、:
解方程(组).
.
验
6、:
检验方程(组)的解是否符合实际题意.
答
7、:
完整写出答案(包括单位).
列方程组思想
:
找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程,所列方程必须满足:
(1)方程两边表示的是同类量;
(2)同类量的单位要统一;
(3)方程两边的数值要相等.
列二元一次方程----解决实际问题
类型:
(1)行程问题:
(2)工程问题;
(3)销售中的盈亏问题;
(4)储蓄问题;
(5)产品配
套问题;
(6)增长率问题;
(7)和差倍分问题;
(8)数字问题;
(9)浓度问题;
(10)几
何问题;
(11)年龄问题;
(12)优化方案问题.
一、行程问题
(1)三个基本量的关系:
;
路程s=速度v×
时间t
时间t=路程s÷
速度V
速度V=路程s÷
(2)三大类型:
①相遇问题:
快行距+慢行距=原距
②追及问题:
快行距-慢行距=原距
③航行问题:
顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
顺速–逆速=2水速;
顺速+逆速=2船速
顺水的路程=逆水的路程
甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小
时20分相遇.相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,
在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米
'
总结升华:
根据题意画出示意图,再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程
问题的常用的解决策略。
【变式】两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在
静水中的速度和水流速度。
二、工程问题
三个基本量的关系:
%
工作总量=工作时间×
工作效率;
工作时间=工作总量÷
工作效率=工作总量÷
工作时间
甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作总量,
注:
当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”。
一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两
组费用共3520元;
若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共
3480元,问:
(1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元
(2)已知甲组单独做需12天完成,
乙组单独做需24天完成,单独请哪组,商店所付费用最少
;
工作效率是单位时间里完成的工作量,同一题目中时间单位必须统一,一般地,
将工作总量设为1,也可设为a,需根据题目的特点合理选用;
工程问题也经常利用线段图
或列表法进行分析。
【变式】小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱万
元;
若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱万元.若只选一
个公司单独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司请你说明理由.
三:
商品销售利润问题
利润问题:
利润=售价—进价,利润率=(售价—进价)÷
进价×
100%
有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
价格调整后,甲商品的利润率为4%,乙商品的利润率为5%,共可获利44元,则两件商品的
进价分别是多少元
【变式】某商场用36万元购进A、B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下
表:
A
B
进价(元/件)
1200
1000
售价(元/件)
1380
求该商场购进A、B两种商品各多少件;
四、银行储蓄问题
税后利息=本金×
利率×
时间—本金×
时间×
税率
4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000
元钱,一种是年利率为%的教育储蓄,另一种是年利率为%的一年定期存款,一年后可取出
元,问这两种储蓄各存了多少钱(利息所得税=利息金额×
20%,教育储蓄没有利息所得税)
)
总结升华:
我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时,有时候不容易
找出其等量关系,这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系,题目中的相
等关系随之浮现出来.
【变式】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.
第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息%;
第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为%.三年后同时取出共得利息元(不计利息
税),问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元?
:
五、生产中的配套问题
(
产品配套问题:
加工总量成比例
某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣
袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗),应分别用多少布料才
能使做的衣身和衣袖恰好配套
生产中的配套问题很多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿
的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例,依次设未知数,用未知数可把它们
之间的数量关系表示出来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键.
!
【变式】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成,如果1立方米木料可以做桌面50个,或做
桌腿300条。
现有5立方米的木料,那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌
腿,做出的桌面和桌腿,恰好配成方桌能配多少张方桌?
六、增长率问题
增长率问题:
原量×
(1+增长率)=增长后的量
(1+减少率)=减少后的量
某工厂去年的利润(总产值—总支出)为200万元,今年总产值比去年
增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元,去年的总产值、总支出各
是多少万元
^
(1)若条件不变,求今年的总产值、总支出各是多少万元?
思考:
本问题还有没有其它的设法
【变式2】某城市现有人口42万,估计一年后城镇人口增加%,农村人口增加%,这样全市
人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。
\
七、和差倍分问题
和差倍总分问题:
较大量=较小量+多余量,总量=倍数×
倍量
“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶,现某地震灾区急需
帐篷14千顶,两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此,全体职工加班加点,“爱心”帐
篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的倍、倍,恰好按时完成了这项
任务.求在赶制帐篷的一周内,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶
【变式】游泳池中有一群小朋友,男孩戴蓝色游泳帽,女孩戴红色游泳帽。
如果每位男孩
看到蓝色与红色的游泳帽一样多,而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍,你知道男
孩与女孩各有多少人吗?
/
八:
数字问题
{
首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示
两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位
在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数,已知前一个四位数比后
一个四位数大2178,求这两个两位数。
~
【变式】一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的
数字交换位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数?
【变式】某三位数,中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9,如果百位数字减1,个
位数字加1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列,求原三位数。
九:
浓度问题
溶液×
浓度=溶质
现有两种酒精溶液,甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7,乙种酒精溶液的酒精与水
的比是4∶1,今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg,问甲、乙两种酒精溶液应各
取多少
¥
解这类问题常用的相等关系是:
混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。
有时候需要设间接未知数,有时候需要设辅助未知数。
【变式】一种35%的新农药,如稀释到%时,治虫最有效。
用多少千克浓度为35%的农药加水
多少千克,才能配成%的农药800千克?
十、几何问题
必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式
如图,用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形,每块长方形地砖的长和宽分别是多
少
几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中,解答这类问题时应注意认
真分析图形特点,找出图形的位置关系和数量关系,再列出方程求解。
【变式】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形,若将此矩形的长边剪掉3厘米,补到较短边上
去,则得到一个正方形,求正方形的面积比矩形面积大多少?
}
解题的关键找两个等量关系,最关键的是本题设的未知数不是该题要求的,本题
要是设正方形的面积比矩形面积大多少,问题就复杂了。
设长方形的长和宽,本题就简单多
了,所以列方程解应用题设未知数是关键。
十一、年龄问题
人与人的岁数是同时增长的
今年父亲的年龄是儿子的5倍,6年后父亲的年龄是儿子的3倍,求现在父亲和儿子
的年龄各是多少
解决年龄问题,要注意一点:
一个人的年龄变化(增大、减小)了,其他人也
一样增大或减小,并且增大(或减小)的岁数是相同的(相同的时间内)。
【变式1】今年,小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现,12年之后,他的年龄变成爷
爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.
十二、优化方案问题
某地生产一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为1000元;
经粗加工后销售,
每吨利润可达4500元;
经精加工后销售,每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获
这种蔬菜140吨,该公司加工厂的生产能力是:
如果对蔬菜进行粗加工,每天可以加工16
吨;
如果进行细加工,每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制,
公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种加工方案
方案一:
将蔬菜全部进行粗加工;
方案二:
尽可能多的对蔬菜进行精加工,没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售;
方案三:
将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好在15天完成
你认为选择哪种方案获利最多为什么?
优化方案问题首先要列举出所有可能的方案,再按题的要求分别求出每个方案的
具体结果,再进行比较从中选择最优方案.
【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机,已知厂家生产三种不同型号的电
视机,出厂价分别为:
甲种每台1500元,乙种每台2100元,丙种每台2500元。
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台,用去9万元,请你研究一下商场
的进货方案;
(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元,在以上的方
案中,为使获利最多,你选择哪种进货方案?
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- 二元 一次方程 应用题 13 经典 习题