北师大版 九年级上册数学 教案 第三章证明三Word文档格式.docx
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北师大版 九年级上册数学 教案 第三章证明三Word文档格式.docx
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等腰梯形在同一底上的
两个角相等。
这个命题的逆命题成立吗?
如果成立,请你证明它。
定理同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
三、随堂练习
课本随堂练习1、2
学生独立练习。
四、课堂总结
平行四边形的主要性质有:
对边相等、对角相等,对边平行,对角线互相平分。
五、布置作业
课本习题3.11、2
3.1平行四边形
(二)
2.能运用综合法证明平行四边形的判定定理。
3.感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。
掌握证明平行四边形的方法。
运用综合法证明问题的思路。
提问:
1.请观察屏幕上的平行四边形,
说一说它有哪些性质?
2.你能写出
(1)中的逆命题吗?
3.如何证明判别一个四边形是平
行四边形的方法?
与同伴交流。
二、小组合作、推理论证
1.的逆命题:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
议一议
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗?
如果是,请你证明它,并与同伴交流。
学生先独立证明,再与同桌交流,上讲台演示。
定理一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
做一做
证明:
如图中的四边形MNOP是平行四边形。
课本随堂练习1、2、3
涉及到平行四边形判定的问题,应注意灵活选择不同的判定方法。
从边看:
有三种判定方法:
两组对边分别相等;
两组对边分别平行;
一组对边平行且相等。
从角看:
两组对角分别相等。
从对角线看:
对角线互相平分。
五、布置作业课本习题3.21、2
3.1平行四边形(三)
2.能运用综合法证明有关定理的结论。
3.理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。
掌握和运用三角形中位线定理。
三角形中位线定理的证明。
一、创设情境
实验:
请同学们思考:
将任意一个三角形分成四个全等的三角形。
你是如何切割的?
活动:
将学生分成四人小组,将准备好的三角形模型进行拼摆。
并互相交流。
定义:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
想一想
三角形的中位线与第三边有怎样的关系?
能证明你的猜想吗?
学生根据提示证明猜想。
定理三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半。
利用这一定理,你能证明出分割出来的四个小三角形全等吗?
学生口述理由。
二、合作交流、拓展延伸
如图,任意作一个四边形,并将其四边的
中点依次连接起来,得到一个新的四边形,
这个新的四边形的形状有什么特征?
请证
明你的结论,并与同伴交流。
学生书写证明过程。
课本随堂练习1
学生自己小结
五、布置作业课本习题3.31、2、3、4
3.2特殊平行四边形
(一)
2.能运用综合法证明矩形性质定理和判定定理。
3.体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。
掌握矩形的性质和判定以及证明方法。
运用综合法证明矩形性质和判定。
1.你了解哪些特殊的平行四边形?
2.这些特殊的平行四边形与平行四边形有哪些关系?
3.能用一张图来表示它们之间的关系吗?
学生回忆,回答。
平行四边形与矩形、菱形、正方形的关系。
二、小组活动
矩形有哪些性质?
定理矩形的四个角都是直角。
定理矩形的对角线相等。
学生先独立证明上述两个定理,再进行交流。
如图,设矩形的对角线AC与BD的交点为E,
那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?
它与AC有什么大小关系?
为什么?
学生分四人小组进行合作交流,相互补充。
推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、范例学习
例1,如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,已知∠AOD=120°
,AB=2.5cm,求矩形对角线的长。
例1还可以怎么证?
四、随堂练习
课本随堂练习1、2
五、课堂总结
矩形具有平行四边形的所有性质,还具有自己独有的性质:
四个角都是直角,对角线相等。
六、布置作业
课本习题3.41、2、3
3.2特殊平行四边形
(二)
2.能运用综合法证明菱形的性质定理和判定定理。
掌握菱形的性质和判定以及证明方法。
运用综合法证明菱形性质和判定。
菱形有哪些性质?
你能证明吗?
学生回顾交流,分析证明。
定理菱形的四条边都相等。
定理菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角。
二、范例学习
例2,如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm,求
1.对角线AC的长度。
2.菱形ABCD的面积。
怎样判别一个平行四边形是菱形?
请证明你的结论。
学生小组合作探索,上讲台演示自己的思维。
定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
学生先独立证明,再合作交流,上台演示。
菱形具有平行四边形的所有性质,菱形的四边相等;
对角线互相垂直;
并且每条对角线平分一组对角。
判定一个四边形是菱形的方法有4种。
五、布置作业课本习题3.51、2、3
3.2特殊平行四边形(三)
2.能运用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论。
掌握正方形的性质和判定以及证明方法。
运用综合法证明。
1.正方形有哪些性质?
2.判定一个四边形是正方形有哪些方法?
学生回忆与交流,知识迁移。
二、小组合作
猜一猜
依次连接任意四边形各边的中点可以得到
一个平行四边形,那么,依次连接正方形各边
的中点能够得到一个怎样的图形呢?
你能证明
所得出的结论吗?
学生分四人小组合作探究。
这个问题还有其他不同的证法吗?
三、合作交流
1.依次连接菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形?
先猜一猜,再证明。
2.依次连接平行四边形四边中点呢?
3.依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关系?
有怎样的关系?
学生分四人小组先各自进行猜测,再进行交流,最后独立证明,上台演示。
在图中,ABCDXA表示一条环形高速
公路,X表示一座水库,B,C表示两
个大市镇,已知ABCD是一个正方形,
XAD是一个等边三角形,假设政府要
铺设两条输水管XB和XC,从水库向
B、C两个市镇供水,那么这两条水管
的夹角(即∠BXC)是多少度?
学生进行推理,发表自己的观点。
课本随堂练习1
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
四边形→平行四边形→矩形→正方形
四边形→平行四边形→菱形→正方形
课 题
回顾与思考
(一)
第1课时
共1课时
教 学
目 标
1.通过回顾与思考.进一步发展学生的推理论证能力.
2.通过回顾与思考,使学生能进一步掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形等有关的性质定理和判定定理,并会灵活应用.
重 点
探索证明的思路与方法.
难 点
对所学的公理、定理的灵活应用.
教具准备
施教时间
教学过程:
一、引入新课
本章的内容已经全部学完,这节课我们来进行复习回顾.
二、回顾与思考
分小组讨论
1.说说平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.
2.“等腰梯形在同一底上的两个角相等”与“等腰三角形的两个底角相等”的证明过程有什么联系?
矩形、菱形、正方形都是平行四边形.但它们都是有特殊性质的平行四边形,正方形不仅是特殊的平行四边形,而已是邻边相等的特殊矩形,也是有一个角为直角的特殊菱形.它们的包含关系如图:
在命题的探索和证明过程中,蕴涵着一些数学思想方法.如:
归纳、类比、转化等.
1.性质结构;
2.判定结构
“矩形、菱形、正方形都是平行四边形,但它们都是有特殊条件的平行四边形.正方形是邻边相等的特殊矩形,也是有一个角是直角的特殊菱形.因此我们可以用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题.”
回答下列问题:
①将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们所包含的关系中.如下图.
②要证明一个四边形是正方形,可以先证明四边形是矩形,再证明这个矩形的_______相等;
或先证明四边形是菱形,再证明这个菱形有一个角是_________;
③如下图,某同学根据菱形的面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是
a2,对此结论,你认为是否正确,若正确,给予证明,若不正确,举一个反例说明.
三、课堂练习
1.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F求证:
(1)△BDE≌△CDF;
(2)∠A=90°
时,四边形AEDF是正方形.
四、课时小结
本节课我们重点复习了本章所学的内容.在这一章里,不仅要理清特殊四边形之间的关系,还要会用几何推理来证明一些问题,而且还要体会数学思想方法在几何证明中的应用.
五、课后作业
(一)课本P92复习题A组,1~9.
(二)复习总结《证明》
(一)、
(二)、(三)的知识内容,并梳理知识体系.
(三)完成一份小结,用白己的语言梳理本章的内容.
回顾与思考
(二)
1.通过回顾与思考,让学生进一步理解证明的必要性.
2.掌握课本中出现的公理,把它作为证明的依据,来用综合法证明已探索过的一些命题和未探索的命题.
3.应用已有的公理和定理通过计算和证明来解决实际问题.
4.理解、体会数学思想方法,并应用在问题的解决过程中.
对公理化方法形成一个整体认识.
一、导入新课
本节是证明的结束,到现在为止.我们学习了《证明
(一)》、《证明》
(二)》、《证明(三)》,因此,我们这节课来回顾、总结一下这部分内容.
在《证明
(一)》、《证明
(二)》、《证明(三)》这三章中.我们从若干条公理及有关定义出发,证明了关于平行线、三角形及四边形等图形的一些命题,能用自已的语言或一幅图表示这一过程吗?
在《证明
(一)》中,我们知道有如下公理:
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行.
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.
3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
5.三边对应相等的两个三角形全等.
6.全等三角形的对应边相等、对应角相等.
由公理1和公理2,我们证明了平行线的性质定理和判定定理,即
性质定理:
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等;
同旁内角互补.
判定定理:
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
两条直线被第三条直线所截.如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线平行.
三角形的内角和定理及其推论.
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
等腰三角形的性质定理及推论,即 定理:
等腰三角形的两个底角相等.
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
等腰三角形的判定定理:
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
有一个角等于60°
的等腰三角形址等边三角形.
直角三角形的性质定理及判定定理,即
在直角角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
直角三形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形直角三角形.
利用定义和公理我们还证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理、角平行线的性质定理和判定理.
在《证明(三)》中,我们利刚定义和公理证明了平行四边形的性质定理、判定定理;
特殊平行四形的性质定理、判定定理.
填空题:
在Rt△ABC中,锐角A的平分线与锐角B的邻补角的平分线相交于点D.则∠ADB=_______.
(2)顺次连结菱形四条边的中点的四边形是_______.
(3)正方形ABCD中,过点D作PD交AC于点M,交AB于点N,交CB的延长线于点P,若MN=1,PN=3,则DM的长为_______.
通过复习三角形、四边形的性质定理、判定定理等,希望同学们要灵活掌握,正确应用,并能理沦联系实际,运用到现实生活中.
五.课后作业
(一)课本P93,复习题B组、C组.
(二)完成—份小结,用自己的语言梳理《证明(—)》、《证明
(二)》、《证明(三)》的知识体系,说说自己学习当中的困难与收获.
第三章《证明三》随堂测试
班级姓名学号
1、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,连接E、F、G、H。
求证:
四边形EFHG是菱形。
2、如图,已知D、E、F分别是AB、AC的中点,G、F分别是PB、PC的中点。
四边形DEFG是平行四边形。
3、如图,已知在△ABC中,D、E、F分别是BC、CA、AB的中点,求证:
(1)四边形AFDE是平行四边形;
(2)□AFDE的周长等于AB+AC。
4、如图,已知在△ABC中,AB=AC,D、F分别是AC和BC的中点,CE=BC。
△DBE是等腰三角形。
5、如图,已知:
在△ABC中,D、F分别是边AB、AC的中点,DG∥FH,分别交直线BC于G、H,求证:
GH=BC。
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