平行四边形的证明题Word格式.docx
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平行四边形的证明题Word格式.docx
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四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形.
13・如图,已知四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB、CD、AC、BD的中点,并且点E、F、G、H有在同一条直线上.
EF和GH互相平分.
14.如图:
?
ABCD中,MN//AC,试说明MQ=NP.
15・已知:
如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点6EF经过点O并且分别和AB,CD相交于点E,F,点G,H分别为OA,OC的中点.求证:
四边形EHFG是平行四边形.
16•如图,已知在7ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,BE=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上,且AG二CH,连接GE、EH、HF、FG・
四边形GEHF是平行四边形;
(2)若点G、H分别在线段BA和DC±
其余条件不变,则
(1)中的结论是否成立?
(不用说明理由)
17.如图,在AABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE、CF.
AF=CE:
(2)如果AC=EF,且ZACB二135。
,试判断四边形AFCE是什么样的四边形,并证明你的结论.
18.如图平行四边形ABCD中,ZABC=60°
点E、F分别在CD、BC的延长线上,AE〃BD,EF丄BF,垂足为点F,DF=2
D是EC中点;
(2)求FC的长.
19•如图,已知ZiABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,ZEFB=60\
DC=EF・
四边形EFCD是平行四边形;
(2)若BF=EF,求证:
AE=AD.
20.如图,四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
(1)请判断四边形EFGH的形状?
并说明为什么;
(2)若使四边形EFGH为正方形,那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质?
C
21・如图,AACD.AABE>
ABCF均为直线BC同侧的等边三角形.
(1)当ABhAC时,证明:
四边形ADFE为平行四边形;
(2)当AB=AC时,顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪儿类?
直接写出构成图形的类型和相应的条件.
22.如图,以AABC的三边为边,在BC的同侧分别作三个等边三角形即AABD、△BCE、AACF,那么,四边形AFED是否为平行四边形?
如果是,请证明之,如果不是,请说明理山.
23・在Z\ABC中,AB二AC,点P为AABC所在平面内一点,过点P分别作PE〃AC交AB于点E,PF/7AB交BC于点D,交AC于点F.若点P在BC边上(如图1),此时PD=O,可得结论:
PD+PE+PF二AB・
请直接应用上述信息解决下列问题:
当点P分别在AABC内(如图2),AABC外(如图3)时,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,PD,PE,PF与AB之间乂有怎样的数量关系,请写出你的猜想,不需要证明
24.如图1,P为RtAABC所在平面内任意一点(不在直线AC上),ZACB=90°
M为AB边中点.操作:
以PA、PC为邻边作平行四边形PADC,连续PM并延长到点E,使ME=PM,连接DE・
探究:
(1)请猜想与线段DE有关的三个结论;
(2)请你利用图2,图3选择不同位置的点P按上述方法操作;
(3)经历
(2)之后,如果你认为你写的结论是正确的,请加以证明;
如果你认为你写的结论是错误的,请用图2或图3加以说明;
(注意:
错误的结论,只要你用反例给予说明也得分)
(4)若将"
RtAABC"
改为〃任意△ABC"
其他条件不变,利用图4操作,并写出与线段DE有关的结论(直接写答案).
25・在一次数学实践探究活动中,小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成
(1)根据小强的分割方法,你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有无数组;
(2)请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线;
(3)lll±
述实验操作过程,你发现所画的两条直线有什么规律?
26•如图,在直角梯形ABCD中,AB//CD,ZBCD=RtZ,AB=AD=10cm,BC=8cm.点P从点A出发,以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动,点Q从点D出发,以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动.已知动点P、Q同时发,当点Q运动到点C时,P、Q运动停止,设运动时间为t・
(1)求CD的长;
(2)当四边形PBQD为平行四边形时,求四边形PBQD的周长;
(3)在点P、点Q的运动过程中,是否存在某一时刻,使得ABPQ的面积为20cm2?
若存在,请求岀所有满足条件的t的值;
若不存在,请说明理山.
27・已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O(0,0)、A(2,0)、B(1,1),则第四个顶点C的坐标是多少?
28・已知平行四边形ABCD的周长为36cm,过D作AB,BC边上的高DE、DF,且DE二4负口D25価cir,求平行四边形ABCD的面积.
29•如图,在平面直角坐标系中,已知O为原点,四边形ABCD为平行四边形,A、B、C的坐标分别是A(・3,V2),B(-2,3^2),C(2,3^2),点D在第一象限.
(1)求D点的坐标;
(2)将平行四边形ABCD先向右平移血个单位长度,再向下平移血个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少?
(3)求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积?
30.如图所示.?
ABCD中,AF平分ZBAD交BC于F,DE丄AF交CB于E.求证:
BE二CF.
1、解答:
(1)V四边形ABCD是平行四边形,AAB=CD,AB〃CD,AZABD=ZCDB.VAE丄BD于E,CF丄BD于F,
AZAEB=ZCFD=90\AAABE^ACDF(A・A・S・),ABE=DF:
(2)四边形MENF是平行四边形.
证明:
有
(1)可知:
BE=DF,•••四边形ABCD为平行四边行,•••AD〃BC,AZMDB=MBD,•••DM二BN,AADNF^ABNE,ANE=MF,ZMFD=ZNEB,AZMFE=ZNEF,•••MF〃NE,•••四边形MENF是平行四边形.
•••OE=OF,OA=OC,AE〃CF,AZDFO=ZBEO,ZFDO=ZEBO,AAFDO^AEBO,AOD=OB.VOA=OC>
四边形ABCD是平行四边形・
3、解答:
(1)VBF=DE,•••BF-EF=DE・EF,即BE=DE,
VAE丄BD,CF丄BD,ZAEB=ZCFD=90%
VAB=CD>
ARtAABE^RtACDF(HL):
(2)VAABE^ACDF,AZABE=ZCDF,AABCD,
VAB=CD,•••四边形ABCD是平行四边形,AAO=CO・
4、解答:
TDE,DF是ZkABC的中位线,ADE/7AB,DF〃AC,
・•.四边形AEDF是平行四边形,
又VZBAC=90°
•••平行四边形AEDF是矩形,AEF=AD・
5、解答:
解:
猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是:
平行且相等.证明:
VCE/7AB.AZDAO=ZECO,
•••OA=OC,•••△ADO竺△ECO,AAD=CE.t四边形ADCE是平行四边形,:
.CdJIaE.
6、解答:
由平行四边形可知,AD=CB,ZDAE=ZFCB,—
又VAE=CF,AADAE^ABCF,ADE=BF.ZAED=ZCFB
又VM.N分别是DE、BF的中点,•••ME=NF
又由AB〃DC,得ZAED=ZEDC.\ZEDC=ZBFC,AMENF/.四边形MFNE为平行四边形.
7、解答:
连接AC交BD于点O,
•••四边形ABCD为平行四边形,AOA=OC>
OB=OD・
VBE=DF,AOE=OF..I四边形AECF为平行四边形.
8、解答:
•••四边形ABCD是平行四边形,
ACD=AB,AD=CB,ZDAB=ZBCD・
又••'
△ADE和厶CBF都是等边三角形.•'
•DE二BF,AE=CF・ZDAE=ZBCF=60°
.
•••ZDCF=ZBCD-ZBCF.ZBAE=ZDAB-ZDAE,
AZDCF=ZBAE・•••△DCF9ABAE(SAS).ADF=BE・四边形BEDF是平行四边形.
9、解答:
TE是AC的中点,AEC-1AC,
又VDB=AaC,/.DB=EC・
又•••DB〃EC,•••四边形DBCE是平彳亍四边形.ABC=DE・
10、解答:
设P,Q同时出发I秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形,根据已知得到AP=t,PD=24-t,CQ=2t,BQ=30-2t.
(1)若四边形PDCQ是平行四边形,则PD=CQ,・・・24・t=2t.\t=8.\8秒后四边形PDCQ是平行四边形:
(2)若四边形APQB是平行四边形,则AP=BQ,At=30-2t.-.t=10.\10秒后四边形APQB是平行四边形
11、解答:
TD、E、F分别是△ABC%边的中点,根据中位线泄理知:
DE〃AC,DE=AF,
EF〃AB,EF=AD,
・•・四边形ADEF为平行四边形.故AE与DF互相平分.
12、解答:
V7ABCD中,对角线AC交BD于点6AOB=OD,
又,••四边形AODE是平行四边形,•••AE〃OD且AE=OD,二AE〃OB且AE=OB,•••四边形ABOE是平行四边形,同理可证,四边形DCOE也是平行四边形.
13、解答:
连接EG、GF、FH.HE,点E.F、G、H分别是AB、CD、AC.BD的中点.
在AABC中,EG=1BC:
在ADBC中,HF二IbC,
22
•••EG=HF・
同理EH=GF.
•••四边形EGFH为平行四边形.AEF与GH互相平分.
14、解答:
•••四边形ABCD是平行四边形,•••AM〃QC,AP〃NC・
又・.・MN〃AC,・•・四边形AMQC为平行四边形,四边形APNC为平行四边形.
•••AC=MQAC=NP・AMQ=NP・
15、解答:
如答图所示,
•••点O为平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点,AOA=OC,OB=OD.
TG,H分别为OA,OC的中点,•••OG=ioA,OH=ioC,.\OG=OH・
又TAB/yCD,AZ1=Z2.
l^tAOEB和△OFD中,
Z1=Z2.OB=OD,Z3=Z4,
AAOEB^AOFD,
16、解答:
(I)证明:
I四边形ABCD是平行四边形,
17.•••AB=CD,AB〃CD,AZGBE=ZHDF.
又•••AG=CH,ABG=DH・
又•••BE=DF,AAGBE^AHDF・AGE=HF,ZGEB=ZHFD,AZGEF=ZHFE,•••GE〃HF,•••四边形GEHF是平行四边形・
(2)解:
仍成立.(证法同上)
17、解答:
(1)证明:
VAF/7EC,AZDFA=ZDEC>
ZDAF=ZDCE,
•••D是AC的中点,•••DA=DC,AADAF^ADCE,Z.AF=CE:
四边形AFCE是正方形.理由如下:
•••AF〃EC,AF=CE,t四边形AFCE是平行四边形,
又VAC=EF,•••平行四边形AFCE是矩形,ZFCE=ZCFA=90°
而ZACB=135°
AZFCA=135°
-90°
=45\AZFAC=45%AFC=FA,・•・矩形AFCE是正方形.
18、解答:
在平行四边形ABCD中,AB/7CD.且AB=CD.
又•••AE〃BD,•••四边形ABDE是平行四边形,AAB=DE,ACD=DE,
即D是EC的中点;
连接EF,VEF丄BF,•••△EFC是直角三角形,
又•••D是EC的中点,•••DF=CD=DE=2,
在平行四边形ABCD中,AB〃CD,
VZABC=60°
AZECF=ZABC=60%•'
•△CDF是等边三角形,AFC=DF=2.故答案为:
2.
19、解答:
(1)VAABC是等边三角形,AZABC=60°
VZEFB=60%AZABC=ZEFB,AEF/7DC(内错角相等,两直线平行),•••DC=EF,.•・四边形EFCD是平行四边形;
(2)连接BE
VBF=EF,ZEFB=60°
AAEFB是等边三角形,AEB=EF,ZEBF=60°
VDC=EF,•••EB=DC,
VAABC是等边三角形,AZACB=60%AB二AC,AZEBF=ZACB,AAAEB^AADC,AAE=AD・
20、解答:
(I)连接AC,
如图.四边形EFGH是平行四边形.
VExF分别是AB、
BC的中点,・・・EF〃AC,EF*C
同理HG〃AC,hg4aC・:
EF〃HG,EF=HGEFGH是平行四边形;
(2)四边形ABCD的对角线垂直且相等.
•••假若四边形EFGH为正方形,.••它的每一组邻边互相垂直且相等,
•••根据中位线左理得到四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等.
21、解答:
•••△ABE、ABCF为等边三角形,
AAB=BE=AE,BC=CF=FB,ZABE=ZCBF=60°
AZCBA=ZFBE・•••△ABC竺Z\EBF・AEF=AC・又VAADC为等边三角形,Z.CD=AD=AC・Z.EF=AD・同理可得AE=DF.・•・四边形AEFD是平行四边形.
构成的图形有两类,一类是菱形,一类是线段.
J
当图形为菱形时,ZBAO60。
(或A与F不重合、AABC不为正三角形)当图形为线段时,ZBAC=60°
(或A与F重合、AABC为正三角形).
22、解答:
四边形AFED是平行四边形.
证明如下:
在ABED与ABCA中,BE=BC,BD=BA(均为同一等边三角形的边)
ZDBE=ZABC=60°
-ZEBA
AABED^ABCA(SAS)ADE=AC
又•••AC=AF・・・DE=AF在厶CBA与ACEF中,CB=CE,CA=CFZACB=ZFCE=60°
+ZACE
AACBA^ACEF(SAS)ABA=EF又•••BA=DA,DA=EF
故四边形AFED为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
23、解答:
图2结论:
PD+PE十PF=AB・
过点P作MN〃BC分别交AB,AC于M,N两点,
由题意得PE+PF=AM・
•••四边形BDPM是平行四边形,AMB=PD・Z.PD+PE+PF=MB+AM=AB.即PD+PE+PF=AB・
图3结论:
PE+PF-PD=AB・
24、解答:
(1)DE〃BC,DE=BC,DE±
AC・
(2)如图4,如图5.
(3)方法一:
如图6,
连接BE,
VPM=ME.AM=MB,ZPMA=ZEMB,AAPMA^AEMB・
•••PA=BE,ZMPA=ZMEB,APA//BE・
:
•平彳亍四边形PADC,•••PA〃DC,PA=DC・ABEDC,BE=DC,
•••四边形DEBC是平行四边形.•••DE〃BC,DE=BC・
VZACB=90°
/.BC丄AC,ADE丄AC.
方法二:
如图7,连接BE,PB,AE,
VPM=ME,AM=MB,二四边形PAEB是平行四边形.Z.PA^BE,PA=BE>
余下部分同方法一:
方法三:
如图8,连接PD,交AC于N,连接MN,
•••平行四边形PADC,AAN=NC>
PN=ND.
■
VAM=BM,AN=NC,Z.MN//BC,MN=AbC・
又VPN=ND,PM=ME,•••MN〃DE,MN」DE・ADE/7BC,DE=BC.
ABC丄AC.Z.DE丄AC.
(4)如图9,DE〃BC,DE=BC.
(2)作图的时候要首先找到对角线的交点,只要过对角线的交点,任画一条直线即可.如图有:
AE=BE=DF=CF>
AM=CN・
(3)这两条直线过平行四边形的对称中心(或对角线的交点).
(2)当四边形PBQD为平行四边形时,点P在AB上,点Q在DC上,如图,由题知:
BP=10-3t>
DQ=2t/.10■3t=2t»
解得t=2此时,BP=DQ=4,CQ=12.・・bq二JQ+122二4屈•••四边形PBQD的周长=2(BP+BQ)=8+8713;
(3)①当点P在线段AB±
时,即如图3弘跑冷BP・BC詁(10一阮)x2=20/.t^|.
A
②当点P在线段BC±
时,即弓<
1<
6时,如图
3
BP=3t-10,CQ=16-2t.\s(3t-10)x(16-21)=20
化简得:
3F-34t+100=0,A=-44<
0,所以方程无实数解.
③当点P在线段CD上时,
若点P在Q的右侧,即6勺型,
5
则有PQ=34-5t
S[x8=20>
t用<
6,舍去
△§
EFg号(34-51)5
若点卩在0的左侧,即^<
t<
8>
则有PQ=5t-34,sA#(5t-34)X8二20,1=7.8.
乙
27、解答:
当BC〃OA,BC=OA时,C和B的纵坐标相等,
若选择AB为对角线,则Ci(3,1):
若选择OB为对角线,则C2(-l,1);
当AB〃OC,AB=OC时,
选择OA为对角线,则C3(1,-1).
故第四个顶点坐标是:
Ci(3,1),C2(-1,1),C3(1,-1).
28、解答:
设AB=x,贝ijBC=18-x,
由AB?
DE=BC?
DF
F得:
(18-x),
解之x=10t
所以平行四边形ABCD的面积为40^3.
29、解答:
(1)由B、C的坐标可知,AD=BC=4,则可得点D的横坐标为1,点D的纵坐标与点A的纵坐标相等,为伍,可得点D的坐标为(1,伍).
(2)依题意得Ai、Bi、Ci、Di的坐标分别为A(-3+VZ^0),B(-2皿,2血)(2(2皿,2妲,D(1+a/2>
0).
(3)如图,
平行四边形ABCD与四边形AiBiCiDi重叠部分的而积为平行四边形DEFG的面积,
由题意可得GD=AD■AG=4■/㊁,
平行四边形DEFG的高为2^2-VW2>
•••重叠部分的而积为(4-V2)?
屆皿・2・
30、解答:
在平行四边形ABCD中,AD〃BC,AZDAF=ZF,又AF平分ZBAD.AZDAF=ZBAF.AZBAF=ZF,AAB=BF>
又AF平分ZBAD,DE丄AF,AZAOD=ZADO>
又ZBOE=ZAOD二ZEDC,ZADO=ZE,
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