菱形证明专题训练Word格式文档下载.docx

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∵∠FOC=30°

，∴FM=OF.

∴BM=BF-MF=2OF-OF=OF.

即FO=EO，∴BM∶OE=3∶2.

3.如图,在△ABC中,∠ABC=90°

BD为AC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.求证:

四边形BGFD是菱形.

【答案】∵FG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形.

∵CF⊥BD,AG∥BD,∴CF⊥AG.又∵∠ABC=90°

点D是AC的中点,∴BD=DF=AC,

∴平行四边形BGFD是菱形.

4.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.

OE=BC.

【答案】∵DE∥AC,CE∥BD,

∴四边形OCED是平行四边形.

∵四边形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,OB=OD,

∴∠BOC=∠COD=90°

∴四边形OCED是矩形,

∴∠ODE=90°

∵OB=OD,∠BOC=∠ODE=90°

∴BC=,OE=,

∵DE=OC.

∴OE=BC.

5.[2015·

兰州中考,25]（9分）如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.

（1）求证:

AD=BC;

【答案】作BM∥AC,BM交DC的延长线于点M,则∠ACD=∠BMD.　　1分

∵AB∥CD,BM∥AC,

∴四边形ABMC为平行四边形.　　2分

∴AC=BM.

∵BD=AC,∴BM=BD.

∴∠BDM=∠BMD.

∴∠BDC=∠ACD.

在△BDC和△ACD中,

∴△BDC≌△ACD.　　4分

∴BC=AD.　　5分

（2）若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:

线段EF与线段GH互相垂直平分.

【答案】连接EG,GF,FH,HE.　　6分

∵E,H为AB,BD的中点,∴EH=AD.

同理FG=AD,EG=BC,FH=BC.

∵BC=AD,∴EG=FG=FH=EH.　　8分

∴四边形EGFH为菱形,

∴EF与GH互相垂直平分.　　9分

6.[2015·

长春中考,18]（7分）如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G,求证:

四边形ACGF是菱形.

【答案】因为AF∥CD,FG∥AC,

所以四边形ACGF是平行四边形①,

又因为∠ACE=∠ECG,∠ECG=∠AFC,

所以∠ACE=∠AFC,所以AC=AF②,

由①②得四边形ACGF是菱形.

7.[2010·

上海中考，23]已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.

（1）在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；

【答案】

∵∠BAE＝∠DAE，

∠DAE＝∠BEA，

∴∠BAE＝∠BEA，AB＝BE＝AD，

AD∥BE，∴四边形ABED的平行四边形，又AB＝AD，

∴四边形ABED为菱形

（2）∠ABC＝60°

，EC＝2BE，求证：

ED⊥DC.

【答案】过D作DF∥AE，则DF＝CF＝1，

∴∠C＝30°

，而∠DEC＝60°

∴∠EDC＝90°

，∴ED⊥DC.

8.[2010·

沈阳中考，19]如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：

四边形AEOF是菱形.

【答案】∵点E，F分别为AB，AD的中点

∴AE＝AB，AF＝AD（2分）

又∵四边形ABCD是菱形

∴AB＝AD

∴AE＝AF（4分）

又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O

∴O为BD的中点

∴OE，OF是△ABD的中位线（6分）

∴OE∥AD，OF∥AB

∴四边形AEOF是平行四边形（8分）

∵AE＝AF

∴四边形AEOF是菱形（10分）

9.[2010·

安徽中考，20]如图，AD∥FE，点B,C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.

（1）求证：

四边形BCEF是菱形；

【答案】∵AD∥FE，∴∠FEB＝∠2.

∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1.

∴BF＝EF

∵BF＝BC，∴BC＝EF.

∴四边形BCEF是平行四边形

∵BF＝BC，

∴四边形BCEF是菱形（5分）

（2）若AB＝BC＝CD，求证：

△ACF≌△BDE.

【答案】∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥FE，

∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形，∴AF＝BE，FC＝ED.（8分）

又∵AC＝2BC＝BD，（9分）

∴△ACF≌△BDE.（10分）

10.[2013·

长沙中考，24]如图，在ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND＝90°

，连接CM交DN于点O.

△ABN≌△CDM；

【答案】∵∠ABN＝∠CDM，AB＝CD，

BN＝BC＝AD＝DM，

∴△ABN≌△CDM（SAS）.

（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE＝1，∠1＝∠2，求AN的长.

【答案】∵M，O分别为AD，ND的中点，

∴AN∥MO且AN＝2MO，

∴∠MOD＝∠AND＝90°

，即平行四边形CDMN是菱形，

在Rt△MOD与Rt△NEC中，

∵∠1＝∠2，MD＝NC，∴Rt△MOD≌Rt△NEC，

∴MO＝NE.

根据菱形的性质可知，∠MND＝∠CND，∠1＝∠CND，所以∠MND＝∠CND＝∠2＝30°

，所以在Rt△ENP中NE＝PE÷

tan30°

＝，

即AN＝2.

11.如图,在△ABC中,∠A=90°

AH⊥BC于点H,∠B的平分线交AC于点D,交AH于点E,DF⊥BC于点F,求证:

四边形AEFD是菱形.

【答案】∵∠ABD=∠FBD,BD=BD,∠BAD=∠DFB=90°

∴△ABD≌△FBD,∴AD=DF,AB=FB.

又∠ABE=∠FBE,BE=BE,

∴△ABE≌△FBE.

∴∠BAE=∠BFE.

又∠BAE=90°

-∠ABC=∠C,

∴∠BFE=∠C,∴EF∥AD.

∵DF⊥BC,AH⊥BC,∴AE∥DF.

∴四边形AEFD是平行四边形.

又AD=DF,∴四边形AEFD是菱形.

12.[2012·

南宁中考,25]如图,已知矩形纸片ABCD,AD＝2,AB＝4,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.

图1图2

（1）如图1,求证：

A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；

【答案】证法一：

证明：

在矩形ABCD中,CD∥AB

∴∠1＝∠3（1分）

由折叠可知：

AG＝EG,∠1＝∠2

∴∠2＝∠3

∴EF＝EG（2分）

∴EF＝AG

∴四边形AGEF是菱形（3分）

证法二：

连接AF,由折叠可知

OA＝OE,AG＝EG（1分）

在矩形ABCD中,AB∥CD

∴∠AEF＝∠EAG

∵∠AOG＝∠EOF

∴△AOG≌△EOF（ASA）（2分）

∴AG＝EF

（2）如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时,求证,点N是线段BC的中点；

【答案】证明：

连接ON,O是Rt△ADE外接圆圆心.

∵⊙O与BC相切于点N

∴ON⊥BC（4分）

在矩形ABCD中,DC⊥BC,AB⊥BC

∴CD∥ON∥AB

∴＝（5分）

∵OA＝OE　∴CN＝NB

即N为BC的中点（6分）

（3）如图2,在第2问的条件下,求折痕FG的长.

【答案】解法一：

过点O作OM⊥AB于点M,则四边形OMBN是矩形

设⊙O半径为x,则OA＝OE＝ON＝x（7分）

∵AB＝4,AD＝2　∴AM＝4－x

由第2问得,NB＝OM＝1

在Rt△AOM中,OA2＝AM2＋OM2

∴x2＝（4－x）2＋12　∴x＝（8分）

AM＝4－＝

∵∠FEO＝∠OAM

又∵∠FOE＝∠OMA＝90°

∴Rt△EFO∽Rt△AOM

∴＝　∴＝（9分）

∴OF＝　∴FG＝2OF＝（10分）

解法二：

延长NO交AD于点M

∴四边形ABNM是矩形

∴AM＝BN＝AD＝1

∵O为Rt△ADE外接圆圆心

∴OA＝OE＝ON

设ON为x,则OM＝4－x（7分）

在Rt△AMO中,AM2＋OM2＝OA2

即12＋（4－x）2＝x2

x＝（8分）

∴OM＝4－＝

∵FG⊥AE,MN∥DC　∴∠FEO＝∠MOA　∠AMO＝∠EOF＝90°

∴△EOF∽△OMA

∴OF＝　FG＝2OF＝（10分）

13.[2013·

葫芦岛中考,20]（本小题满分8分）

如图,四边形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AD,BC=DC,BE⊥CD于点E.

△ABD≌△EBD;

【答案】如图,

∵AD∥BC,

∴∠1=∠DBC.

∵BC=DC,∠2=∠DBC.

∴∠1=∠2.　　2分

又∵∠BAD=∠BED=90°

BD=BD,∴△ABD≌△EBD.　　4分

（2）过点E作EF∥DA,交BD于点F,连接AF.求证:

四边形AFED是菱形.

【答案】由第1问得,AD=ED,∠1=∠2.

∵EF∥DA,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3.

∴EF=ED.　　5分

∴EF=AD.　　6分

∴四边形AFED是平行四边形.

又∵AD=ED.

∴四边形AFED是菱形.　　8分

14.[2013·

贵阳中考，20]

已知：

如图，在菱形ABCD中，F为BC上的任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.

AE＝EC；

连接AC.

∵BD是菱形ABCD的对角线，

∴BD垂直平分AC.

∴AE＝EC.

（2）当∠ABC＝60°

，∠CEF＝60°

时，点F在线段BC上的什么位置说明理由.

【答案】点F是线段BC的中点.

理由：

∵菱形ABCD中，AB＝BC，

又∵∠ABC＝60°

∴△ABC是等边三角形，∠BAC＝60°

∵AE＝EC，∠CEF＝60°

，∴∠EAC＝30°

∴AF是△ABC的角平分线.

∵AF交BC于点F，

∴AF是△ABC的BC边上的中线.

∴点F是线段BC的中点.

15.[2012·

上海中考,23]已知：

如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠BAF＝∠DAE,AE与BD交于点G.

BE＝DF；

【答案】∵四边形ABCD为菱形,

∴AB＝AD＝BC＝CD,

∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝∠CDB,

∠ABE＝∠ADF

∵∠BAF＝∠DAE,

且∠BAF＝∠BAE＋∠EAF,

∠DAE＝∠DAF＋∠EAF

∴∠BAE＝∠DAF.

∴△ABE≌△ADF（ASA）.

∴BE＝DF.

（2）当＝时,求证：

四边形BEFG是平行四边形.

【答案】在菱形ABCD中,ADBC,

∴∠DAE＝∠BEA,∠ADB＝∠EBD.

∴△AGD∽△EGB.

∴＝.

又∵＝,BE＝DF,

∴＝＝＝

∴GF∥BE.

∴∠DGF＝∠DBC.

∵∠DBC＝∠CDB,

∴∠DGF＝∠GDF,

∴GF＝DF,

∴BE＝GF.

∴BEGF,

∴四边形BEFG是平行四边形.

16.[2013·

乌鲁木齐中考,19]如图,在△ABC中,∠ACB＝90°

CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分别与BC,CD交于E,F,EH⊥AB于H,连接FH.求证：

四边形CFHE是菱形.

【答案】∵AE平分∠BAC,∴∠CAE＝∠EAH,而∠ACB＝90°

CD⊥AB,

∴∠CEA＋∠CAE＝∠AFD＋∠EAH＝90°

又∠APD＝∠CFE,

∴∠CFE＝∠CEF,∴CF＝CE.

又∵AE平分∠BAC,∠ACB＝90°

.EH⊥AB,∴CE＝EH,

∴CF＝EH＝CE,∵CD⊥AB,EH⊥AB,∴CF∥EH,

∴四边形CFHE是菱形.

17.如图所示,在菱形ABCD中,CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F,求证:

AE=AF.

【答案】证法1：

如图所示,连接AC,

∴AC平分∠BAD,即∠BAC=∠DAC.

在△ACE和△ACF中,

∠AEC=∠AFC=90°

∠BAC=∠DAC,AC=AC,

∴△ACE≌△ACF（AAS）,∴AE=AF.

证法2：

∴BC=DC=AD=AB,∠B=∠D.

又∵在△BCE和△DCF中,∠BEC=∠DFC=90°

∴△BCE≌△DCF（AAS）,∴BE=DF,∴AE=AF.

18.[2013·

南宁中考，23]如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点.

△ABE≌△CDF；

【答案】在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA（或AB＝CD，BC＝DA）.

∠B＝∠D.

∵点E，F分别是边BC，AD的中点，

∴△ABE≌△CDF.

（2）若∠B＝60°

，AB＝4，求线段AE的长.

∵AB＝BC，∠B＝60°

∴△ABC是等边三角形.

∵点E是BC边的中点.

∴AE⊥BC.

在Rt△ABE中，sinB＝.

∴AE＝AB·

sinB＝4×

＝.

∵点E是BC边的中点，∴AE⊥BC.

∴∠BAE＝30°

在Rt△ABE中，BE＝AB＝2.

∴AE＝＝＝.

19.[2012·

温州中考,19]（本题8分）

如图,△ABC中,∠B＝90°

AB＝6cm,BC＝8cm,将△ABC沿射线BC方向平移10cm,得到△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接AD.求证：

四边形ACFD是菱形.

【答案】法一：

∵∠B＝90°

AB＝6cm,BC＝8cm.

∴AC＝10cm.

由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm,DF＝AC,

∴AD＝CF＝AC＝DF,

∴四边形ACFD是菱形.

法二：

由平移变换的性质得AD∥CF,

AD＝CF＝10cm,

∴四边形ACFD是平行四边形,

AB＝6cm,BC＝8cm,

∴AC＝10cm,

∴AC＝CF,

∴ACFD是菱形.

20.[2011兰州中考，27]（本小题满分12分）

如图17所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F.分别连接AF和CE.

四边形AFCE是菱形；

【答案】由题意可知OA＝OC，EF⊥AO.

　　∵AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，

　　∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又AE∥CF，

　　∴四边形AECF是平行四边形（2分）

　　∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形.（4分）

（2）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；

【答案】∵四边形AECF是菱形，

　　∴AF＝AE＝10cm.

　　设AB＝a，BF＝b，

　　∵△ABF的面积为24cm2,a2＋b2＝100，ab＝48（6分）

　　（a＋b）2＝196，a＋b＝14或a＋b＝－14（不合题意，舍去）（7分）

　　△ABF的周长为a＋b＋10＝24cm（8分）

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝ACAP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；

若不存在，请说明理由.

【答案】存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点（9分）

　　证明：

∵∠AEP＝∠AOE＝90°

，∠EAO＝∠EAP，

　　∴△AOE∽△AEP，∴＝，

　　∴AE2＝AOAP（11分）

　　∵四边形AECF是菱形，

　　∴AO＝AC，∴AE2＝ACAP，

　　∴2AE2＝ACAP.（12分）

21.[2013·

营口中考,19]如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC一个外角的平分线,且∠BAC=∠ACD.

△ABC≌△CDA;

【答案】∵AB=AC,∴∠B=∠ACB

又∵∠FAC是△ABC的一个外角,

∴∠FAC=∠B+∠ACB

∴∠FAC=2∠ACB　　2分

又∵AD是∠FAC的角平分线,∴∠FAC=2∠CAD,

∴∠ACB=∠CAD　　3分

又∵AC=CA,∠BAC=∠DCA

∴△ABC≌△CDA　　4分

（2）若∠ACB=60°

求证:

四边形ABCD是菱形.

【答案】∵∠BAC=∠ACD

∴AB∥CD　　5分

又∵∠ACB=∠CAD,

∴AD∥BC.

∴四边形ABCD是平行四边形.　　6分

∵AB=AC,∠ACB=60°

∴等腰三角形ABC是等边三角形.　　7分

∴AB=BC.

∴四边形ABCD是菱形.　　8分

22.[2011宁波中考,23]（本小题满分8分）

如图13,在ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,BD是对角线,过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G.

DE∥BF；

【答案】在ABCD中,AB∥CD,AB＝CD

∵E,F分别为边AB,CD的中点

∴DF＝DC,BE＝AB

∴DF∥BE,DF＝BE（2分）

∴四边形DEBF为平行四边形（3分）

∴DE∥BF（4分）

（2）若∠G＝90°

求证：

四边形DEBF是菱形.

【答案】∵AG∥BD

∴∠G＝∠DBC＝90°

∴△DBC为直角三角形（5分）

又∵F为边CD的中点

∴BF＝DC＝DF.（7分）

又∵四边形DEBF为平行四边形

∴四边形DEBF是菱形（8分）

23.[2013·

黄冈中考，17]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：

∠DHO＝∠DCO.

【答案】四边形ABCD是菱形，

∴OD＝OB，∠COD＝90°

∵DH⊥AB于H，∴∠DHB＝90°

∴∠OHB＝∠OBH，

又∵AB∥CD.∴∠OBH＝∠ODC，

∴∠OHB＝∠ODC.

在Rt△COD中，∠ODC＋∠OCD＝90°

在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°

∴∠DHO＝∠DCO.

24.[2013·

锦州中考,20]如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.

【答案】∵DE∥AC,CE∥BD

∴四边形OCED是平行四边形　　2分

又∵AC,BD是菱形ABCD的对角线

∴AC⊥BD,即∠COD=90°

　　4分

∴平行四边形OCED是矩形　　6分

∴OE=CD　　8分

又∵BC=CD　　9分

∴OE=BC　　10分

（学生用其他方法证明,请参照评分标准酌情给分）