《 三角形与全等三角形 》精选试题集锦含答案.docx
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《三角形与全等三角形》精选试题集锦含答案
《三角形与全等三角形》精选试题集锦
一.选择题
1.三角形的外角和等于(D)
A.90°B.180°C.300°D.360°
2.在△ABC中,若∠A=85°,∠B=40°,则∠C的度数为(C)
A.35°B.45°C.55°D.65°
3.如果一个三角形的两边长分别为4和7,则第三边长可能是(D)
A.8B.9C.10D.11
4.若一个三角形的三个内角度数的比为3∶4∶5,则这个三角形是(A)
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
5.如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠B=35°,∠ACE=60°,则∠A=(C)
A.35°B.95°C.85°D.75°
6.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,点D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE的长为(A)
A.1B.2C.D.1+
7.如图,已知∠ABC=∠BAD,添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是(A)
A.AC=BDB.∠CAB=∠DBAC.∠C=∠DD.BC=AD
8.下列长度的三条线段不能组成三角形的是(A)
A.5,5,10B.4,5,6C.4,4,4D.3,4,5
9.如下各图中a,b,c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是( B)
A.甲和乙 B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙
10.如图,AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为( D )
A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c
11.如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,DE,DF是△ABC的中位线,
则四边形BEDF的周长是(D)
A.5B.7C.8D.10
12.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是( C )
A.BC=ECB.EC=BEC.BC=BED.AE=EC
13.如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( A )
A.15°B.30°C.45°D.60°
14.如图,AB=12,C是线段AB上一点,分别以AC、CB为边在A的同侧作等边△ACP和等边△CBQ,连接PQ,则PQ的最小值是( D )
A.3B.4C.5D.6
解:
如图,分别延长AP、BQ交于点D,
∵∠A=∠QCB=60°,∴AD∥CQ,
∵∠B=∠PCA=60°,∴BD∥PC,
∴四边形CPDQ为平行四边形,
∴PD=CQ,PC=DQ,
∴PD+DQ=PC+CQ=AC+BC=12,
作△ABD的中位线MN,则MD=DN=MN=AB,
∴MD+DN=AB=12,
∴MD+DN=PD+DQ,
∴PM=QN,
作PE⊥MN,QF⊥MN,
∴PE∥QF,
在△PME和△QNF中,
,
∴△PME≌△QNF(AAS),
∴EM=FN,
∴MN=EF,
∴PQ≥EF,
∴C是线段AB的中点时,PQ的值最小,最小值为AB=6.
故选D.
15.已知菱形ABCD的边长为1,∠DAB=60°,E为AD上的动点,F在CD上,且AE+CF=1,设△BEF的面积为y,AE=x,当点E运动时,能正确描述y与x关系的图象是( A )
A.B.C.D.
解:
∵菱形ABCD的边长为1,∠DAB=60°,
∴△ABD和△BCD都为正三角形,
∴∠BDE=∠BCF=60°,BD=BC,
∵AE+DE=AD=1,AE+CF=1,∴DE=CF,
在△BDE和△BCF中,
DE=CF,∠BDE=∠C,BD=BC,
∴△BDE≌△BCF(SAS);
∴∠DBE=∠CBF,BE=BF,
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=∠DBF+∠DBE=∠FBE=60°,
∴△BEF为正三角形;
∴BE=EF,△BEF的面积,
作B⊥AD于,则A=AD=,B=,
∵AE=x,∴E=-x,
∴BE=(-x)+(),
∴y=(x-)+(0≤x≤1).
故选A.
2.填空题
16.如图,△ABC≌△A′B′C′,其中∠A=36°,∠C′=24°,则∠B= 120
17.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=110°,AB的垂直平分线DE交AC于点D,连接BD,则∠ABD= 35 度.
18.如图,在△ABC中,AC=BC,∠B=70°,分别以点A,C为圆心,大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,分别交AC,BC于点D,E,连接AE,则∠AED的度数是 50 .
19.如图,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=6,BC=8,则EF的长为 1
20.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△ABO≌△ADO.下列结论:
①AC⊥BD;②CB=CD;③△ABC≌△ADC;④DA=DC.其中所有正确结论的序号是 ① ②③
三.解答题
21.如图,AB∥DE,AB=DE,BF=EC.求证:
AC∥DF;
解:
∵AB∥DE,∴∠B=∠E,
∵BF=CE,∴BF﹣FC=CE﹣FC,即BC=EF,
∵在△ABC和△DEF中,
,∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠ACB=∠DFE,
∴∠ACF=∠DFC,∴AC∥DF;
22.如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.
(1)求证:
△ABC≌△DEF;
(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.
(1)证明:
∵ BF=EC,∴ BF+FC=EC+CF,即BC=EF.
又AB=DE,AC=DF,∴ △ABC≌△DEF.
(2)AB∥DE,AC∥DF.
理由:
∵ △ABC≌△DEF,
∴ ∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE,
∴ AB∥DE,AC∥DF.
23.如图,已知AB∥CD,AB=CD,BF=CE,求证:
AE=DF.
解:
AB∥CD,∴∠DCF=∠ABE,
∵BF=CE,∴BF-EF=CE-EF,即CF=BE,
在△ABE与△DCF中,
,
∴△ABE≌△DCF(SAS),
∴AE=DF.
24.如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.
(1)求证:
△ABC≌DEF;
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.
解:
(1)∵AC=AD+DC, DF=DC+CF,且AD=CF
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS)
(2)由
(1)可知,∠F=∠ACB
∵∠A=55°,∠B=88°
∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=180°-(55°+88°)=37°
∴∠F=∠ACB=37°
25.如图,A,B分别在射线OM,ON上,且∠MON为钝角,现以线段OA,OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形,分别是△OAP,△OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.求证:
△PCE≌△EDQ.
证明:
∵点C、D、E分别是OA,OB,AB的中点,
∴DE=OC,DE∥OC,CE=OD,CE∥OD,
∴四边形ODEC是平行四边形,∴∠OCE=∠ODE,
∵△OAP,△OBQ是等腰直角三角形,∴∠PCO=∠QDO=90°,
∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO+∠EDO=∠EDQ,
∵PC=AO=OC=ED,CE=OD=OB=DQ,
在△PCE与△EDQ中,
∴△PCE≌△EDQ;
26.如图,在矩形ABCD中,AD=8,AB=14,E为DC上的一个点,将△ADE沿AE折叠,使得点D落在D'处,若以C、B、D'为顶点的三角形是等腰三角形,则DE的长为 或 .
解:
①:
CD'=BD'时,如图,
由折叠性质,得AD=AD′,∠DAE=∠D′AE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠ABC=∠DCB=90°,
∵△BCD′为等腰三角形,
∴D′B=D′C,∠D′BC=∠D′CB,
∴∠DCD′=∠ABD′,
在△DD′C和△AD′B中,,
∴△DD′C≌△AD′B,
∴DD′=AD′,
∴DD′=AD′=AD,
∴△ADD′是等边三角形,
∴∠DAD′=60°,
∴∠DAE=30°,
∴DE=AE,
设DE=x,则AE=2x,
(2x)2﹣x2=82,
解得:
x=,
即DE=.
②:
当CD'=CB时,如图,连接AC,
由于AD'=8,CD'=8,
而AC==2>8+8;
故这种情况不存在.
③当BD'=BC时,如图过D'作AB的垂线,垂足为F,延长D'F交CD于G,
由于AD'=BD',D'F=D'F;易知AF=BF,
从而由勾股定理求得D'F===,
又易证△AD'F∽△D'EG,设DE=x,D'E=x,
∴=,即=;
解得x=,
故答案为:
或.
27.已知:
在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,过点E作EF∥BC交直线AB于点F,连接CF.如图所示,点D在BC上,AB与DE交于点G,连接BE.
求证:
CF=ED;
证明:
∵∠BAC=∠DAE,∴∠DAC=∠EAB,
在△ACD和△ABE中
∴△ACD≌△ABE(SAS),
∴CD=BE,∠ACD=∠ABE,
∵EF∥BC,∴∠ABC=∠EFB,
∴∠ABE=∠EFB,∴EB=EF,
∴EF=CD,
∵EF∥BC,
∴四边形EDCF是平行四边形,
∴CF=DE;
28.如图,在△ABC中,分别以AB、AC为腰向外侧作等腰Rt△ADB与等腰Rt△AEC,∠DAB=∠EAC=90°,连接DC、EB相交于点O.
(1)求证:
BE⊥DC;
(2)若BE=BC.
①如图1,G、F分别是DB、EC中点,求的值.
②如图2,连接OA,若OA=2,求△DOE的面积.
解:
(1)证明:
∵∠DAB=∠EAC=90°,
∴∠EAB=∠CAD,
在△BAE和△DAC中,
,
∴△BAE≌△DAC(SAS),
∴∠ABE=∠ADC,
∵∠BAD=90°,
∴∠DOB=90°,即BE⊥DC;
(2)解:
①取DE的中点H,连接GH、FH,
∵点G是BD的中点,
∴GH∥BE,GH=BE,
同理,FH∥CD,FH=CD,
∵BE=CD.BE⊥DC,
∴GH=FH,GH⊥FH,
∴△HGF为等腰直角三角形,
∴GF=GH,
∵GH=BE,
∴GF=BE,
∵BE=BC,
∴=;
②作AM⊥BE于M,AN⊥CD于N,
在△BAE和△BAC中,
,
∴△BAE≌△BAC(SSS),
∴∠BAE=∠BAC=135°,
∴∠DAE=135°﹣90°=45°,即∠OAD+∠OAE=45°,
∵△BAE≌△DAC,
∴AM=AN,又AM⊥BE,AN⊥CD,
∴OA平分∠BOC,
∴∠BOA=∠COA=45°,
∴∠DOA=∠EOA=135°,
∴∠ODA+∠OAD=45°,
∴∠OAE=∠ODA,
∴△ODA∽△OAE,
∴=,即OD•OE=OA2=4,
∴△DOE的面积=×OD•OE=2
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