补充构造异面直线所成角的几种方法.docx
- 文档编号:1932381
- 上传时间:2022-10-25
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:258.25KB
补充构造异面直线所成角的几种方法.docx
《补充构造异面直线所成角的几种方法.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《补充构造异面直线所成角的几种方法.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
补充构造异面直线所成角的几种方法
一.异面直线所成角的求法
1、正确理解概念
(1)在异面直线所成角的定义中,空间中的点O是任意选取的,异面直线和b所成角的大小,与点O的位置无关。
(2)异面直线所成角的取值范围是(0°,
2、熟练掌握求法
(1)求异面直线所成角的思路是:
通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线,进而利用平面几何知识求解,整个求解过程可概括为:
一作二证三计算。
(2)求异面直线所成角的步骤:
①选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊点。
②求相交直线所成的角,通常是在相应的三角形中进行计算。
③因为异面直线所成的角的范围是0°<≤90°,所以在三角形中求的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角。
3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法,通过补形,可将问题转化为易于研究的几何体来处理,利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线B1E与GF所成角的余弦是。
例2已知S是正三角形ABC所在平面外的一点,如图SA=SB=SC,
且ASB=BSC=CSA=,M、N分别是AB和SC的中点.
求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.
例3长方体ABCD—A1B1C1D1中,若AB=BC=3,AA1=4,求异面直线B1D与BC1所成角的大小。
例4如图,平面,且,则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____.
练习:
1.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是()
2.如图,A1B1C1—ABC是直三棱柱(三侧面为矩形),∠BCA=90°,点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是()
3.正方体ABCD—A1B1C1D1中,直线BC1与AC
(A)相交且垂直(B)相交但不垂直(C)异面且垂直(D)异面但不垂直
4.设a、b、c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:
①如果a⊥b、b⊥c,则a∥c;
②如果a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;
③如果a、b是异面直线,c、b是异面直线,则a、c也是异面直线;
④如果a和b共面,b和c共面,则a和c也共面
在上述四个命题中,真命题的个数是()
(A)4(B)3(C)2(D)1(E)0
5.如果直线l和n是异面直线,那么和直线l、n都垂直的直线
(A)不一定存在(B)总共只有一条
(C)总共可能有一条,也可能有两条(D)有无穷多条
6.如图,四面体SABC的各棱长都相等,如果E、F分别为SC、AB
的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于
(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°
7.右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,
1BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;
③CN与BM成角;DM与BN垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是()
(A)①②③(B)②④(C)③④(D)②③④
8.如图,四面体ABCD中,AC⊥BD,且AC=4,BD=3,M、N分别是AB、CD的中点,则求MN和BD所成角的正切值为。
9.异面直线a、b成60°,过空间一点P的直线c与a、b成角都为60°,则这样的直线c有条。
10.异面直线a、b成60°,直线c⊥a,则直线b与c所成的角的范围为()
(A)[30°,90°](B)[60°,90°]
(C)[30°,60°](D)[60°,120°]
11.如图,正三棱柱的九条棱都相等,三个侧面都是正方形,M、N分别是BC和A1C1的中点求MN与AB1所成角的余弦值。
12.如图,四面体ABCD中,E为AD中点,若AC=CD=DA=8,AB=BD=5,BC=7,求BE与AC所成角的余弦值。
二.共面、共线、共点问题
共点问题:
证明线共点,就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点.解决此类问题的一般方法是:
先证其中两条直线交于一点,再证该点也在其他直线上.
共线问题:
证明点共线,常常采用以下两种方法:
①转化为证明这些点是某两个平面的公共点,然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上;②证明多点共线问题时,通常是过其中两点作一直线,然后证明其他的点都在这条直线上.
共面问题:
证明空间的点、线共面问题,通常采用以下两种方法:
①根据已知条件先确定一个平面,再证明其他点或直线也在这个平面内;②分别过某些点或直线作两个平面,证明这两个平面重合.
1.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为AB中点,F为A1A的中点.
求证:
(1)E、C、D1、F四点共面;
(2)CE、D1F、DA三线共点。
2.D三点共线。
练习:
1.共点的四条直线最多能确定个平面。
2.空间四点中,若任意三点不共线,那么经过三点的平面有个。
3.已知平面,设过A、B、C三点的平面为,则是()
A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.以上全错
4.已知△ABC三边AB、BC、CA分别交平面于P、Q、R,求证:
P、Q、R共线。
5.如果△ABC和△A1B1C1不在同一平面内,且AA1、BB1、CC1两两相交,求证:
三直线AA1、BB1、CC1交于一点。
三.平行问题
1、“线线”的证明:
(1)平行四边形法:
如图,在正方体中,由,
得四边形为平行四边形,于是;
(2)中位线法:
如图,四棱锥的底面ABCD为平行四边形,
点Q是PC的中点,则由OQ是PAC的中位线,得到OQ//PA;
(3)“线面”平行法:
如图,若平面ABCD,
过的平面交平面ABCD于MN,则MN;
(4)“面面”法:
如图,若平面平面ABCD,
平面与平面、平面ABCD分别交于EF、MN,
则有EFMN;
(5)“平行线分线段成比例定理的推论”:
平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线),
所得的对应线段成比例。
如图,在正方体中,E,F分别为面对角
线D1B1,A1B上的动点,且D1E=A1F,则
,故,所以EF//GB。
2、“线面”的证明:
(1)“线线”法:
如图,Q为PC的中点,则,所以平面PAD;
(2)“面面”法:
如图,若平面ABCD,直线MN在平面,
则MN平面ABCD;
3、“面面”的证明:
“线面”法:
如图,在平面上找到两条相交直线
MN、均平行于平面ABCD,则有平面平面ABCD;
例题分析:
1.,则与的位置关系()
A.平行B.异面C.相交D.以上情况均有可能
2.,是两条不相交的直线,则过直线且平行于的平面()
A.有且只有一个B.至少有一个C.至多有一个D.以上答案都不对
3、已知正方体ABCD-A`B`C`D`中,E,F分别是A`B`,B`C`的中点。
求证:
EF∥面AD`C。
4、如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,E、F分别是AB,PC的中点,
求证:
EF∥平面PAD;
5.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,点E、F分别为棱AB、PD的中点。
求证:
AF∥平面PCE;
6、如图,在正方体中,是的中点,求证:
平面。
7.如图,在底面为平行四边形的四棱锥中,点是的中点.求证:
∥平面.
8.已知正四棱锥P—ABCD,M、N分别是PA、BD上的点,且PM∶MA=BN∶ND=5∶8,求证:
直线MN∥平面PBC;
9、正方体ABCD-A1B1C1D1,P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心。
求证PQ∥平面DD1C1C;;
10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1,D为AC中点。
求证:
直线AB1∥平面C1DB;
11.如图:
已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.证明:
AB1∥平面DBC1;
12.如图,在斜三棱柱中,E、F分别是棱的中点,证明∥平面
13.如图,在四棱锥中,四边形ABCD是平行四边形,E是PC的三等分点,F是PB的中点,求证:
AF∥面BDE;
14、如图PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB,PD的中点。
求证:
AF//平面PCE;
15.如图,平面分别平行于,分别在上,且,,.
(1)求证:
是矩形;
(2)求当点在什么位置时,的面积最大.
16.如图,在四棱锥中,,,底面
是菱形,且,为的中点.侧棱上是否存在点,
使得平面?
并证明你的结论.
17.如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为梯形,AD//BC,PA=AB=BC=在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?
若存在,请确定E点的位置;若不存在,请说明理由.
18.如图,在长方体中,为的中点.
(1)求证:
平面;
(2)判断并证明,点在棱上什么位置时,平面平面.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 补充 构造 直线 方法
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)