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3)当时,P点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质:
标准方程
图形
3、
范围
1
对称性
对称轴:
坐标轴
对称中心:
原点
顶点
顶点坐标:
A1,A2
渐近线
离心率
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;
线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;
a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长.
a、b、c的关系
基础自测
1.双曲线方程:
22
xy1,那么k的范围是(k25k
A.k>
5B.2<
k<
5C.-2<
k<
2D.-2<
2或k>
5
A.y=±
2x
B.y=±
2xC.y
3.过双曲线x2-y2=8的左焦点
F1有一条弦
PQ在左支上,若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦点
2设双曲线x2-y2=1(a>
0,b>
0)的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为()ab
则△PF2Q的周长是()
A.28
B.14-8
C.14+8
D.8
4、下列曲线中离心率为
6的是
2
)B
x2
4
42
y2
46
410
5、若m>
0,点Pm,5在双曲线为.2
xy1上,则点P到该双曲线左焦点的距离
45
题型分类深度剖析
题型一双曲线的定义
2222
1、已知动圆M与圆C1:
(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:
(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
变式:
已知点P是双曲线
1上除顶点外的任意一点,
F1、F2分别为左、右焦
2a
F1F2切于点M,则|F1M|·
|F2M|=
题型二双曲线的标准方程
【例2】已知双曲线的渐近线方程为2x±
3y=0.
(1)若双曲线经过P(6,2),求双曲线方程;
(2)若双曲线的焦距是213,求双曲线方程;
(3)若双曲线顶点间的距离是6,求双曲线方程.
题型三双曲线的性质
例3】中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1、F2,且|F1F2|=2
椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比为3∶7.
1)求这两曲线方程;
2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.
变式:
已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.
(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|·
|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.
巩固检测
、选择题
1.双曲线yx1的焦点坐标为
A.(-1,0),(1,0)
B.(-3,0),(3,0)C.(0,-1),(0,1)D.(0,-3),(0,3)
2.若双曲线x2a2A.310
10
x23.若双曲线x2
a
y3=1(a>
0)的离心率为2,
y2=1的一条渐近线方程为
b2
x
+y=0,则此双曲线的离心率为
3
C.22D.10
则a等于()
A.2B.3
C.
4.设双曲线
5.已知双曲线
y
B.2
A.3
等于()
2b2
xy
1(a>
0,b>
0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率
C.5
D.6
点P(3,y0)在该双曲线上
1(b>
0)的左、右焦点分别为F1、F2,其一条渐近线方程为y=x,,则PF1
PF2等于
A.-12
B.-2
C.0
D.4
6.已知点F是双曲线a2b2=1(a>
0,b>
0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,
过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABE是直角三角形,则该双曲线的离心率是()
A.2B.2C.1+2D.2+2
二填空题
xy222
7.过双曲线C:
a2b21(a>
0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A、B.若∠AOB=120°
(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为
8.P为双曲线x2-y=1右支上一点,M、N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,15
则|PM|-|PN|的最大值为.
22xy
9.已知F是双曲线1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|
412
的最小值为
三解答题
10.已知△AOB的顶点A在射线L1:
y=3x(x>
0)上,A,B两点关于x轴对称,O为坐标原点,且线段AB上有一点M满足|AM|·
|MB|=3.当点A在L1上移动时,记点M的轨迹为W,求轨迹W的方程.
11.已知离心率为的椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,
短轴为虚轴,且焦距为234
(1)求椭圆及双曲线的方程;
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B,在第二象限内取双曲线上一点P,连结BP交椭圆于
点M,连结PA并延长交椭圆于点N,若BMMP,求点M、点P的坐标.
12.已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是5x-2y=0.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,且线段MN的垂
21
直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围.
8
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