高三三模数学试题含答案Word下载.docx
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④.若,,则.
6.已知双曲线的一条渐近线的斜率为,且右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的方程为▲.
7.设等比数列的各项均为正数,其前项和为.若,,,则__▲___.
8.若变量满足约束条件
则目标函数的最小值是___▲___.
9.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为▲.
10.已知,且,则的值为____▲____.
11.已知函数若,使得成立,则实数的取值范围是▲.
12.四棱锥的五个顶点都在一个球面上,且底面ABCD是边长为1的正方形,,,则该球的体积为▲.
13.在中,已知,,,为线段上的点,且,则的最大值为▲.
14.我们把形如的函数称为“莫言函数”,并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”,以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆,皆称之为“莫言圆”.当,时,在所有的“莫言圆”中,面积的最小值▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
函数
在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.
(Ⅰ)求的值及函数的值域;
(Ⅱ)若,且,求的值.
16.(本小题满分14分)
直三棱柱中,,,、分别为、的中点.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求四面体的体积.
17.(本小题满分14分)
如图,某农业研究所要在一个矩形试验田内种植三种农作物,三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中.试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区.已知种植区的占地面积为平方米.
(1)设试验田的面积为,,求函数的解析式;
(2)求试验田占地面积的最小值.
18.(本小题满分16分)
已知椭圆
过点,且它的离心率.直线与椭圆交于、两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)当时,求证:
、两点的横坐标的平方和为定值;
(Ⅲ)若直线与圆相切,椭圆上一点满足,求实数的取值范围.
19.(本小题满分16分)
已知数列,,且满足().
(1)若,求数列的通项公式;
(2)若,且.记,求证:
数列为常数列;
(3)若,且,.求数列的前项和.
20.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=
x3+
x2-ax-a,x∈R,其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;
(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.
考场号_____学号_____班级___________姓名_____________
………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………
答题纸
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分)成绩
1.2.3.4.5.
6.7.8.9.10.
11.12.13.14.
二、解答题(本大题共6小题,计90分)
15.
16.
17.
18.
19.
20.
数学Ⅱ(附加题)
21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作
答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-1:
几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,在梯形中,∥BC,点,分别在边,上,设与相交于点,若,,,四点共圆,求证:
.
B.[选修4-2:
矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵有特征值及对应的一个特征向量,求曲线在的作用下的新曲线方程.
C.[选修4-4:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在直角坐标系中,直线的参数方程为
(为参数),若以直角坐标系的点为极点,为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线的极坐标方程为.直线与曲线交于两点,求.
D.[选修4-5:
不等式选讲](本小题满分10分)
设,实数满足,求证:
.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答某一道题,已知甲回答对这道题的概率是,甲、丙二人都回答错的概率是,乙、丙二人都回答对的概率是.
(Ⅰ)求乙、丙二人各自回答对这道题的概率;
(Ⅱ)设乙、丙二人中回答对该题的人数为X,求X的分布列和数学期望.
23.(本小题满分10分)
已知数集,其中,且,若对(),与两数中至少有一个属于,则称数集具有性质.
(Ⅰ)分别判断数集与数集是否具有性质,说明理由;
(Ⅱ)已知数集具有性质.
①求证:
;
②判断数列是否为等差数列,若是等差数列,请证明;
若不是,请说明理由.
几何证明选讲]
矩阵与变换]
坐标系与参数方程]
不等式选讲]
22.
23.
参考答案
1.2.二3.4.45.①6.7.68.29.10.11.12.13.314.
15.(Ⅰ)由已知可得:
=3cosωx+
又由于正三角形ABC的高为2,则BC=4
所以,函数
所以,函数
…………………………………………7分
(Ⅱ)因为(Ⅰ)有
由x0
所以,
故
.…………………………………………14分
16.(Ⅰ)直三棱柱ABC-A1B1C1中,
B1B⊥AB,BC⊥AB,又B1BBC=B,
∴AB⊥平面BB1C1C.
又N、F分别为A1C1、B1C1的中点
∴AB∥A1B1∥NF.
∴NF⊥平面BB1C1C.
因为FC平面BB1C1C.所以NF⊥FC.
取BC中点G,有BG=GF=GC.∴BF⊥FC,又NFFB=F,
∴FC⊥平面NFB.7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,
17.解:
(1)设的长与宽分别为和,则
……………………………………2分
……………………………………4分
试验田的面积……………………………………6分
(2令,,则,…………………………………9分
…………………………………11分
当且仅当时,,即,此时,.…………13分
答:
试验田的长与宽分别为44米、22米时,占地面积最小为968米2.…………14分
18.解:
(Ⅰ)设椭圆的标准方程为
由已知得:
,解得
所以椭圆的标准方程为:
………………………………4分
(Ⅱ)由
,得
,设,,
则
,为定值.…………9分
(Ⅲ)因为直线与圆相切
所以,
把代入并整理得:
设,则有
因为,
,所以,
又因为点在椭圆上,所以,
.因为所以,
所以,所以的取值范围为.…………………………16分
19,解:
(Ⅰ).…………………………………………4分
(Ⅱ)先证,即,………………………………………7分
然后
,数列为常数列…………………10分
(Ⅲ)…………………………16分
20.解:
(1)f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由f′(x)=0,得x1=-1,x2=a>0.
当x变化时f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,a)
a
(a,+∞)
f′(x)
+
-
f(x)
极大值
极小值
故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞);
单调递减区间是(-1,a).(5分)
(2)由
(1)知f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当
解得0<a<
.
所以a的取值范围是
.(8分)
(3)a=1时,f(x)=
x3-x-1.由
(1)知f(x)在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增.
①当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,在[-1,t+3]上单调递减.因此f(x)在[t,t+3]上的最大值M(t)=f(-1)=-
,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者.由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t).而f(t)在[-3,-2]上单调递增,因此f(t)≤f(-2)=-
.所以g(t)在[-3,-2]上的最小值为g(-2)=-
=
.(12分)
②当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],且-1,1∈[t,t+3].
下面比较f(-1),f
(1),f(t),f(t+3)的大小.
由f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,有
f(-2)≤f(t)≤f(-1),
f
(1)≤f(t+3)≤f
(2).
又由f
(1)=f(-2)=-
,f(-1)=f
(2)=-
,
从而M(t)=f(-1)=-
,m(t)=f
(1)=-
所以g(t)=M(t)-m(t)=
综上,函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为
21.A证明:
连结EF.∵四点共圆,∴.∵∥,∴180°
∴180°
.∴四点共圆.
∵交于点G,∴.…10分
21.B由,即,,,,
所以.设曲线上任一点,在作用下对应点,
则,即,解之得
代入,得.
即曲线在的作用下的新曲线方程是.…………………10分
21.C的直角坐标方程为,的直角坐标方程为,
所以圆心到直线的距离,…………………10分
21.D证:
,
又
.………………10分
22.解:
(Ⅰ)设甲、乙、丙回答对这道题分别为事件、、,则,且有
即
解得,.…………………4分
(Ⅱ)由题意,.,
所以随机变量的分布列为
.…………………10分
23.解:
(Ⅰ)由于和都不属于集合,所以该集合不具有性质;
由于、、、、、、、、、都属于集合,所以该数集具有性质.………………………………………4分
(Ⅱ)①具有性质,所以与中至少有一个属于,
由,有,故,,
故.………………………………………4分
②,,故.
由具有性质知,,
……①
由知,,,…,,均不属于,
由具有性质,,,…,,均属于,
,而,
,,,…,
……②
由①②可知
即().故构成等差数列.………………10分.
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