最新导数压轴题专项分析.docx
- 文档编号:1930872
- 上传时间:2022-10-25
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:682.45KB
最新导数压轴题专项分析.docx
《最新导数压轴题专项分析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最新导数压轴题专项分析.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
最新导数压轴题专项分析
导数压轴题专项分析
内容提要
纵观历年高考真题,我们发现高考数学既注重考查中学数学基础知识的掌握程度,又体现选拔培养拔尖人才功能.因此高考数学压轴题,常以高等数学为背景命题,掌握罗比塔法则,确立分类讨论的标准,处理解答这类导数压轴题行之有效的方法.本文以2020届四川省成都二诊函数与导数压轴题为例,分析解剖,首先归纳同构思想,然后介绍洛必达法则实际应用,以供读者参考.
归纳类型
同构式与方程问题
同构式与不等式问题
同构式与反函数问题
洛必达法则与分类讨论问题
1.(2020届四川省成都二诊12题理)已知函数,若存在,使得成立,则的最大值为()
A.B.C.D.
同构式与方程问题
【分析】,,观察共性,借助共性,构造函数,利用函数单调性解方程.
【解析】由,得,
在单调递增,单调递减,且满足.
则在单调递增,当时,.
,,,
,.
于单调递增,单调递减..故选C.
【评析】本题主要考查同构思想,通过恒等变形,构造函数,利用导数研究函数单调性解方程,注意左右代数结构一致,考查数形结合思想,考查的核心素养是逻辑推理,数学运算.
2.(2020届四川省成都二诊12题)已知函数,若存在,使得成立,则的最小值为()
A.B.C.D.
【分析】,,观察共性,借助共性,构造函数,利用函数单调性解方程.
【解析】由,得,在单调递增,单调递减,
且满足.则在单调递增,当时,.
,,
设,(),则.
于单调递增,单调递减.
,故选D.
同构式与不等式问题
变式1:
1.(2019湖南长沙一中高三月考理数)若对任意,恒有,则实数的最小值为()
A.B.C.D.
【分析】不等式两边同时乘以,等价变形为,利用,,将不等式变形为,构造函数,不等式变形为,利用导数判断函数在上单调递增,从而确定在恒成立,即在恒成立.构造新函数,利用导数求函数的最大值,确定的取值范围,即可.
【解析】由题意可知,不等式变形为.
设,则
.
当时,即在上单调递减.
当时,即在上单调递增.
则在上有且只有一个极值点,该极值点就是的最小值点.
所以,即在上单调递增.
若使得对任意,恒有成立.
则需对任意,恒有成立.
即对任意,恒有成立,则在恒成立.
设则.
当时,,函数在上单调递增
当时,,函数在上单调递减
则在上有且只有一个极值点,该极值点就是的最大值点.
所以,即,则实数的最小值为.故选:
D
【评析】本题主要考查同构思想,通过恒等变形,构造函数,利用导数研究函数单调性解不等式,注意左右代数结构一致,考查数形结合思想,考查的核心素养是逻辑推理,数学运算.
变式2.(2019浙江杭州第二中学高三月考)已知不等式对恒成立,则实数的最小值为()
A.B.C.D.
【解析】不等式对恒成立,可变形为,
即对恒成立,设,则,
当时,,即在时单调递增
当时,,即在时单调递减
因而在上恒成立即可,当时,,
而当时(因四个选项都小于0,所以只需讨论的情况)
因为在时单调递减,若,只需
不等式两边同取自然底数的对数,可得,
当时,,化简不等式可得,只需
令,,则,令,解得
当时,,则在内单调递增,
当时,,则在内单调递减,
所以在处取得最大值,,故,
所以实数的最小值为,故选:
C.
【评析】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用同构思想,构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,考查数形结合思想,考查的核心素养是逻辑推理,数学运算.
同构式与反函数问题
例2.(2020全国高三月考)已知,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围为______.
【分析】先将不等式变形为,令,,由与互为反函数得只需要即可,即,然后用导数求出左边的最小值即可.
【解析】显然,由,得,
则令,,
因为与互为反函数,
所以只需要即可,即,
令,则,
所以可得在上单调递减,在上单调递增,
所以,即.
故答案为:
【评析】利用同构思想,观察互为反函数,根据互为反函数的两个函数的图象关于对称.
3.(2020届四川省成都二诊21题理)已知函数,其中m∈R.
(Ⅰ)当m>0时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设,若,在上恒成立,求实数m的最大值.
洛必达法则与分类讨论问题
【分析】分离参数,当时,出现“”型代数式,
,确定分类讨论的划分标准.
【评析】不等式恒成立问题中求参数范围的一般采用分离参数的方法,转化为求函数的最值问题,但是分离后函数结构过于复杂,建议使用罗比塔法则,探寻分类讨论边界,语言描述更为简练.
4.(2020届四川省成都二诊21题)已知函数,其中.
(Ⅰ)若,求函数的极值;
(Ⅱ)设.若在(1,+∞)上恒成立,求实数的取值范围.
【分析】分离参数,当时,出现“”型代数式,
,确定分类讨论的划分标准.
【解析】
【评析】不等式恒成立问题中求参数范围的一般采用分离参数的方法,转化为求函数的最值问题,但是分离后函数结构过于复杂,建议使用罗比塔法则,探寻分类讨论边界,语言描述更为简练.
变式:
(2020浙江杭州高级中学高三)已知.
(1)求的单调区间;
(2)当时,求证:
对于,恒成立;
(3)若存在,使得当时,恒有成立,试求的取值范围.
【分析】分离参数,当时,出现“”型代数式,
,确定分类讨论的划分标准.
【解析】
(1),
当时,.解得.当时,解得.
所以单调减区间为,单调增区间为.
(2)设,
当时,由题意,当时,恒成立.
,
∴当时,恒成立,单调递减.
又,∴当时,恒成立,即.
∴对于,恒成立.
(3)因为.
由
(2)知,当时,恒成立,
即对于,,不存在满足条件的;
当时,对于,,此时.
∴,即恒成立,不存在满足条件的;
当时,令,可知与符号相同,
当时,,,单调递减.
∴当时,,即恒成立.
综上,的取值范围为.
【评析】本题主要考查导数和单调区间,导数与不等式的证明,导数与恒成立问题的求解方法.不等式恒成立问题中求参数范围的一般采用分离参数的方法,转化为求函数的最值问题,但是分离后函数结构过于复杂,建议使用罗比塔法则,探寻分类讨论边界,语言描述更为简练.
往事如梦
1.(2019深圳中学5月高三适应性考试)设函数.
(1)当(为自然对数的底数)时,求的最小值;
(2)讨论函数零点的个数;
(3)若对任意恒成立,求的取值范围.
2.(2020宁夏海原县第一中学高三上期期末考试)设函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)若当时恒成立,求的取值范围.
3.(2019陕西西安远东一中高二期末考试)设函数.
(I)讨论函数的单调性;
(II)当时,,求实数的取值范围.
4.(2019湖南高三)已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.
5.(2020四川高三)已知函数
(1)求函数的单调区间;
(2)若对任意恒成立,求实数的取值范围.
6.(2020武邑宏达中学高二月考)已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若对任意的,都有成立,求a的取值范围.
暮然回首
1.【解析】
(1)由题设,当时,,易得函数的定义域为
,当时,,此时在上单调递减;
当时,,此时在上单调递增;
当时,取得极小值,的极小值为2
(2)函数,
令,得,设,
,
当时,,此时在上单调递增;
当时,,此时在上单调递减;
所以是的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是的最大值点,
的最大值为,
又,结合y=的图像(如图),可知
①当时,函数无零点;
②当时,函数有且仅有一个零点;
③当时,函数有两个零点;
④时,函数有且只有一个零点;
综上所述,当时,函数无零点;当或时,函数有且仅有一个零点;当时,函数有两个零点.
(3)对任意恒成立,等价于恒成立
设,在上单调递减
在恒成立
恒成立
(对,仅在时成立),的取值范围是
【评析】导数在最大值、最小值问题中的应用;根的存在性及根的个数判断;利用导数研究函数的极值.
2.【解析】
(1)a=0时,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.
当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,0)单调减少,在(0,+∞)单调增加
(2)f′(x)=ex-1-2ax.由
(1)知ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立.故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,从而当1-2a≥0,即a≤时,f′(x)≥0(x≥0),而f(0)=0,于是当x≥0时,f(x)≥0.由ex>1+x(x≠0)得e-x>1-x(x≠0),从而当a>时,f′(x) 综上可得a的取值范围为(-∞,]. 【评析】本题考查利用导数研究函数的性质,属中档题. 3.【解析】 (1)f’(x)=(1-2x-x2)ex 令f’(x)=0得x=-1-,x=-1+ 当x∈(-∞,-1-)时,f’(x)<0;当x∈(-1-,-1+)时,f’(x)>0;当x∈(-1+,+∞)时,f’(x)<0 所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)单调递减,在(-1-,-1+)单调递增 (2)f(x)=(1+x)(1-x)ex 当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h’(x)=-xex<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)单调递减,而h(0)=1, 故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1 当0<a<1时,设函数g(x)=ex-x-1,g’(x)=ex-1>0(x>0),所以g(x)在在[0,+∞)单调递增,而g(0)=0,故ex≥x+1 当0<x<1,,,取 则 当 综上,a的取值范围[1,+∞) 【评析】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题. 4.【解析】 (1)的定义域为,, 若,则恒成立,∴在上单调递增; 若,则由, 当时,;当时,, ∴在上单调递增,在上单调递减. 综上可知: 若,在上单调递增; 若,在上单调递增,在上单调递减. (2),令,, ,令, ①若,,在上单调递增,, ∴在上单调递增,,从而不符合题意. ②若,当,,∴在上单调递增, 从而,∴在上单调递增,, 从而不符合题意. ③若,在上恒成立, ∴在上单调递减,, ∴在上单调递减,,. 综上所述,a的取值范围是. 【评析】本题主要考查函数单调性的求法,满足条件的实数的取值范围的求法,综合性强,难度大,对数学思维的要求较高,解题时应注意导数性质的合理利用. 5.【解析】的定义域为 当时,,故函数在单调递增; 当时,时,,当时,,故函数在单调递增,在单调递增; 令,则, 对任意等价于,, 当时,,则存在,使使,,在上是减函数, 时,,与条件不符,当时,由,可知,故, ,在上是增函数,时,,即; 综上,实数的取值范围为. 【评析】本题考查含参数函数的单调性及不等式恒成立问题转化为函数问题.导数法研究函数在内单调性的步骤: (1)求; (2)确定在内的符号;(3)作出结论: 时为增函数;时为减函数.研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 不等式恒成立问题的求解方法: (1)已知不等式(为实参数
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 最新 导数 压轴 专项 分析