高等代数习题参考答案Word文档下载推荐.docx
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A(kX)=B(kX)k(BXC)kAX,故A是Pnn上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90
度的变换,证明:
A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2,并检验(AE)2=A2B2是否成立。
解任取一向量a=(x,y,z),则有
1)因为
Aa=(x,-z,y),
A2a=(x,-y,-z)
,A3a=(x,z,-y),
A4
a=(x,y,z)
Ba=(z,y,-x),
B2a=(-x,y,-z)
,B3a=(-z,y,x),
B4
Ca=(-y,x,z),
C2a=(-x,-y,z)
,C3a=(y,-x,z),
C4
所以A4=B4=C4=E。
2)因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y),BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x),
所以ABBA。
3)因为A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z),B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z),
所以A2B2=B2A2。
3)因为(AB)2(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x),A2B2(a)=(-x,-y,z),
所以(AB2a2b2。
3.在P[x]中,Af(x)f(x),Bf(x)xf(x),证明:
AB-BA=E
证任取f(x)P[x],则有
(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f'
(x))=f(x)xf;
(x)-xf'
(x)=f(x)所以AB-BA=E。
4.设A,B是线性变换,如果AB-BA=E证明:
AkB-BAk=kAk1(k>
1)。
证采用数学归纳法。
当k=2时
A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA2=a,结论成立。
归纳假设km时结论成立,即AmB-BAm=mAm1。
则当km1时,有
Am1B-BAm1=(Am1B-AmBA)+(AmBA-BAm1)=Am(AB-BA)+(AmB-BAm)A=AmE+mAm1A=
(m1)Am。
即km1时结论成立•故对一切k1结论成立。
5.证明:
可逆变换是双射。
证设A是可逆变换,它的逆变换为A1。
若ab,则必有AaAb,不然设Aa=Ab,两边左乘A1,有a=b,这与条件矛盾。
其次,对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上,令A1b=a即可。
因此,A是一个双射。
6.设1,2,,n是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换。
证明:
A是可逆变换当
且仅当A1,A2,,An线性无关。
证因A1,2,,n)=(A1,A2,,An)=(1,2,,n)A,
故A可逆的充要条件是矩阵A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无
关,故A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无关•。
7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1)第1题4)中变换A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;
2)[0;
1,2]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的
垂直投影,B是平面上的向量对2的垂直投影,求A,B,AB在基1,2下的矩阵;
3)在空间P[x]n中,设变换A为f(x)f(x1)f(x),
、、1
试求A在基i=x(x1)(xi1)-(I=1,2,,n-1)下的矩阵A;
i!
4)六个函数1=eaxcosbx,2=eaxsinbx,3=xeaxcosbx,4=xeaxsinbx,
1=1x2eaxcosbx,广1eaxx2sinbx,的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性
22
空间,求微分变换D在基i(i=1,2,,6)下的矩阵;
5)已知P3中线性变换A在基1=(-1,1,1),2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩阵是
101
110,求A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;
121
6)在P3中,A定义如下:
Ai(5,0,3)
A2(0,1,6),
A3(5,1,9)
i(1,0,2)
2(0,1,1),
3(3,1,0)
求在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;
7)同上,求A在1,2,3下的矩阵。
解1)
A1=(2,0,1)=21+3,A
2=(-1,1,0)=-1+2,A3=(0,1,0)=
故在基
2)取
1=(1,
3下的矩阵为0
0),2=(0,1),
1
1+2
A2=丄
2
故A在基
2下的矩阵为A=2
又因为B
1=0,B
2=2,所以B在基
2下的矩阵为
B=
1,另外,
(AE)2=A(B2)
=A2=i
所以AB在基
2下的矩阵为AB=
3)因为
1,
1x,
x(x1)
2!
x(x
[X
1!
(n1)!
(n2)]
所以A0
(x
1)x
1)x[x
(n3)]
1)
[X(n2)]
=x(x1)比(n3)]{(x1)[x(n2)]}(n1)!
所以A在基
n1下的矩阵为
A=
4)因为D1=a1-b2
D2=b1-a2,6,
D3=1+a3-b4,
D4=2+b3+a4,
D5=3+a5-b6,
D6=4+b5+a6,
a
b
所以D在给定基下的矩阵为D=0
5)因为(1,2-3)=(1-2,3)
(1,2,
3)=(1
2,
1,2,
3下的矩阵为
11
B=X1AX=
10
b1000
a0100
0ab10
0。
0ba01
000ab
000ba
110
101,所以
111
1=(1,2,3)X
1=
=2
0。
103
6)因为(1,2,3)=(1,2,3)°
11
21°
1°
3
所以A1,2,3)=A(1,2,3)°
5°
=(
7
27
_J3
5
71-7
76-7
72-7
2°
18
24
5
°
故A1,2,3)=(1,2,3)°
6
9
但已知A(1,2,3)=(1,2,3)°
1
36
3°
21°
所以A1,2,3)=(1,2,3)°
7)因为(1,2,3)=(1,2,3)°
=(1,2,3)
8.在P22中定义线性变换A1(X)=
ba
X,A2(X)=X
dc
A?
"
abab
X
cdcd
求A1,A2,A3在基E11,E12,E21,E22下的矩阵。
A1E21=bE11+dE21
A1E22=bE21+dE22,
故A1在基E11,E
E21,E22下的矩阵为A1=
1221
又因A2E11=aE11+bE12,A2E12=cE11+dE12,
A2E21=aE21+bE22,A2E22=cE21+dE22,
A2
故A2在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为
又因A3E11=aE11+abE12+acE21+bcE22,
A3E12=acE11+adE12+cE21+cdE22,
A3E22=bcE11
+bdE12+cdE21+d2E22,
故A3在基E11,E
12,E21,E22下的矩阵为
a2
ac
ab
bc
ad
b2
bd
c
cd
d2
o
9.设三维线性空间
V上的线性变换A在基
12
3下的矩阵为
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
求A在基
3,2
1,k
2,
1下的矩阵;
3下的矩阵,
其中且;
2,2,3下的矩阵。
10.
A
1=a313a212
an1,
a32a31
故A在基3,
2,1下的矩阵为
B3
a22a21。
a12a11
2)因A
1=a
丄a21/I\
★1+(k2)
k
a313
i,
(k2
)=ka121+a?
2(k2)+ka32
3,
3=
a23/.
a131+(k2
)+a33
an
ka12a13
故A在
2,3下的矩阵为
B2
a22。
ka32a33
因
A1
2)=(
‘a11a12)(1
3)+(
a22a11a12)
2+(a31
a32)3,
A2=
佝2(
12)+(a22
a12)
2+a323,
A3=
:
a13(
12)+(a23
a13)
2+a333,
ana12
故A基1
2,2,3下的矩阵为1
321
a22a〔1a〔2
a22a12
a23a130
a31a32
设A是线性空间
V上的线性变换,
如果
Ak1
0,但A=0,
求证:
A,,Ak
1(
k>
0)线性无关。
证设有线性关系
1112A
1kA
k1
用Ak1作用于上式,得
l1Ak1=0(因An0对一切nk均成立),
再用Ak2作用之,得l2Ak1=0.再由,可得|2=0.同理,继续作用下去,便可得
l1l2lk0,
即证,A,,Ak1(k>
0)线性无关。
11.在n维线性空间中,设有线性变换A与向量使得An10,求证A在某组下的矩阵
10
是1。
证由上题知,
A,A2,
An
1线性无关,故,A,A2,
An1为线性空
间V的一组基。
又因为
A0
0A2+0An1,
A(A)=0+0
A+1A2
+
0An1,
A(An1)=0+0A+0A2+0An1,
故A在这组基下的矩阵为
101。
12.设V是数域P上的维线性空间,证明:
与V的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换。
证因为在某组确定的基下,线性变换与n级方阵的对应是双射,而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K。
13.A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:
如果A在任意一组基下的矩阵都
相同,那么是数乘变换。
证设A在基1,2,,n下的矩阵为A=(aj),只要证明A为数量矩阵即可。
设X为任一非退化方阵,且
则1,2丄,n也是V的一组基,且A在这组基下的矩阵是X1AX,从而有AX=XA这说明A与一切非退化矩阵可交换。
若取
X1,
n
则由AXi=XiA知aij=0(ij),即得
ann
再取
0100
0010
X2=
0001
1000
由AX2=X2A,可得
a11a22ann。
故A为数量矩阵,从而A为数乘变换。
14.设1,2,
3,4是四维线性空间
V的一组基,已知线性变换
A在这组基下的矩阵为
224,2
323
4,33
4,424下的矩阵;
求A的核与值域;
3)在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵;
4)在A的值域中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵。
解1)由题设,知
_2300
(1,2,3,4)=(1,2,3-4)
0110
可求得基础解系为
1112
右令1=(1,2,
2=(1,2,3,4)X2,
00
30
B=X
1AX=
4
=3
8
16
40
40°
2)先求A1
(0).设A
1(0)
,它在1
2,
3,
4下的坐标为
(
2,3,4),且A
在1,
'
2,3
4下的坐标为
(0,0,0,0,),
则
21
X1
13
X2
=0
55
X3
12
X4
因rank(A)=2
,故由
X12x3
2x2X3
3x40
故A在基1,2,3,4下的矩阵为
X1=(2,—,1,0),X2=(1,2,0,1)。
则1,2即为A1(0)的一组基,所以
A1(0)=L(1,2)。
再求A的值域AV。
因为
rank(A)=2,故A1,A
2,A3,A4的秩也为2,且Ai,A
2线性无关,故A1,A
可组成AV的基,从而AV=L(A1,A2)。
4)由2)知1,2是A1(0)的一组基,且知
1,2是V的一组基,又
_0
(1,2,a1,a2)=(1,2,3,4)
。
4)由2)知A
24,
A2=2
23
24
故A在基1,2,1,2下的矩阵为
易知A1,A
2,
3,4是V的一组基,且
(A1,A
_1
3,4)=(1,2,3,4)一
故A在基A
1,A
2,
4下的矩阵为
C=
201
15.给定P3的两组基
(1,0,1)
(2,1,0)
(1,1,1)
1(1,2,1)
2(2,2,1)
3(2,1,1)
定义线性变换
Ai=i(i=1,2,3)
写出由基
2,3的过度矩阵;
2)写出在基1,2,3下的矩阵;
3到基
3)写出在基1,2,3下的矩阵。
解1)由(
1,2,3)=(
1,2,3)X,
引入
P
的一组基e=(1,0,0),e2=
(0,1,0)
e3=(0,0,1)
,则
(1,2
3)=(◎,e2,
6)
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