5灾情巡视路线文档格式.docx

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1.没有其他因素影响停留时间；

2.不存在突发情况，如汽车故障，公路堵塞等情况；

3.路况均相同，汽车匀速行驶；

4.每个巡视点只巡视一次，第二次经过时不作停留。

符号说明

O：

县镇府

A,B,…,R:

各个乡（镇）

1，2，…,35：

各个村庄

G：

加权完备图

E:

边的集合

：

公路网示意图的节点

均衡度

问题一

问题分析

该问要求分三组巡视时的最优巡视路线。

又题目已给出乡（镇）、村公路网示意图，故可考虑用图论中求最短距离的思想去求解。

可先用图论软件包求出公路网络的弗洛伊德矩阵和最小二叉树，并以二叉树为分组依据，将全图分为三个子图，再对三个子图分别求解。

在对子图求解最优巡视路线时，可先给定一个H圈，再用二边逐次修正法求其最优H圈（在matlab软件包中利用矩阵翻转法来实现），则此最优H圈即为此子图的最优巡视路线。

模型预备

二边逐次修正法【1】：

设G是一个赋权完全图，边

上的权记作

.在图G中，首先任取一个H圈，即哈密尔顿圈。

不妨设为

如果存在i,j满足：

（1）1<

i+1<

j<

p,（记

）

（2）

则从圈C中去掉边

；

而添加边

，得到一个新的H圈

显然,

，故把圈C1的各顶点重新标号，记作

，继续这样做下去，直到不存在那样的i,j为止。

用矩阵翻转法【2】在完备加权图中，寻求最佳H圈的实现过程如下：

（1）在一个完备加权图中，任取一初始H圈：

按此点顺序可组成一个距离矩阵

为i，j两点之间的权；

（2）给A在第一行和最后一行加一个点的排列顺序框，同时在第一列和最后一列加上2个0列，则Co经过的总权为

（3）在加点序框的距离矩阵A中，对所有的i,j,2<

i+1<

j<

n-2，当A（i,j）+A（i+1,j+1）<

A（i,i+1）+A（j,j+l）成立时，把第i+1至j列翻转过来，第i+l至i行也翻转，形成新的距离矩阵。

矩阵A中点的顺序就变成

（4）对A重复执行步骤3，直到条件不满足为止，最后得到的C即为近似最佳H圈。

上述过程可用MATLAB实现。

可以看出，利用上面的算法所得的最后的H圈依赖于初始选择的H圈。

所以利用上面的算法求得的H圈不一定是最优的。

为了使结果更加接近于最优解，即权最小的H圈。

我们可以从不同的H圈开始，重复做几次，从中求得一个最好的H圈。

模型建立

首先用图论软件包求出以县政府O为起点，其它的节点为终点的最短路径，得到题给公路网示意图中所存在的最小二叉树如下：

由图可看出从O出发的共有六个干枝，现将这六个干枝分为三组，分组时遵从以下准则：

（1）尽量使长的干枝和短的干枝分为一组；

（2）尽量把相邻干枝上的点分在一组；

（3）尽量将同一干枝上的点在一组，且能形成环路；

根据以上准则可得一分组为:

（

）,（

）。

每组中的节点构成一个子图，先在其中的完备图中取一个初始H圈，然后利用矩阵翻转法求出近似最优H圈，此近似最优H圈即为近似最优解及相应的巡视路线。

模型求解

根据以上所建立的模型，分别将三个子图的弗洛伊德矩阵输入求解程序（见附录一），运行后可得结果如下：

在MATLAB中编程得近似最佳H圈。

近似解如下：

（单位：

km）

小组

路线

总路线长度

路线的总长度

一

O-P-28-27-26-N-24-23-22-17-16-I-15-I-18-K-21-20-25-M-0

191.1

562.7

二

O-2-5-6-7-L-19-J-11-G-13-14-H-12-F-10-F-9-E-8-4-D-3-2-0

231.5

三

O-C-B-1-A-34-35-33-31-32-30-Q-29-R-O

140.1

为衡量巡视路线总长度的均衡情况，现定义衡量指标均衡度，计算公式如下：

则由上表可得均衡度为：

此分组方法虽然可以得到一个全局的较优解，使得路线总长度最短，但均衡性较差，不能满足要求。

为改善均衡性，需将总路线最长的第二组中的一部分分由总路线最短的第三组来巡视。

综合考虑，将二、三组边界处的3、4、C和D号顶点分给第三组，重新求解，可得如下近似最优解：

598.6

O-2-5-6-L-19-J-11-G-13-14-H-12-F-10-F-9-E-8-E-7-6-5-2-0

215.3

O-R-29-Q-30-32-31-33-35-34-A-1-B-C-3-D-4-D-3-2-O

192.2

可得均衡度

由此计算得均衡度

，即第二种分组方案在路程均衡度上要优于方案一，而总路程增加不大，满足要求。

分组后所得巡视路线如下图：

结果分析

由于此模型在分组不同，初始H圈不同时，所得的最佳H圈也不同，即无法求出一个全局最优解，只能的到全局近似最优解。

而由求解所得结果可看出，路线总长度和均衡度无法同时达到最优解，若满足一个，势必牺牲另一个。

故在实际操作时，应采取折中的分组方法，以获取一个满足条件的较优解。

在上图中，我们不难发现，有一些节点是孤悬于子图的H圈之外的，如10号点。

这就需要在求解时单独考虑，在程序计算时，可以先将此类点拿除，计算完成后在将这些点添加进路线图中。

问题二

由题知有17个乡镇，35个村，故总停留时间为17×

2+35=69（小时），且由第一问知巡视总路线长度为598.5km。

设有x个分组，则有

，得x>

3.6.故x取最小整数为4，即分4组进行巡视。

由此可近似计算每组停留的时间为69/4=17.25h，故划分巡视小组时，应尽量使每组在乡、村的停留时间接近17h。

现将节点分4组，遵从如下四个准则：

（1）尽量使长的干枝和短的干枝分为一组；

（2）尽量让各组的停留时间相同；

（3）尽量把相邻干枝上的点分在一组；

（4）尽量将同一干枝上的点分在一组，且能形成环路。

用上面的准则进行分组后得到4组，即4个子图，然后在每个子图中选取初始H圈，参照问题一中的算法求得近似最优H圈。

在MATLAB中编程求解近似最优H圈如下：

总时间

O-P-28-27-26-N-24-23-22-17-16-17-K-21-25-M-0

154.3

22.4086

710

O-M-25-21-K-15-14-13-J-19-20-L-6-5-2-O

185

22.2857

22.0029

四

O-2-3-D-4-8-E-11-G-12-F-10-F-9-E-7-6-5-2-O

230.6

22.5886

因上述所得最优H圈也是用问题一中的算法求得，故不是全局最优解，只能是近似最优解。

分四组时巡视的路线总长度比分三组时要大，符合实际情况。

第三问

问题分析：

本问要解决的是在给定的T，t和V下，分组不受限制时，最短巡视时间的最佳巡视路线问题。

而最短巡视时间应为，从起始点O出发，中途不作任何停留，直接沿最小树路线巡视到距O最远的点，并仅在此点停留，再返回所需的时间。

综合第一问中所求出的最小树可得，距O最远的点为H点，距离为77.5km。

如果分组完全不受限制，可分成52个组，每组分别巡视一个乡、村，则最短巡视时间即为6.4286h。

这种分组方法虽然满足要求，但会造成人力上的浪费。

故我们给出满足条件而分组最少的巡视方法。

模型的建立及求解：

在问题的分析已求得，最短巡视时间为6.4286小时。

则在本问题的求解中，分组巡视需满足以下准则：

准则一：

每组巡视时间不能超过

准则二：

分组巡视后不得遗漏任何节点；

准则三：

分组完成后每组只在巡视自己组的任务时作停留。

准则四：

在满足以上准则的前提下，须使分组最少。

在求解之前，先给出如下定义：

定义最小树的分支上未分组的点中到O最远的点为

，O点到点N的时间记为

，停留时间记为

次最远点为

，依此类推，直至离O最近的点

在满足以上准则下的求解过程为：

（1）求出O点到每一点的最短距离，得到最小树（已在第一问中完成）；

（2）求出最小树的一条分支上未分组的点中到O最远的点

（3）判断

是否该和

分在一组，标准如下：

若

，则点

应单独分在一组；

则

和

分为一组.

同理判断

、

分在一组：

点应单独分在一组；

分为一组；

依此类推，判断

…直至待判点不能和前面已判点分在一组。

（4）重复步骤

（2）、（3）直至所有节点分组完。

按以上求解过程，逐步求解可得以下共分23组巡视方案，图中用颜色标记的点为只经过而不停留的乡、村节点：

巡视路线

时间（小时）

停留点

1

O-2-5-6-7-E-8-E-7-6-2-5-O

5.314

678

2

O-1-A-33-A-1-O

5.354

1A33

3

O-R-29-Q-30-Q-29-R-O

5.4

2930Q

4

O-M-25-21-K-17-16-17-K-21-25-M-O

5.4457

1716

5

O-M-25-21-K-18-I-18-K-21-25-M-O

5.491

I

6

O-M-25-21-K-21-25-M-O

5.497

21K

7

O-P-26-N-24-27-28-P-O

5.577

N24

8

O-2-5-6-7-E-11-G-E-8-7-6-5-2-O

5.58

G

9

O-P-28-27-28-P-O

5.72

P2827

10

O-R-31-32-31-R-O

5.726

3132R

11

O-2-5-6-7-E-9-F-10-F-9-E-7-6-5--O

5.7657

510

12

O-M-O-C-O

5.7886

MC

13

O-P-26-N-23-22-23-N-26-P-O

5.8

262223

14

O-2-5-6-7-E-9-F-12-F-9-E-7-6-5-2-O

5.8457

122

15

O-1-A-34-35-34-B-1-O

5.937

3435B

16

O-2-3-D-4-D-3-2-O

5.994

43D

17

O-M-25-21-K-18-I-15-I-18-K-21-25-M-O

5.9943

1815

18

O-2-5-6-L-19-J-19-L-6-5-2-O

6.1

19J

19

O-2-5-6-L-19-J-13-14-13-J-19-L-6-5-2-O

6.15

1413

20

O-2-5-6-7-E-11-E-8-7-6-5-2-O

6.19

E11

21

O-2-5-6-L-20-25-M-O

6.36

L2025

22

O-2-5-6-7-E-9-F-9-E-7-6-5-2-O

6.418

F9

23

O-2-5-6-7-E-9-F-12-H-12-F-9-E-7-6-5-2-O

6.4286

H

由所得结果，所分的23个组中，单独巡视H点的时间最长，即为全部巡视完所需的最短时间。

问题四

由之前的分析与求解可知，每条巡视路线总时间为：

其中m表示停留m个村，n表示停留n个乡镇，L表示巡视路线距离

假设巡视组数为四组，巡视路线受到T，t和V的影响，当速度V较大时，比如35km/h，停留时间对巡视时间为主要影响，分组巡视时，应考虑使停留点分布均匀，停留时间接近；

当速度较小时，如5km/h，巡视时花费在路途上的时间较长，此时速度为主要影响因素，且停留时间较短时如T=1h,t=0.5h，,应使巡视路线的距离接近，才能保证尽早、同时完成巡视；

当V较小，如5km/h，且停留时间较长时，如T=4h,t=3h,则需同时考虑m、n和L，使得

接近。

模型优缺点及改进

1.模型的优点

（1）用均衡度的概念量化分组的均衡性。

（2）运用图论软件包得到最小生成树，然后对这有六条干枝的树进行分组，降低了分组的复杂程度，而且能更好地保证分组方法和巡回路线的准确性。

2模型的缺点：

（1）我们用矩阵翻转法所得的最后的H圈依赖于初始选择的H圈。

所以利用该算法求得的H圈不一定是最优的。

我们不得不从不同的H圈开始，重复做几次，从中求得一个最好的H圈。

（2）在问题三的分组过程中，我们是通过人工观察，比较，调整的方法得到分组路线，过程较烦琐，而且不能保证求得的解就是最优解。

3.模型的改进

由于在实际情况中，各个乡（镇），村的受灾情况不同，故应根据受灾的严重程度来分配巡视时的停留时间，可先将每个巡视点的受灾程度p量化，建立T，t关于p的函数，然后分组巡视，求最佳巡视路线。

参考文献

【1】赵静，但琦.数学建模与数学实验.北京：

高等教育出版社，2008.

【2】杨秀文，等.利用矩阵翻转法求最佳H圈.2008.

附录：

附录一：

矩阵翻转法求最优H圈的程序。

e=xlsread（'

d:

\MyDocuments\work05\数据\56.xls'

'

B:

AA'

）;

%将excel中子图的弗洛伊德矩阵数据读入

n=size（e）;

%求出距离矩阵的维数.

fori=2:

n-2;

forj=i+1:

%有一个顺序的外框，所以循环从2开始到n一2.

ife（i,j）+e（i+1,j+1）<

e（i,i+1）+e（j,j+1）;

a=fliplr（horzcat（e（:

1:

i）,e（:

j:

-1:

i+1）,e（:

j+1:

n）））;

%翻转e中的第i+1至j列.

b=flipud（vertcat（a（1:

i,:

）,a（j:

i+1,:

）,a（j+1:

n,:

）））;

%翻转a中的第i+l至j行.

e=b;

%把翻转后的矩阵定义成新的距离矩阵，再次进人循环.

end

end

s=0;

s=s+e（i,i+1）;

%求优化后H圈的总权.

e

s

%结果可能是近似最优解，多代几个初始H圈.比较各自的近似最优解，可得到最佳H圈.

附录二：