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可以用刻度尺量出第三边的长。
量出的结果可靠吗?
生2(很快地):
测量的结果并不可靠。
那么我们能求出第三边的长吗?
这就需要研究直角三角肜三边之间的数量关系,本节课我们就来研究这个问题。
(板书:
直角三角形三边的数量关系)
设计意图从台风把树吹断这一学生熟悉的情境出发,抽象出直角三角形中已知两边求第三边这一数学问题.引入本节课的探究主题,还原学生的数学现实,诱发动机,同时该抽象简洁明了、直奔主题。
2.2探究新知
师如何研究直角二角形三边数量关系呢?
我先给同学们讲一个故事。
(1)形数的历史
在2500多年前,古希腊有个著名的学派——毕达哥拉斯学派,这个学派的成员非常热衷于数学,几乎达到痴迷的程度,而他们对数学研究最多和最崇拜的是数学中的数,他们曾提出一个响亮的口号——“万物皆数”。
●●●●●●●●●
●●●●●●●
①②③
图3
当时还没有发明纸,他们就存沙盘上把小石子摆成各种不同的几何图形.进而得到一些特殊的数。
有一天,毕达哥拉斯带着他的弟子们用小石子摆出了如下的图形(如图3)
上述3个图形各用了几颗小石子?
如果把这些图形外围的点顺次连起来就可以得到一个个正方形,若规定相邻两点之间的距离为1.这些正方形的面积分别是多少?
生3(观察后迅速举手发言).石子颗数为4,9.16,……正方形面积为l,4,9,…
序号
①
②
③
…
石子数
4
9
16
面积
1
师(把生3回答的结果填人表中,并追问).这些数有什么特征?
生4(迅速地):
这些数都可以写成某个整数的平方。
你说得非常好!
毕达哥拉斯发现l,4,9,16.……“这些数既是小石子的颗数,又与正方形的面积之间有着对应关系,他非常兴奋,就把这些数称为正方形数,从那以后他的脑海里时常在思索着与这些数有关的问题。
[1]
设计意图勾股定理(毕达哥拉斯定理)在历史上是毕达哥拉斯学派在研究正方形数的时候发现并证明的,这里还原了数学家发现定理的真实过程,回到了数学的本源。
(2)勾股定理的发现
有一天,毕达哥拉斯应邀参加一位富有政要的晚宴,这位主人的餐厅很豪华,地面铺着正方形地砖,不知是何原因大餐迟迟不上桌。
这些饥肠辘辘的贵宾们颇有怨言,但善于观察和思考的毕达哥拉斯却凝视着脚下的正方形地砖,他的脑海里突然冒出一个念头:
这里有没有与“正方形数”有关的规律呢?
于是他拿起笔蹲在地板上,选了一块地砖,以它的对角线为一边画了一个正方形(如图4),规定每一个小方格的边长记为1.请同学们想办法帮他求出这个正方形的面积。
(学生结合学案上的图形独立思考计算这个正方形的面积)
生5:
我把这个正方形沿对角线分割成4个直角三角形,每个小直角三角形的面积是0.5,所以原正方形的面积是0.5×
4=2
生6:
我把这个正方形沿中间的那条格线分割成两个直角三角形,他们的面积都是l,所以这个正方形的面积是1×
2=2。
图4图5
这两位同学说的方法都是正确的,很好!
毕达哥拉斯也计算出了这个正方形的面积是2,他感到很好奇,同学们想一想他为什么感到好奇呢?
(学生思考片刻后仍不知毕达哥拉斯好奇的原因,教师未作解答,悬置疑问)
于是毕达哥托斯又以两块地砖拼成的长方形的对角线为一边画了一个正方形(如图5).请同学们再帮他求出这个正方形的面积。
(学生结合学案上的图形计算这个正方形面积,教师巡视全班)
同学们,把你的计算方法和小组内的其他同学的方法交流一下,看看你们所选用的方法是否一样?
最终所求出的面积是否相同?
(学生小组内七嘴八舌地向同伴讲述自己的算法)
下面请几位同学展示一下研究成果。
(几位学生将自己的算法通过实物投影仪展示)
生7(结合图6讲解):
我把这个正方形沿着它的格线分割成四个直角三角形和一个正方形,每个直角二角形的面积都是1,中间的小正方形面积是1,正方形面积是1×
4+1=5。
太棒了,你把不能直接计算面积的正方形分割成5个可以计算面积的图形,从而求出原正的面积,请你给自己发明的这种方法起个名字吧!
生7(思考几秒):
就叫割法吧!
(其他同学点头同意,教师在黑板上用红色粉笔板书“割法”)
图6图7
师:
还有没有其他的方法?
生8(主动带着学案上台,结合图7讲解):
我借助这个正方形的四个顶点处的格线面出了一个新的正方形,它的面积是9,周围的4个直角三角形的面积都是1,于足原正方形的面积是9-4=5。
太棒了,你和刚才那位同学的想法正好相反,他是在正方形内部用割法进行转化,你是到正方形外部去研究,求出正方形面积,请你给自己的这种方法也起个名字吧!
生8(思考片刻后):
我是在原来正方形的外部补了4个直角三角形,就叫它补法吧!
(教师向他翘起大拇指,其他同学报以掌声,教师在黑板上用红色粉笔板书“补法”)
刚才两位同学所展示的两种计算图形面积的方法——割法和补法体现了转化的数学思想,它们也是以后研究类似问题的常用方法。
大家的计算结果都是5,毕达哥拉斯也计算出了这个正方形的面积是5.现在他更加好奇了,同学们想一想他为什么感到更加好奇了呢?
(学生陷人沉思,1分钟后)
同学们,我们本节课研究的中心是什么?
生(看板书)齐答:
直角三角形三边数量关系
如图8,在正方形周围有与正方形的边有关的直角三角形吗?
(教师结合屏幕上的图8用教杆在正方形的外围比划.学生看着屏幕思考)
图8图9
生9:
正方形每条边的外面都有一个直角三角形,一共有4个。
请你上台在两个正方形旁边各画出一个直角三角形
(生9上台画图,其余学生观看.1分钟后学生画出如图9所示的图形)
现在你知道毕达哥拉斯为何好奇了吗?
(学生摇头,片刻之后,有学生举手示意)
生10:
我知道毕达哥拉斯好奇的原因了,如图10.以图上的直角三角形的两条直角边为边长向外画两个正方形.左图中的两个正方形的面积分别是1,l,右图中的两个正方形的面积分别是l,4,我发现它们的和刚好等于以斜边为边长的那个正方形的面积。
图10图ll
(教室里发出了赞叹声,教师带头为生10的发现鼓掌)
你真是太聪明了.你的发现是否适用于所有的情况呢?
我按捺不住激动的心情,也参加到毕达哥拉斯的研究中来,现画一个图形(如图11),这三个正方形的面积是否还有上面的结论呢?
(学生结合学案的图11.汁算三个正方形的面积,4分钟后教师演示,并让学生说出S1,S2,S3的值)
割法如图12,补法如图13
图12图13
计箅结果仍然满足S1+S2=S3,我们已经研究3个图形,发现它们都有S1+S2=S3的结论,有没有反例呢?
请同学们也参加到毕达哥拉斯的研究中来吧!
在方格纸上画一个直角三角肜,使它的三个顶点都在格点上.再分别以这个直角三角形的三边为边长向三角形外作正方形,并求出这三个正方形的面积。
(学生独立完成绘图、计算、验证,教师巡视)
下面请几位同学说出自己的研究成果
S1
S2
S3
2
5
3
25
(学生口述,教师在表中填写数据)
观察表格中的数据,你有什么发现?
(学生观察、归纳、猜测结论)
生11:
全部都有S1+S2=S3。
正方形的面积和直角三角形三边之间有什么关系?
请你用自己的语言把上述猜想叙述一下。
生12(思考片刻):
正方形的面积恰好是直角三角形三边的平方,也就是任何直角三角形,其斜边的平方恰好等于另两直角边的平方之和。
(教师结合图14板书符号语言:
在△ABC中,若∠C=90°
,则a2+b2=c2)
是否所有的直角三角形都有上述的结论呢?
图14
(教师将网格线去掉,利用几何画板演示改变直角三角彤二边的长度,通过度量和计箅发现直角三角形三边全部满足结论a2+b2=c2)。
设计意图此环节是本节课的核心,从毕达哥拉斯晚餐上的发现开始逐步研究了3个特殊直角三角形,荻取三组数据,在学生积累了一定研究经验之后安排学生自己动手实验.因此获得了丰富的数据,学生根据上述数据归纳猜想得出结论,教师适时总结得到定理,再用几何画板进行更为一般化的验证这一设计清新、自然,顺应学生的心理特点,体现了从特殊到一般的数学思想,这也是研究数学问题的一般方法.
(3)介绍勾股定理的历史
那一顿饭.这位古希腊数学大师的视线一直没有离开地面,经过系统的研究.毕达哥拉斯最终证明了这个结论是正确的,因此世界上许多国家都称它为毕达哥拉斯定理。
为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此又有人称这个定理为“百牛定理”.
在我国,据《周髀算经》记载,距今3000多年前的周朝有个叫商高(约公元前1120年)的宰相有一次和周公谈话时说:
“故折矩,以为勾广三,股修四,径隅勾五.”此话的意思是:
若折出一个直角勾是三、股是四,则弦必定是五,在古代汉语中勾指较短直角边、股指较长直角边、弦指斜边(如图15)。
因此这个定理在中国又称“勾股定理或商高定理”。
图15
(教师用弯曲的手臂形象地表示勾、股、弦的概念,板书勾股定理)
设计意图在历史上古埃及、古巴比伦、中国和古希腊等国家的人们几乎都发现了直角三角形这一性质——勾股定理,显然勾股定理不仅仅是哪一个民族的私有财产而是全人类的共同财富。
这里向学生介绍勾股定理的相关历史故事,开阔了学生的眼界,激发学生学习数学的兴趣和民族自豪感。
2.3应用新知
练习1:
求图16中各直角三角形中未知边的长.
图16
练习2:
求图17中未知数x,y,z的值
图17
练习3:
已知图18中,直角三角形ABC和直角三角形ADB中,边AC,BC,BD的长分别为3,4,12,你能求出AD吗?
图18
设计意图练习1和练习2帮助学生理解巩固定理,通过练习可使学生明白以下几点:
(1)勾股定理只适用于直角三角形,
(2)勾股定理可以作为相等关系列方程;
(3)已知直角三角形的任意两边可以求出第三边,练习3要两次使用勾股定理,可以很好地发展学生的逻辑思维能力。
2.4小结提升
引导学生回顾这节探究课的经历,学生在反思回顾中体会这节课和毕达哥拉斯一起“探究实践、观察归纳、猜想验证”得出勾股定理同时也有学生提出了自己的疑问,直角三角形三边有a2+b2=c2这样的数量关系,锐角三角形和钝角三角形中有没有类似的结论呢?
这是个非常漂亮的问题,体现了对结论一般化的思考,同时让学生带着疑问走出课堂,这样的课堂是有深度和长度的课堂。
3教学设计反思
本节课的着眼点是还原人类发现勾股定理的真实历程,教师引领学生亲身经历一番人类认识数学定理、规律的艰难历程,通过“探究实践、观察归纳、猜想验证”得出勾股定理,学生参与了整个研究过程,并最终得出结沧,他们有一种强烈的成就感,同时因为他们经历了这样一个艰辛的探究过程,从而对前辈们的研究成果产生敬畏之情。
在发现定理的过程中学生一步一步地沿着当年大师发现问题的脚步走下去,从正方形数开始到发现定理再到使用割法和补法突破了计算过程中的难点,归纳出定理经过欣赏大师的方法——数学实验——归纳出勾股定理——几何画板的验证——再到理解和应用定理,这一过程水到渠成,非常自然,让人赏心悦目这样的设计,一方面还原了数学结论发现的历史真相.另一方面也激发了学生学习数学的兴趣,带领学生从大师那里学到了最基本、最本质的研究数学问题的方法和思想,这些对学生的一生都将产生深远的影响.
数学教学定要回到数学最本质的内容上来.一定要杜绝人为的生搬硬套.硬性灌输,要带领学生穿越数学结论的发现和证明的过程,给学生创造一种重新发现并证明数学结论、定理的机会,让学生有创造和发明的机会,给学生增添学习数学的兴趣,让学生爱上数学。
(在本课设计及本文写作过程中曾得到苏州高新区张必华名师工作室领衔人张必华老师的悉心指导,在此表示衷心感谢!
)
参考文献
[1](美)M克莱困著,张理京,张锦炎.江泽涵译,古今数学思想
(1)[M]上海:
上海科学技术出版社,2002:
34-35。
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