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无论题目有多难都不会逃出这三个方法。
但是很多考生的立体推理能力比较差,中公教育专家教给大家一个小技巧:
在考试过程中用橡皮擦模拟对应的六个面,正确率会提高不少。
五、图形重组类解题小技巧
图形重组中的图形一般是由若干个元素组成。
备选图形只有一个是由组成题目图像的元素组成的。
只能是在同一平面上,方向、位置可能变化的题型。
解题时使用子图前后对应、旋转后而不翻转的方法,或者是求同去异的方法。
观察后发现,图形重组后,相同的部分去掉,第一个图形在翻转180度就是第三个图形,所以答案是C。
图形重组相对来说比较好判断,第三个图形就是在前面两个基础上进行相应的翻转、叠加、减少等。
数量关系
一、页码问题:
对多少页出现多少1或2的公式 如果是X千里找几,公式是1000+X00*3如果是X百里找几,就是100+X0*2,X有多少个0就*多少。
依次类推!
请注意,要找的数一定要小于X,如果大于X就不要加1000或者100一类的了, 比如,7000页中有多少3就是1000+700*3=3100(个) 20000页中有多少6就是2000*4=8000(个) 友情提示,如3000页中有多少3,就是300*3+1=901,请不要把3000的3忘了
二、握手问题:
N个人彼此握手,则总握手数 S=(n-1){a1+a(n-1)}/2=(n-1){1+1+(n-2)}/2=『n^2-n』/2=N×
(N-1)/2 例题:
某个班的同学体育课上玩游戏,大家围成一个圈,每个人都不能跟相邻的2个人握手,整个游戏一共握手152次,请问这个班的同学有()人 A、16B、17C、18D、19 【解析】此题看上去是一个排列组合题,但是却是使用的多边形对角线的原理在解决此题。
按照排列组合假设总数为X人则Cx取3=152但是在计算X时却是相当的麻烦。
我们仔细来分析该题目。
以某个人为研究对象。
则这个人需要握x-3次手。
每个人都是这样。
则总共握了x×
(x-3)次手。
但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。
则实际的握手次数是x×
(x-3)÷
2=152计算的x=19人
三、钟表重合公式:
钟表几分重合,公式为:
x/5=(x+a)/60a时钟前面的格数
四、时钟成角度的问题:
设X时时,夹角为30X,Y分时,分针追时针5.5,设夹角为A.(请大家掌握) 钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度,每过一分钟分针走6度,时针走0.5度,能追5.5度。
1.【30X-5.5Y】或是360-【30X-5.5Y】【】表示绝对值的意义(求角度公式) 变式与应用 2.【30X-5.5Y】=A或360-【30X-5.5Y】=A(已知角度或时针或分针求其中一个角)
五、往返平均速度公式及其应用(引用):
某人以速度a从A地到达B地后,立即以速度b返回A地,那么他往返的平均速度v=2ab/(a+b)。
证明:
设A、B两地相距S,则 往返总路程2S,往返总共花费时间s/a+s/b 故v=2s/(s/a+s/b)=2ab/(a+b)
六、空心方阵的总数:
空心方阵的总数=(最外层边人(物)数-空心方阵的层数)×
空心方阵的层数×
4 =最外层的每一边的人数^2-(最外层每边人数-2*层数)^2 =每层的边数相加×
4-4×
层数 空心方阵最外层每边人数=总人数/4/层数+层数 方阵的基本特点:
①方阵不论在哪一层,每边上的人(或物)数量都相同.每向里一层边上的人数就少2;
②每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系:
③中实方阵总人(或物)数=(每边人(或物)数)2=(最外层总人数÷
4+1)2 例:
①某部队排成一方阵,最外层人数是80人,问方阵共有多少官兵?
(441人) ②某校学生刚好排成一个方队,最外层每边的人数是24人,问该方阵有多少名学生?
(576名)解题方法:
方阵人数=(外层人数÷
4+1)2=(每边人数)2 ③参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列,则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人?
(289人) 解题方法:
去掉的总人数=原每行人数×
2-1=减少后每行人数×
2+1 典型例题:
某个军队举行列队表演,已知这个长方形的队阵最外围有32人,若以长和宽作为边长排出2个正方形的方阵需要180人。
则原来长方形的队阵总人数是() A、64,B、72C、96D、100 【解析】这个题目经过改编融合了代数知识中的平方和知识点。
长方形的(长+宽)×
2=32+4得到长+宽=18。
可能这里面大家对于长+宽=18有些难以计算。
你可以假设去掉4个点的人先不算。
长+宽(不含两端的人)×
2+4(4个端点的人)=32,则计算出不含端点的长+宽=14考虑到各自的2端点所以实际的长宽之和是14+2+2=18。
求长方形的人数,实际上是求长×
宽。
根据条件长×
长+宽×
宽=180综合(长+宽)的平方=长×
宽+2×
长×
宽=18×
18带入计算即得到B。
其实在我们得到长宽之和为18时,我们就可以通过估算的方法得到选项B
七、青蛙跳井问题:
例如:
①青蛙从井底向上爬,井深10米,青蛙每跳上5米,又滑下4米,这样青蛙需跳几次方可出井?
(6) ②单杠上挂着一条4米长的爬绳,小赵每次向上爬1米又滑下半米来,问小赵几次才能爬上单杠?
(7) 总解题方法:
完成任务的次数=井深或绳长-每次滑下米数(遇到半米要将前面的单位转化成半米) 例如第二题中,每次下滑半米,要将前面的4米转换成8个半米再计算。
完成任务的次数=(总长-单长)/实际单长+1
八、容斥原理:
总公式:
满足条件一的个数+满足条件2的个数-两个都满足的个数=总个数-两个都不满足的个数 【国2006一类-42】现有50名学生都做物理、化学实验,如果物理实验做正确的有40人,化学实验做正确的有31人,两种实验都做错的有4人,则两种实验都做对的有多少人?
A.27人B.25人C.19人D.10人 上题就是数学运算试题当中经常会出现的“两集合问题”,这类问题一般比较简单,使用容斥原理或者简单画图便可解决。
但使用容斥原理对思维要求比较高,而画图浪费时间比较多。
鉴于此类问题一般都按照类似的模式来出,下面华图名师李委明给出一个通解公式,希望对大家解题能有帮助:
例如上题,代入公式就应该是:
40+31-x=50-4,得到x=25。
我们再看看其它题目:
【国2004A-46】某大学某班学生总数为32人,在第一次考试中有26人及格,在第二次考试中有24人及格,若两次考试中,都没有及格的有4人,那么两次考试都及格的人数是多少?
A.22B.18C.28D.26 代入公式:
26+24-x=32-4,得到x=22
九、传球问题:
这道传球问题是一道非常复杂麻烦的排列组合问题。
【李委明解三】不免投机取巧,但最有效果(根据对称性很容易判断结果应该是3的倍数,如果答案只有一个3的倍数,便能快速得到答案),也给了一个启发---- 传球问题核心公式 N个人传M次球,记X=[(N-1)^M]/N,则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数,与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。
大家牢记一条公式,可以解决此类至少三人传球的所有问题。
四人进行篮球传接球练习,要求每人接球后再传给别人。
开始由甲发球,并作为第一次传球,若第五次传球后,球又回到甲手中,则共有传球方式:
A.60种B.65种C.70种D.75种 x=(4-1)^5/4x=60
十、圆分平面公式:
N^2-N+2,N是圆的个数
十一、剪刀剪绳:
对折N次,剪M刀,可成M*2^n+1段 将一根绳子连续对折3次,然后每隔一定长度剪一刀,共剪6刀。
问这样操作后,原来的绳子被剪成了几段?
A.18段B.49段C.42段D.52段
十二、四个连续自然数:
性质一、为两个积数和两个偶数,它们的和可以被2整除,但是不能被4整除 性质二、他们的积+1是一个奇数的完全平方数
十三、骨牌公式:
公式是:
小于等于总数的2的N次方的最大值就是最后剩下的序号
十四、指针重合公式:
关于钟表指针重合的问题,有一个固定的公式:
61T=S(S为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格书,确定S后算出T的最大值知道相遇多少次。
)
十五、图色公式:
公式:
(大正方形的边长的3次方)-(大正方形的边长-2)的3次方。
十六、装错信封问题:
小明给住在五个国家的五位朋友分别写信,这些信都装错的情况共有多少种44种 f(n)=n!
(1-1/1!
+1/2!
!
-1/3!
......+(-1)n(1/n!
)) 或者可以用下面的公式解答 装错1信0种 装错2信:
1种 32 49 544 递推公式是S(n)=n.S(n-1)+(-1)^n~~~~~ 如果是6封信装错的话就是265~~~~
十七、伯努利概率模型:
某人一次涉及击中靶的概率是3/5,设计三次,至少两次中靶的概率是 集中概率3/5,则没集中概率2/5,即为两次集中的概率+三次集中的概率 公式为C(2,3)*[(3/5)^2]*[(2/5)^1]+C(3,3)[(3/5)^3]*[(2/5)^0] 81/125
十八、圆相交的交点问题:
N个圆相交最多可以有多少个交点的问题分析N*(N-1)
十九、约数个数问题:
M=A^X*B^Y则M的约数个数是 (X+1)(Y+1) 360这个数的约数有多少个?
这些约数的和是多少?
解〕360=2×
2×
3×
5,所以360的任何一个约数都等于至多三个2(可以是零个,下同),至多两个3和至多一个5的积。
如果我们把下面的式子 (1+2+4+8)×
(1+3+9)×
(1+5) 展开成一个和式,和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的积。
由前面的分析不难看出,360的每一个约数都恰好是这个展开式中的一个加数。
由于第一个括号里有4个数,第二个括号里有3个数,第三个括号里有2个数,所以这个展开式中的加数个数为4×
2=24,而这也就是360的约数的个数。
另一方面,360的所有约数的和就等于这个展开式的和,因而也就等于 (1+2+4+8)×
(1+5) =15×
13×
6=1,170 答:
360的约数有24个,这些约数的和是1,170。
甲数有9个约数,乙数有10个约数,甲、乙两数最小公倍数是2800,那么甲数和乙数分别是多少?
解:
一个整数被它的约数除后,所得的商也是它的约数,这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时,也就是这个数是完全平方数时,它的约数的个数才会是奇数.因此,甲数是一个完全平方数. 2800=24×
52×
7. 在它含有的约数中是完全平方数,只有 1,22,24,52,22×
52,24×
52. 在这6个数中只有22×
52=100,它的约数是(2+1)×
(2+1)=9(个). 2800是甲、乙两数的最小公倍数,上面已算出甲数是100=22×
52,因此乙数至少要含有24和7,而24×
7=112恰好有(4+1)×
(1+1)=10(个)约数,从而乙数就是112.综合起来,甲数是100,乙数是112.
二十、吃糖的方法:
当有n块糖时,有2^(n-1)种吃法。
二十一、隔两个划数:
1987=3^6+1258 1258÷
3+1=1888 即剩下的是1888 减去1能被3整除
二十二、边长求三角形的个数:
三边均为整数,且最长边为11的三角形有多少个?
[asdfqwer]的最后解答:
11,11,11;
11,11,10;
11,11,9;
...11,11,1;
11,10,10;
11,10,9;
...11,10,2;
11,9,9;
...11,9,3;
11,8,8;
...11,8,4;
11,7,7,...11,7,5;
11,6,6;
1+3+5+7+9+11=6^2=36 如果将11改为n的话, n=2k-1时,为k^2个三角形;
n=2k时,为(k+1)k个三角形。
二十三、2乘以多少个奇数的问题:
如果N是1,2,3,…,1998,1999,2000的最小公倍数,那么N等于多少个2与1个奇数的积?
因2^10=1024,2^11=2048>
2000,每个不大于2000的自然数表示为质因数相乘,其中2的个数不多于10个,而1024=2^10,所以,N等于10个2与某个奇数的积。
二十四、直线分圆的图形数:
设直线的条数为N则总数=1+{N(1+N)}/2 将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片,如果要分成不少于50个小纸片,至少要画多少条直线?
请说明. 〔解〕我们来一条一条地画直线。
画第一条直线将圆形纸片划分成2块.画第二条直线,如果与第一条直线在圆内相交,则将圆形纸片划分成4块(增加了2块),否则只能划分成3块.类似地,画第三条直线,如果与前两条直线都在圆内相交,且交点互不相同(即没有3条直线交于一点),则将圆形纸片划分成7块(增加了3块),否则划分的块数少于7块.下图是画3条直线的各种情形 由此可见,若希望将纸片划分成尽可能多的块数,应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交,且交点互不相同.这时增加的块数等于直线的条数。
(为什么?
)这样划分出的块数,我们列个表来观察:
直线条数纸片最多划分成的块数 11+1 21+1+2 31+1+2+3 41+1+2+3+4 51+1+2+3+4+5 不难看出,表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。
)我们把问题化为:
自第几行起右边的数不小于50?
我们知道 1+1+2+3+…+10=56,1+1+2+3+…+9=46,可见 9行右边还不到50,而第10行右边已经超过50了。
答:
至少要画10条直线。
二十五、公交车超骑车人和行人的问题:
一条街上,一个骑车人和一个步行人相向而行,骑车人的速度是步行人的3倍,每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。
每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人,如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车,那么间隔几分钟发一辆公交车?
此类题通解公式:
a=超行人时间,b=超自行车时间,m=人速,n=自行车速 则每隔t分钟发车;
t=(abn-abm)/(bn-am),令M=1N=3,解得T=8。
二十六、公交车前后超行人问题:
小明放学后,沿某公交路线以不变速度步行回家,该路公共汽车也以不变速度不停的运行,每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他,每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,问该路公共汽车每隔多少分钟发一辆车?
此类题有个通解公式:
如果a分钟追上,b分钟相遇, 则是2ab/(a+b)分钟发一次车
二十七、象棋比赛人数问题:
象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局胜者记2分,负者记0分,和棋各记1分,四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是:
1979,1980,1984,1985,经核实只有一位观众统计正确,则这次比赛的选手共有多少名?
A.44B.45C.46D.47 解析:
44*43=1892,45*44=1980,46*45=2070所以选B
二十八、频率和单次频度都不同问题:
猎犬发现在离它9米远的前方有一只奔跑着的兔子,立刻追赶,猎犬的步子大,它跑5步的路程,兔要跑9步,但兔子动作快,猎犬跑2步的时间,兔子跑3步。
猎犬至少跑多少米才能追上兔子?
() A.67B.54C.49D.34答案b 分析:
猎犬的步子大,它跑5步的路程,兔要跑9步,但兔子动作快,猎犬跑2步的时间,兔子跑3步.可知猎犬和兔子的速度比是6:
5,s/(s-9)=6/5,s=54
二十九、上楼梯问题:
一般来说上电梯有a1=1a2=2a3=4a4=a1+a2+a3 所以一般公式是an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)
三十、牛吃草公式:
核心公式:
草场草量=(牛数-每天长草量)*天数 例如:
10牛可吃20天,15牛可吃10天,则25牛可吃多少天?
解:
可用公式,设每天恰可供X头牛吃一天,25牛可吃N天 则(10-X)*20=(15-X)*10=(25-X)*N,可得X=5,Y=5
三十一、十字相乘法:
十字相乘法使用时要注意几点:
第一点:
用来解决两者之间的比例关系问题。
第二点:
得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点:
总均值放中央,对角线上,大数减小数,结果放对角线上。
(2007年国考) 某班男生比女生人数多80%,一次考试后,全班平均成级为75分,而女生的平均分比男生的平均分高20%,则此班女生的平均分是:
A.84分B.85分C.86分D.87分答案:
A 分析:
假设女生的平均成绩为X,男生的平均Y。
男生与女生的比例是9:
5。
男生:
Y9 75 女生:
X5 根据十字相乘法原理可以知道 X=84 6.(2007年国考).某高校2006年度毕业学生7650名,比上年度增长2%.其中本科毕业生比上年度减少2%.而研究生毕业数量比上年度增加10%,那么,这所高校今年毕业的本科生有:
A.3920人B.4410人C.4900人D.5490人 答案:
C 分析:
去年毕业生一共7500人。
7650/(1+2%)=7500人。
本科生:
-2%8% 2% 研究生:
10%4% 本科生:
研究生=8%:
4%=2:
1。
7500*(2/3)=5000 5000*0.98=4900 此方法考试的时候一定要灵活运用
三十二、兔子问题:
An=A(n-1)An(n-2) 已知一对幼兔能在一月内长成一对成年兔子,一对成年兔子能在一月内生出一对幼兔。
如果现在给你一对幼兔,问一年后共有多少对兔子?
析:
1月:
1对幼兔 2月:
1对成兔 3月;
1对成兔.1对幼兔 4;
2对成兔.1对幼兔 5;
;
3对成兔.2对幼兔 6;
5对成兔.3对幼兔....... 可看出规律:
1,1,2,3,5,8(第三数是前两数之和),可求出第12项 为:
13,21,34,55,89,144,答:
有144只兔
三十三、称重量砝码最少的问题:
例题:
要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量,至少要用多少个砝码?
这些砝码的重量分别是多少?
分析与解:
一般天平两边都可放砝码,我们从最简单的情形开始研究。
(1)称重1克,只能用一个1克的砝码,故1克的一个砝码是必须的。
(2)称重2克,有3种方案:
①增加一个1克的砝码;
②用一个2克的砝码;
③用一个3克的砝码,称重时,把一个1克的砝码放在称重盘内,把3克的砝码放在砝码盘内。
从数学角度看,就是利用3-1=2。
(3)称重3克,用上面的②③两个方案,不用再增加砝码,因此方案①淘汰。
(4)称重4克,用上面的方案③,不用再增加砝码,因此方案②也被淘汰。
总之,用1克、3克两个砝码就可以称出(3+1)克以内的任意整数克重。
(5)接着思索可以进行一次飞跃,称重5克时可以利用 9-(3+1)=5,即用一个9克重的砝码放在砝码盘内,1克、3克两个砝码放在称重盘内。
这样,可以依次称到1+3+9=13(克)以内的任意整数克重。
而要称14克时,按上述规律增加一个砝码,其重为 14+13=27(克), 可以称到1+3+9+27=40(克)以内的任意整数克重。
总之,砝码重量为1,3,32,33克时,所用砝码最少,称重最大,这也是本题的答案。
三十三、文示图:
红圈:
球赛。
蓝圈:
电影绿圈:
戏剧。
X表示只喜欢球赛的人;
Y表示只喜欢电影的人;
Z表示只喜欢戏剧的人 a表示喜欢球赛和电影的人。
仅此2项。
不喜欢戏剧 b表示喜欢电影和戏剧的人。
不喜欢球赛 c表示喜欢球赛和戏剧的人。
仅此2项不喜欢电影。
中间的阴影部分则表示三者都喜欢的。
我们用T表示。
回顾上面的7个部分。
X,y,z,a,b,c,T都是相互独立。
互不重复的部分 现在开始对这些部分规类。
X+y+z=是只喜欢一项的人我们叫做A a+b+c=是只喜欢2项的人我们叫做B T就是我们所说的三项都喜欢的人 x+a+c+T=是喜欢球赛的人数构成一个红圈 y+a+b+T=是喜欢电影的人数构成一个蓝圈 z+b+c+T=是喜欢戏剧的人数构成一个绿圈 三个公式。
(1)A+B+T=总人数
(2)A+2B+3T=至少喜欢1个的人数和 (3)B+3T=至少喜欢2个的人数和 例题:
学校教导处对100名同学进行调查,结果有58人喜欢看球赛,有38人喜欢看戏剧,有52人喜欢看电影。
另外还知道,既喜欢看球赛又喜欢看戏剧(但不喜欢看电影)的有6人,既喜欢看电影又喜欢看戏剧(但不喜欢看球赛)的有4人,三种都喜欢的有12人。
通过这个题目我们看因为每个人都至少喜欢三项中的一项。
则我们用三个圈红,绿,蓝代表球赛。
戏剧、和电影。
A+B+T=100A+2B+3T=148T=12 则可以直接计算只喜欢一项的和只喜欢两项的 A=64B=24 典型例题:
甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题,只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多()题?
A、6
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