mba数学基础阶段讲义.doc
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第一章实数的概念性质和运算
(甲)内容要点
一、充分条件
定义:
如果条件A成立,那么就可以推出结论B成立。
即AB,这时我们就说A是B的充分条件。
例如:
A为x>0,B为x0,BO 2>0.
由x>0x2>0A是B的充分条件.
MBA联考数学中有一类题目叫做“充分性判断题”:
本题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论.(而不必考试条件是否必要)
在这类题目中有五个选项,规定为
(A)条件
(1)充分,但条件
(2)不充分;
(B)条件
(2)充分,但条件
(1)不充分;
(C)条件
(1)和
(2)单独都不充分,但联合起来充分;
(D)条件
(1)充分,条件
(2)也充分;
(E)条件
(1)和
(2)单独都不充分,联合起来也不充分.
二、实数
1、数的概念和性质
(1)自然数N、整数Z、分数(百分数%)
(2)数的整除:
设a,b∈Z且b≠0若P∈Z使得a=pb成立,则称b能整除a,或a能被 b整除,记作b︱a,此时我们把b叫做a因数,把a叫做b的倍数。
定理(带余除法),设a,b∈Z,且b>0,则P,r∈Z使得a=bP+r,0≤r
(3)质数与合数
质数:
如果一个大于1的整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(或素数).例如:
2、3、5、7、、、.
合数:
一个大于1的正整数,除了能被1和本身整除外,还能被其他正整数整除.这样的正整数叫做合数.例如:
4、6、9、、、.
(4)有理数与无理数
有理数,整数、有限小数和无限循环小数,统称为有理数.
无理数;无限不循环小数叫做无理数.
(5)实数;有理数和无理数统称为实数,实数集用R表示.
2、实数的基本性质:
(1)实数与数轴上的点一一对应.
(2)a,b∈R,则在ab中只有一个关系成立.
(3)a∈R,则a2≥0.
3、实数的运算.
实数的加、减、乘除四则运算符合加法和乘法运算的交换律,结合律和分配律。
下面讨论实数的乘方和开方运算
(1)乘方运算
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当a∈R,a≠0时,a0=1,a-n=,负实数的奇数次幂为负数;负数的偶次数幂为
正数。
(2)开方运算
在实数范围内,负实数无偶次方根;0的偶次方根是0;正实数的偶次方根有两个,它们互为相反数,其中正的偶次方根称为算术根。
在运算有意义时,
三、绝对值
1、定义 实数a的绝对值,用︱a︱表示
几何意义:
数轴上表示数a的点A到原点O的距离。
2、性质
(1)︱a︱≥0
(2)︱–a︱=︱a︱
(3)–︱a︱≤a≤︱a︱
(4)
(5)
(6)(a≠0)
(7)︱a+b︱≤︱a︱+︱b︱,当且仅当a,b同号时,等式成立.
(8)︱a-b︱≥︱a︱-︱b︱,当且仅当a,b同号时,等式成立.
(9)a∈R时,︱a︱2=a2
四、平均值
1、算术平均值:
n个数的算术平均值为
2、几何平均值:
n个正数,的几何平均值为
五、比和比例
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1、比的意义:
两个数相除,又叫做这两个数的比记做、即
a叫做比的前项,b叫做比的后项,若的商为k则称k为a:
b的值。
2、比的性质
(1)a:
b=ka=kb
(2)a:
b=ma:
mb(m≠0)
3、百分比
把比值表示成分母为100的分数,这个数就称为百分比或百分率,如1:
2=50%
a:
b=r%常表述为a是b的r%,即a=br%.
4、比例的定义
如果两个比a:
b和c:
d的比值相等,就称a、b、c、d成比例,记作
a:
b=c:
d或=a和d叫做比例的外项,b和c叫做比例的内项。
当a:
b=b:
d时,称b为a和d的比例中项即b2=ad
(乙)典型例题
一、充分条件判断,举例
1、方程x2-5x+6=0
(1)x=2
(2)x=1
解:
将
(1)x=2代入方程,22-52+6=0满足方程.
条件
(1)充分.
将
(2)x=1代入方程12-51+6=20条件
(2)不充分.答案应选A
注:
若比题题干不变
所给出的条件有如下变化时:
(一)
(1)x=1,
(2)x=3答案应选B
(二)
(1)x=2
(2)x=3答案应选D
(三)
(1)x=0
(2)x=1答案应选E
2、等式x=y成立(x,y实数)
(1)x2=y2
(2)x和y同号
解:
由x2=y2x=y或x=-y条件
(1)不充分.x和y同号时,可能x-y,条件
(2)不充分.
但条件
(1)与
(2)联合起来,x2=y2且x与y同号x=y故答案选C
3、将一篇文章录入讲算机,录入员甲比录入员乙效率高
(1)录入员甲与录入员丙合作,需3小时完成;
(2)录入员乙与录入员丙合作,需4小时完成;
解:
设甲单独录入需x小时录完,乙单独录入y小时录完.
由条件
(1)丙每小时录入量为-,再由条件
(2)得+(-)==+>
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即:
甲每小时完成的工作量大于乙每小时完成的工作量.
即:
甲的效率比乙高,此题应选C
二、实数
5、从1到105的自然数中,能被3整除或被5整除的数的个数是()
(A)58个(B)57个(C)56个(D)49个(E)47个
解:
能被3整除的数可表示为3k,k=1,2、、、、35是1到105能被整除的数.能被5整除的数可表示为5k,k=1,2、、、、,21是1到105能被整除的数.
3和5的最小公倍数是15既能被3整除,又能被5整除的数一定是15的倍数,可表示为15k,k=1,2、、、、、7是从1到105中能被15整除的数,从而能被3整除或被5整除的个数为35+21-7=49个答案是D
5、(充分性判断)(2009年10月考题)
m是一个整数。
(1)若m=,其中p与q为非零整数,且m2是一个整数。
(2)若m=,其中p与q为非零整数,且是一个整数。
解:
由条件
(1),若m=,知m是有理数,又m2是一个整数,即有理数的平方是整数,则该有理数m必是一个整数,条件
(1)充分
由条件
(2),若m=,知m是有理数,又=z是一个整数,即2m+4=3 zm=故m不一定是一个整数,条件
(2)不充分,故选A.
6、(2008年10月考试)
一个大于1的自然数的算术平方根为a,则与这个自然数左右相邻的两个自然数的算术平方根分别为()
(A)-1,+1(B),(C),,(D),(E),
解:
设n是大于1的自然数,则,分别为,,从而,的算术平方根分别为,故选D
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7、把无理数记作,它的小数部分记作则等于()
(A)-1(B)1(C)-2(D)2(E)-3
解:
因为9<13<16所以3<<4,故的整数部分是3,即b=a-3.所以,答案选E
三、绝对值
8、已知︱︱+()2=0,则logyx=_______
解:
由
log28=3答案:
3
9、求适合下列条件的所有x的值
(1)
(2)
(3)
解:
(1)
(2)
(3)
10、已知.
解:
已知等式可能简化表示为
由
所以取值范围是
11、(2001年考题)
已知
(A)2(B)-2(C)12(D)-12(E)6
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解:
由则可知
当
从而
当
从而所以答案选C
12、(充分性判断)
方程f(x)=2有且只有一个实根
(1)
(2)
解:
由
(1)得
得,x=3,条件
(1)充分
由
(2),
此方程有两个实根:
所以条件
(2)不充分,此题应选A
13、(充分性判断)(2003年考题)
不等式
(1)
解:
即,显然当,不等式无解,即条件
(1)充分
当时,不等式有解,即条件
(2)不充分,所以选A
三平均值
14、将一长为a的线段截成为x和a-x,使x恰是a与a-x的几何平均值,我们称对任意一个量a的这种分割为黄金分割,试求x
解:
由已知,得
两边平方整理得
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舍去负值,即
15、(问题求解)
车间共有40人,某次技术操作考核的平均值成绩为80分,某中男工平均成绩为83分,女工平均成绩为78分,该车间有女工()
(A)16人(B)18人(C)20人(D)22人(E)24人
解:
设该车间有女工x人,则有男工(40-x)人
由已知女工的平均成绩为78分,女工所得总分为
故
故此题应选E
16、(2006年考题)
如果三个数的算术平均值为5,则与8的算术平均值为()
(A)(B)(C)7(D)(E)
解:
由已知
即
因此
所以选C
17、(充分性判断)
a与b的算术平均值为8
(1)a,b为不等的自然数,且,的算术平均值为
(2)a,b为自然数,且,的算术平均值为
解:
由条件
(1)知
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又因a,b是自然数,故a,b中至少有一个是3的倍数
不妨设a为3的倍数,即a=3k(k为自然数)
则
由于k与k-1互质,所以k-1必为3的约数.
又因a>3所以k-1>0因此k-1=1或k-1=3
即k=2或k=4
当k=2时a=6,b=6,此时a,b的算术平均值为6不是8
当k=4时a=12,b=4
此时
所以条件
(1)充分,条件
(2)不充分,故选A
18、试判断x与三个数的算术平均值与x的大小关系
解:
因为有意义,所以
于是算术平均值
所以(当且仅当时等号成立)
四比和比例
19、设求使成立的z值
解:
由已知条件,设
所以代入
所以
20、一公司向银行借款31万元,欲按的份额分配给下属甲、乙、丙三个车间进行技术改造,求甲车间应得的款数.
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解:
设甲、乙、丙三个车间应得的款数依次为万元,万元,万元,于是有++=31
故甲车间应得=15(万元)
21、(问题求解)(2009年考题)
某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为19:
12,由于先增加若干女运动员,于是男女运动员比例变为20:
13,后又增加了若干男运动员,于是男女运动员的比例
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