北师大新版八年级数学下册 第1章 三角形的证明 单元测试文档格式.docx
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C.60°
D.70°
8.如图,在△ABC和△DEF中,已知AC=DF,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要的条件是( )
A.∠A=∠DB.∠ACB=∠FC.∠B=∠DEFD.∠ACB=∠D
9.如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为( )
A.30°
B.36°
C.45°
10.如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于结论①AC=AF,②∠FAB=∠EAB,③EF=BC,④∠EAB=∠FAC,其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题:
11.如图△ABC中,∠C=90°
,∠A=30°
,BD平分∠ABC交AC于D,若CD=2cm,则AC= .
12.“等边对等角”的逆命题是 .
13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°
,腰长为6,则其底边上的高是 .
14.在△ABC中,边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P,则PA、PB、PC的大小关系是 .
15.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为 .
三、解答题:
16.如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,求∠E度数.
17.已知:
如图,∠A=∠D=90°
,AC=BD.求证:
OB=OC.
18.已知:
如图,CE⊥AB,BF⊥AC,CE与BF相交于D,且BD=CD.求证:
D点在∠BAC的平分线上.
19.如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=90°
,∠DAE=90°
,B,C,D在同一条直线上.求证:
BD=CE.
20.如图,已知:
∠AOB,点M和点N.求作:
一点P,使点P到∠AOB两边的距离相等,并且满足PM=PN.
21.如图,在△ABC中,∠C=90°
,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证:
△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°
,CD=1,求BD的长.
22.如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°
)绕着顶点B顺时针旋转60°
,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.
CF=DG;
(2)求出∠FHG的度数.
23.已知:
如图,△ABC中,∠ABC=45°
,DH垂直平分BC交AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F.
BF=AC;
(2)求证:
.
24.
(1)如图,在△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上且CE=CA,试求∠DAE的度数;
(2)如果把第
(1)题中“AB=AC”的条件去掉,其余条件不变,那么∠DAE的度数会改变吗?
说明理由;
(3)如果把第
(1)题中“∠BAC=90°
”的条件改为“∠BAC>90°
”,其余条件不变,那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系?
25.如图,在△ABC中,∠C=90°
,点P在AC上运动,点D在AB上,PD始终保持与PA相等,BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE.
(1)判断DE与DP的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=6,BC=8,PA=2,求线段DE的长.
参考答案
一、选择题(共10小题,每小题0分,满分0分)
1.A.
2.B.
3.A.
4.B.
5.C.
6.C.
7.D.
8.B.
9.B.
10.C.
11.6cm.
12.等角对等边.
13.3或3
14.PA=PB=PC.
15.(2,4)或(3,4)或(8,4);
(共55分)
16.解:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°
,∠ACD=120°
,
∵CG=CD,
∴∠CDG=
∠ACB=30°
,∠FDE=150°
∵DF=DE,
∴∠E=
∠CDG=15°
17.证明:
∵∠A=∠D=90°
,AC=BD,BC=BC,
∴Rt△BAC≌Rt△CDB(HL)
∴∠ACB=∠DBC.
∴∠OCB=∠OBC.
∴OB=OC(等角对等边).
18.证明:
∵CE⊥AB,BF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°
在△BDE和△CDF中,
∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴DE=DF,
又∵CE⊥AB,BF⊥AC,
∴D在∠BAC的平分线上.
19.证明:
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AD=AE,AB=AC,
又∵∠EAC=90°
+∠CAD,∠DAB=90°
+∠CAD,
∴∠DAB=∠EAC,
∵在△ADB和△AEC中
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴BD=CE.
20.解:
如图,
点P即为所求.
21.
(1)证明:
∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°
∴CD=ED,∠DEA=∠C=90°
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL);
(2)解:
∵DC=DE=1,DE⊥AB,
∴∠DEB=90°
∵∠B=30°
∴BD=2DE=2.
22.
(1)证明:
∵在△CBF和△DBG中,
∴△CBF≌△DBG(SAS),
∴CF=DG;
∵△CBF≌△DBG,
∴∠BCF=∠BDG,
又∵∠CFB=∠DFH,
又∵△BCF中,∠CBF=180°
﹣∠BCF﹣∠CFB,
△DHF中,∠DHF=180°
﹣∠BDG﹣∠DFH,
∴∠DHF=∠CBF=60°
∴∠FHG=180°
﹣∠DHF=180°
﹣60°
=120°
23.证明:
(1)∵DH垂直平分BC,且∠ABC=45°
∴BD=DC,且∠BDC=90°
∵∠A+∠ABF=90°
,∠A+∠ACD=90°
∴∠ABF=∠ACD,
在△BDF和△CDA中,
∴△BDF≌△CDA(ASA),
∴BF=AC.
(2)由
(1)得BF=AC,
∵BE平分∠ABC,且BE⊥AC,
在△ABE和△CBE中,
∴△ABE≌△CBE(ASA),
∴CE=AE=
AC=
BF.
24.解:
(1)∵AB=AC,∠BAC=90°
∴∠B=∠ACB=45°
∵BD=BA,
∴∠BAD=∠BDA=
(180°
﹣∠B)=67.5°
∵CE=CA,
∴∠CAE=∠E=
∠ACB=22.5°
在△ABE中,∠BAE=180°
﹣∠B﹣∠E=112.5°
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=112.5°
﹣67.5°
=45度;
(2)不改变.
设∠CAE=x,
∵CA=CE,
∴∠E=∠CAE=x,
∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x,
在△ABC中,∠BAC=90°
∴∠B=90°
﹣∠ACB=90°
﹣2x,
﹣∠B)=x+45°
﹣∠B﹣∠E,
=180°
﹣(90°
﹣2x)﹣x=90°
+x,
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD,
=(90°
+x)﹣(x+45°
)=45°
;
(3)∠DAE=
∠BAC.
理由:
设∠CAE=x,∠BAD=y,
则∠B=180°
﹣2y,∠E=∠CAE=x,
∴∠BAE=180°
﹣∠B﹣∠E=2y﹣x,
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=2y﹣x﹣y=y﹣x,
∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=2y﹣x﹣x=2y﹣2x,
∴∠DAE=
25.解:
(1)DE⊥DP,
理由如下:
∵PD=PA,
∴∠A=∠PDA,
∵EF是BD的垂直平分线,
∴EB=ED,
∴∠B=∠EDB,
∵∠C=90°
∴∠A+∠B=90°
∴∠PDA+∠EDB=90°
∴∠PDE=180°
﹣90°
=90°
∴DE⊥DP;
(2)连接PE,设DE=x,则EB=ED=x,CE=8﹣x,
∵∠C=∠PDE=90°
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2,
∴42+(8﹣x)2=22+x2,
解得:
x=4.75,
则DE=4.75.
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