初中数学轴对称与等腰三角形.docx

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初中数学轴对称与等腰三角形

轴对称与等腰三角形

内容

基本要求

略高要求

较高要求

轴对称

了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分性质；了解物体的镜面对称

能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；

掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及相关性质。

能运用轴对称进行图案设计

旋转

了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形

能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角

能运用旋转的知识解决简单问题；

平移

了解图形平移，理解平移中对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等的性质

能按要求作出简单平面图形平移后的图形；能依据平移前后的图形，指出平移的方向和距离

能运用平移的知识解决简单的计算问题；

等腰三角形

了解等腰三角形、等边三角形的概念，会识别这二种图形，并理解这二种图形的性质和判定

能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题

能用等腰三角形、等边三角形的知识解决有关问题

1．轴对称及等腰三角形性质的综合应用

2．全等三角形与轴对称、旋转、平移变换的综合应用

版块一轴对称

☞垂直平分线类

垂直平分线：

“垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等”，主要是转化线段之间的关系，尤其是在轴对称有关作图中，应用更为广泛

【例1】如图中，平分，且平分，于，于.

⑴说明的理由；

⑵如果，，求，的长.

【例2】如图，，，和相交于点，的延长线交于点。

求证：

。

☞双对称轴路程和最短问题

【例3】如图，，角内有点，且，在角的两边有两点、（均不同于点），则的周长的最小值为．

【巩固】如图，在内部有点和点，同时能使，这时在直线上再取点，使从点到点及点的距离和为最小；在直线上也取点，使从点到点和点的距离和也最小．证明：

．

☞多对称轴路程和最短问题

【例4】如图，当点与连续相撞时，假设入射角等于反射角，求作出点向点运动时的最短路程

【例5】如图，矩形台球桌上有两个球，求作一击球路线，使球顺次撞击球桌四边后再撞击球（球撞击桌边的入射角等于反射角）

☞平移路程和最短问题

【例6】如图，在上找到、两点，且，在的左边，使四边形的周长最短。

【巩固】如图，两村相隔一条河，为使两村之间行程最短，应在河的什么位置架一座桥？

（河岸可看成平行线，桥是垂直于河岸的）

☞轴对称与路程差最大问题

【例1】已知：

、两点在直线的同侧，在上求作一点，使得最大。

【巩固】求在直线上找一点，使得直线为的角平分线

版块二、等腰三角形

【例7】已知中，，.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请你利用下面给出的备用图，画出两种不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.

【例8】等腰三角形的顶角，如果过它的顶角顶点作一直线能够将它分成两个等腰三角形，求．

【例9】为等腰三角形的底边上的任意一点，于点，于点，点，如图，求证：

．

【巩固】如图，点为等腰三角形的底边的延长线上的一点，的延长线于点，于点，于点．、、之间存在着怎样的数量关系?

【例10】如下图，是等边三角形，，．求出的每个内角度数．

【巩固】如图所示，已知，延长、、到、、，连接、、，使得，若，，求及的度数．

【例11】如图，六边形中，，且+，．求．

模块三全等三角形与轴对称

☞角平分线类

“角”是轴对称图形，对称轴为角平分线所在的直线。

因此在遇见与角平分线有关问题的时候，可以有下面几个基本解题思路：

①平分角；②角平分线上点到角两边的距离相等；③沿角平分线进行翻折。

【例12】已知中，，、分别平分和，、交于点，

试判断、、的数量关系，并加以证明。

【例13】如图，在中，是斜边上的高，是的平分线，交于，于，求证：

．

【例14】已知在中，，的平分线交于，交边上的高于，过作交于，求证：

．

☞构造等腰三角形类

构造等腰三角形类的主要方法有两种：

①是将直角三角形沿着某一直角边翻折；②是截取等长线段

【例15】如图，在中，，是边上一点，，，试确定的度数．

☞构造等边三角形类

构造等边三角形类的方式主要有两种：

①直接以某一线段长为边，直接构造等边三角形；②作等腰三角形，然后利用题目给出的特殊角，如，证明此等腰三角形为等边三角形

【例16】如图，是的角平分线，，,判断的度数并说明理由。

答：

=

证明：

【巩固】如图，在等腰中，，顶角，在边上取点，使，

求的度数。

【例17】如图，在中，，，为三角形内的一点，且，，求的度数。

模块四全等三角形与旋转

☞倍长中线类

倍长中线是我们耳熟能详的一种辅助线的作法，其实此作法最主要是通过旋转的方式，构造出一对“8”字型全等三角形，从而转化线段与角的数量关系

【例18】在后面的学习中，我们会学习到与直角三角形斜边上有关的性质：

“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用数学语言改编如下：

已知：

在中，，为斜边的中点，证明:

【巩固】两个全等的含、角的三角板和三角板，如图所示放置，、、三点在一条直线上，连结，取的中点，连结、，试判断的形状，并说明理由．

☞一般等腰三角形旋转

一般等腰三角形旋转的问题主要有：

①通过对等腰三角形旋转，构造全等三角形；②通过对一般三角形旋转构造等腰三角形

【例19】如图，是边长为1的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点分别在上，则的周长是．

☞等腰直角三角形旋转

等腰直角三角形旋转有关问题要充分考虑到：

“边相等”“角相等”，还有斜边上的中线，这条特殊的线段，尤其是涉及到斜边中点的时候，基本上都会连接这条中线

【例20】已知：

在中，，在中，，连结，取的中点，连结和．

⑴若点在边上，点在边上且与点不重合，如图①，探索、的关系并给予证明；

⑵如果将图①中的绕点逆时针旋转小于的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？

如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

☞等边三角形旋转

【例21】如图，已知四边形中，，，证明：

．

☞三垂直全等及三垂直的变形

三垂直模型及其变形最主要的是转化角度之间的关系

【例22】在中，，，直线经过点，且于，于．

⑴当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：

；

⑵当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：

；

⑶当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：

、、有怎样的等量关系？

请写出这个等量关系，并加以证明．

【巩固】如图，是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．

（1）若直线经过的内部，且、在直线上，请解决下面两个问题：

①如图①，若，，则；

（填“”、“”、“”）；

②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．

（2）如图③，若直线经过的外部，，请提出、、三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

【巩固】如图，在等边中，点分别在边上，，与交于点．

（1）求证：

；

（2）求的度数．

模块五全等三角形与平移

平移的基本思路是通过平移，将有关系但又不在一起的量集中起来，且对应边平行且相等

【例23】如图所示，在的边上取两点、，且．

求证：

．

【巩固】如图所示，在中，，为上的一点，且；为上的一点，且．连接、交于点，求证：

．

【例24】在中，，,的延长线上截取，，有．

求证：

．

1.如图，中，，点、分别在、边上，且，则的大小是．

2.如图所示，一个六边形的六个内角都是，连续四边的长依次是、、、，则该六边形的周长是多少？

1．通过本堂课你学会了．

2．掌握的不太好的部分．

3．老师点评：

①．

②．

③．

1.如图，在中，，，．求证：

．