雅礼中学高三数学立体几何与平面几何专项线面位置关系.docx
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雅礼中学高三数学立体几何与平面几何专项线面位置关系
线面位置关系
一.课前练习
1.下列各种四边形中,可能不是平面四边形的是(B)
(A)内接于圆的四边形(B)四边相等的四边形
(C)仅有一组对边平行的四边形(D)相邻两边成的角都是直角的四边形.
2.空间四点“无三点共线”是“四点共面”的(D)条件
(A)充分不必要(B)必要不充分(C)充要(D)既不充分也不必要
3.已知直线a,如果直线b同时满足以下三个条件:
⑴与a异面;⑵与a成角为定值;⑶与a的距离为定值.那么这样的直线b有无数条.
4.a、b是异面直线,P是a、b外任意一点,下列结论正确的是(D)
(A)过P可以作一个平面与a、b都平行(B)过P可以作一个平面与a、b都垂直
(C)过P可以作一直线与a、b都平行(D)过P可以作一直线与a、b成等角.
5.A是直径为25的球面上的一点,在这个球面上有一圆,圆上所有的点到A的距离都12,那么这个圆的半径是()
(A)12(B)10(C)15(D)8
二.典型例题
6.已知:
SA⊥正方形ABCD所成的平面α,SC⊥截面AEFG(如图),
求证:
(1)AE⊥SB,AG⊥SD
(2)AF⊥GE
7.如图所示,在五面体
中,点
是矩形
的对角线的交点,面
是等边三角形,棱
且
.(1)证明:
面
;
8.如下图,一个等腰直角三角形的硬纸片
中,
,
,
是斜边上的高沿
把△
折成直二面角.
(1)如果你手中只有一把能度量长度的直
尺,应该如何确定
的位置,使二面角
是直二面角?
证明你的结论;
(2)试在平面
上确定一个
,使
与平面
内任意一条直线都垂直,证明
你的结论;(3)如果在折成的三棱锥内有一个小球,求出小球半径的最大值.
解:
(1)用直尺度量折后的AB长,若AB=4cm,则二面角A-CD-B为直二面角.
∵△ABC是等腰直角三角形,
又∵AD⊥DC,BD⊥DC.
∴∠ADC是二面角A-CD-B的平面角.
.
(2)取△ABC的中心P,连DP,则DP满足条件,∵△ABC为正三角形,且AD=BD=CD.
∴三棱锥D-ABC是正三棱锥,由P为△ABC的中心,知DP⊥平面ABC,
∴DP与平面内任意一条直线都垂直.
(3)当小球半径最大时,此小球与三棱锥的4个面都相切,设小球球心为0,半径为r,连结OA,OB,OC,OD,三棱锥被分为4个小三棱锥,且每个小三棱锥中有一个面上的高都为r,故有
代入得
,即半径最大的小球半径为
.
作业——线面位置关系
1.如图,在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,则下列四个命题:
①水的部分始终呈棱柱形;
②水面四边形EFGH的面积不改变;
③棱A1D1始终与水面EFGH平行;
④当容器倾斜如图所示时,BF·BE是定值.
其中所有正确命题的序号是(D ).
A.①②B.②④C.①②④D.①③④
2.如图,S是四边形ABCD所在平面外一点,为了推出AB⊥BC,还需要从下述条件中选出一些条件来. ①SB⊥平面ABCD;
②SC⊥CD; ③CD∥AB; ④CD∥平面SAB;
⑤BC⊥CD;⑥CD⊥平面SBC; ⑦AB⊥平面SBC;
⑧SB⊥CD.比如,选⑦为条件,有⑦
AB⊥BC;又如选③,⑤为条件,有
③
AB⊥BC.现要求推理至少用到两条定理,
⑤
推理的格式为:
__
①
⑤
AB⊥BC,或
③
⑦
AB⊥BC.
②
⑥
④
③
_______.(写出两个正确的推理过程)
3.如图,侧棱长为
的正三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°.过A作截面AEF与VB、VC分别交于E、F点,则截面△AEF的最小周长为_________.
4.一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状可以是:
①三角形;②菱形;③长方形;④正方形;⑤正六边形.其中正确的结论是__②_③_④_⑤______.(把你认为正确的都填上)
5.如图,空间四边形ABCD被一平面所截,截面EFGH是平行四边形.⑴求证:
CD∥平面EFGH;⑵如果AB、CD成角为,AB=a,CD=b是定值,求截面EFGH面积的最大值.
6.四面体ABCD中,△ABC为正三角形,AD⊥平面ABC,H是A在平面DBC内的射影.
(1)试问:
H是否可能为△DBC的垂心?
并加以证明;
(2)若H是△DBC的重心,且AB=2,试求平面DBC与平面ABC的夹角和A到平面DBC的距离.
讲解:
(1)这是一个探索性问题,一般来说先肯定命题,如果推出矛盾,则问题解决,如果推不出矛盾则加以证明,得到答案.
假设H是△DBC的垂心,则BH⊥DC.由三垂线定理可得AB⊥CD.又DA⊥面ABC,∴AD⊥AB.又AD∩CD=D,∴AB⊥面ACD,∴AB⊥AC.这与∠BAC=60°矛盾,∴H不可能是△DBC的垂心.
(2)要求二面角的大小,先找平面角.∵H为重心,延长DH交BC于E,则E为BC的中点.又△ABC为正三角形,∴AE⊥BC.由三垂线定理知DH⊥BC,∴∠DEA为所求二面角的平面角.∵H为△DBC的重心,∴DH=2HE,而AH是直角△DAE的斜边上的高.
∴tg2∠AED=(AD2/AE2)=(DH·DE)/(HE·DE)=(DH/HE)=2,∴tg∠AED=
,∴∠AED=arctg
.
当AB=2时,AE=
,AD=
,DE=3,∴HE=1,∴AH=
.即A点到平面DBC的距离为
.
空间角和空间距离(1)
一.课前练习
1.在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,∠ACB=90°,AC>BC,D、E分别是AB、BC的中点.设PA与DE所成的角为α,PD与平面ABC所成的角为β,二面角P-AB-C的大小为γ,则α、β、γ的大小关系是(A).
A.α<β<γB.α<γ<βC.β<α<γD.γ<β<α
2.如图,一张正方形纸片ABCD中,有(AE/EB)=(AF/FD)=(CH/HB)=(CG/GD)=(1/2),沿BD折起,使△ABD与△BCD所成的二面角为θ.若EFGH折起后恰成正方形,则cosθ等于(B).
A.(7/9)B.(1/2)C.0D.(5/9)
3.若一个二面角的一个面α内有一点A,它到棱的距离是它到另一个面β的距离的2倍,则这个二面角的度数是__30°或150°______.
4.已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC=
,BC=2,则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是_90°_______.
5.△ABC的一边BC在平面α内,顶点A在平面α外,∠ABC=60°,△ABC所在的平面与平面α成30°的二面角,则AB所在的直线与平面α所成的角的正弦值是
二.典型例题
6.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD=2a,
△PDC是正三角形,BC⊥PD
(1)求证:
平面PBD⊥平面ABC;
(2)求二面角C-PD-B的正切值;(3)求点B到平面PAD的距离.。
7.已知正三棱锥S-ABC与正棱锥S′-A′B′C′的底面边长相等,其体积分别为V1和V2,二面角A-SC-B等于α;二面角A′-S′C′-B′等于β,且α>β.试指出V1和V2的大小关系,并证明你的结论.
讲解:
因为两个三棱锥的底面是全等的正三角形,所以它们的体积完全由它们的高SO和S′O′的大小确定.如图7-13,因为OF=O′F′,所以SO与S′O′的大小完全由SF和S′F′的大小确定,又CF=C′F′,在Rt△SFC和Rt△S′F′C′中,SF/CF=tg∠SCF,S′F′/C′F′=tg∠S′C′F′,所以SF和S′F′的大小完全由∠SCF和∠S′C′F′确定.在Rt△BDC和Rt△B′D′C′中,sin∠SCF=BD/BC,sin∠S′C′F′=B′D′/B′C′,而BC=B′C′,所以∠SCF和∠S′C′F′的大小完全由BD和B′D′的大小确定.
在Rt△DEB和Rt△D′E′B′中,∠EDB=(α/2),∠E′D′B′=(β/2),又sin(α/2)=BE/BD,sin(β/2)=B′E′/B′D′,且BE=B′E′,0<β/2<α/2<π/2,故BD<B′D′.从而V1<V2.
8.如图所示,正四棱锥
中,侧棱
与底面
所成的角的正切值为
.
(1)求侧面
与底面
所成的二面角的大小;
(2)若
是
的中点,求异面直线
与
所成
角的正切值;
(3)问在棱
上是否存在一点
,使
⊥侧面
,若存在,试确定点
的位置;若不存在,说
明理由.
解:
(1)取
中点
,设
,连
、
,则
为二面角的平面角,
为侧
棱
与底面
所成的角,
设
,∴∠PMO=60°.
(2)连
,
∥
,
为异面直线
与
所成的角.
∵
∴
(3)延长
交
于
,取
中点
,连
、
.
取
中点
,∵
∥
∴
∴
∥
.
∴
平面
.即
为四等分点.
作业——空间角与空间距离
(1)
1.一电视塔PO高
千米,塔西南方向地面上一点A视PO张角为300;电视塔东北方向有一点B,视PO张角为450,则地面上AB距离为千米
2.已知甲烷分子结构是:
中心为一个碳原子,外围有4个氢原子(这四个氢原子组成一正四面体的四个顶点)设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为
,则
=
3.平行四边形的一个顶点A在平面
内,其余顶点在
的同侧,已知其中有两个顶点到
的距离分别为1和2,那么剩下的一个顶点到平面
的距离可能是:
①1;②2;
3;④4;以上结论正确的为______________。
(写出所有正确结论的编号)
4.已知正三棱柱
的所有棱长均相等,
是
的中点,
在棱
上,当
使
取最小值时,异面直线
与
所成的角为
A.
B.
C.
D.
5.已知
是边长为4的正方形ABCD的中心,点E、F分别是AD、BC的中点,沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B;⑴求∠EOF的大小;⑵求二面角E-OF-A的大小;⑶求点D到面EOF的距离。
6.如图,在正三棱柱
中,
是
中点,点
在
上.
(1)试确定点N的位置,使
;
(2)当
时,求二面角
的大小.
空间角和空间距离
(2)
一.课前练习
1.如图,ABCD是正方形,P为平面ABCD外一点,PD⊥AD,PD=AD=2,
二面角P—AD—C为60º,则P到平面ABCD的距离为………()
(A)2
(B)
(C)2(D)
2.直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90º,平面A1BC1与平面ABC交于直线l,那么l与A1C1的距离为……()
(A)1(B)
(C)
(D)2.6
3.在120°二面角的棱上,有两点分别是A、BAC、BD这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,已知AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,则CD的长
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